精品解析：北京市石景山区景山远洋分校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

北京景山学校远洋分校2024-2025学年第二学期 七年级数学期中测试题 考生须知： 1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效. 4.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. “九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数， 一般形式为（， n为正整数）， n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握科学记数法表示绝对值小于1的数的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理运算判断． 【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意； D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键． 3. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键． 根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中和都扩大3倍， 即：， ∴分式的值不变． 故选：D． 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A符合题意； 无法约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：． 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4， ∴BC=2DE=2×4=8， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案． 【详解】解：菱形和矩形都具有性质是对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形性质，矩形的性质，解题的关键是掌握对角线互相平分． 7. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可． 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是， ∴物体A的密度为，物体B的密度为． ∵A，B两个物体的密度之比为， ∴． 故选A． 8. 已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（ ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果分式有意义，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键． 11. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________． 【答案】70 【解析】 【分析】由菱形的性质可得的度数，再根据余角的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，，， ，， ． 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，除平行四边形固有的性质外，菱形的对角线相互垂直，对角线平分对角等，解题的关键是掌握其性质定理． 13. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴ ， ∴ ∴ 补充：或或， ∴四边形AEFD是矩形， 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ____． 【答案】16 【解析】 【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【详解】解：由题意作出如下图， 得，，，是直角三角形， 则大正方形面积， 面积， 阴影部分的面积， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解． 16. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为_____________，第n个正方形的面积为_____________（用含n的代数式表示）． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据勾股定理求出、、、 ，的边长，根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意，正方形边长为1，则其面积为1； ∴，正方形的面积为； ∴，正方形的面积长为； …… ∴，正方形的面积为． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查规律探索、正方形的面积计算，解题的关键在于利用勾股定理求出正方形的边长，找出规律． 三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-21、25、26每小题5分，第22-24、27、28每小题6分） 17 计算： （1）. （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． （2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意解分式方程要检验；方程两边同乘，化为一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，再算括号外的除法进行化简原式，然后根据，可以得到，最后代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD=BC， ∴∠BAE=∠E ， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠E=∠DAE ， ∴DA=DE， 又∵AD=BC， ∴BC=DE． 21. 如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF，进而得出AD∥EF，AD＝EF，即可判定. 【详解】解：∵四边形ABCD和BEFC都是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF． ∴AD∥EF，AD＝EF． ∴四边形AEFD是平行四边形． 【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行平行四边形的判定，熟练掌握，即可解题. 22. 已知：． 求作：直线AD，使得． 作法：如图， ①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N； ②作直线MN交AC于点E； ③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D； ④作直线AD． 所以直线AD就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接CD， ∵______，______， ∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理依据）． ∴（______）（填推理的依据）． 【答案】（1）作图见解析 （2）EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，可得结论． 【小问1详解】 解：如图，直线AD即为所求； 【小问2详解】 证明：连接CD． ∵AE＝EC．BE＝ED． ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）， 故答案为：EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行． 【点睛】本题考查作图−基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 23. 如图，在矩形ABCD中，将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F． （1）求证：； （2）若，求DF的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，利用“AAS”证明三角形全等，即可求解； （2）根据（1）的全等三角形的性质得到，进而推出，然后根据勾股定理求． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴，． ∵将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F， ∴，， ∴，． 在和中 ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求得是解答关键． 24. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形AODE的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD=90°，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC=AB=8，则OA=4，再由勾股定理得OD=，然后由矩形的性质得AE=OD=，DE=OA=4，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵ AE∥BD，DE∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD． ∴ ∠AOD=90°． ∴四边形AODE是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，，BO=OD． 又∵∠ABC=60°，AB=8， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB=8． ∴． ． ∴OD=BO=． ∴矩形AODE的周长为2（AO+OD）=2×(4+)=8+ 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 25. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【答案】30米 【解析】 【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：引进新设备前工程队每天建造道路30米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 26. 在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： （1）如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； （2）求分式的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 27. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P在AC上，点E在边AD上，作∠EPF＝90°，PF与射线AB交于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段PE与PF之间的数量关系，并证明； （3）直接写出线段AE，AP和AF之间的数量关系． 【答案】（1）图见解析 （2）PE＝PF；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，证出四边形PMAN是正方形，得出∠MPN＝90°，证明△PME≌△PNF（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝PF； （3）由全等三角形的性质得到ME＝NF，由等腰直角三角形的性质得到AP＝AN，根据线段和差可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下， 【小问2详解】 PE＝PF； 证明：过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠BAC，∠MAB＝90°， ∵PM⊥AD，PN⊥AB， ∴PM＝PN， ∴四边形PMAN是正方形， ∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵∠PME＝∠PNF＝90°， ∴△PME≌△PNF（AAS）， ∴PE＝PF； 【小问3详解】 AE＋AF＝AP； 证明：由（2）可知，AM＝AN，ME＝NF， ∴AF＝AN＋NF＝AN＋ME＝AN＋AM−AE＝2AN−AE， ∵∠PAN＝45°， ∴AP＝AN， ∴AF＝AP−AE，即AE＋AF＝AP． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题． 28. 对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． （1）（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； （2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； （3）过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）点P，线段． 【解析】 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； 【小问2详解】 解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； 【小问3详解】 解：如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京景山学校远洋分校2024-2025学年第二学期 七年级数学期中测试题 考生须知： 1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效. 4.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. “九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 3. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上中点，若DE=4，则BC等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 6. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 7. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（ ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 第二部分非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果分式有意义，那么实数的取值范围是______． 10. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________． 11. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________． 13. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____． 15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ____． 16. 如图，正方形边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为_____________，第n个正方形的面积为_____________（用含n的代数式表示）． 三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-21、25、26每小题5分，第22-24、27、28每小题6分） 17. 计算： （1）. （2）. 18. 解方程：． 19. 已知，求代数式值． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC延长线于点E.求证：BC=DE 21. 如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形. 22 已知：． 求作：直线AD，使得． 作法：如图， ①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N； ②作直线MN交AC于点E； ③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D； ④作直线AD． 所以直线AD就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接CD， ∵______，______， ∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）． ∴（______）（填推理的依据）． 23. 如图，在矩形ABCD中，将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F． （1）求证：； （2）若，求DF的长． 24. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形AODE的周长． 25. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 26. 在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： （1）如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； （2）求分式的最大值． 27. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P在AC上，点E在边AD上，作∠EPF＝90°，PF与射线AB交于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段PE与PF之间的数量关系，并证明； （3）直接写出线段AE，AP和AF之间的数量关系． 28. 对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． （1）（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； （2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； （3）过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$