精品解析：江苏省淮安市淮安经济技术开发区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级质量调研数学试卷 （考试时间：120分钟 全卷满分：120分） 2026.06 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上） 1. 式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力 D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 明天会下雨 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 7. 如图，已知梯形中， 点与原点重合，点（4，0）在轴上，则点的坐标是 （　　） A. （3，2） B. （3，） C. （，2） D. （2，3） 8. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 计算：=______． 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 若，当时，___________0（选填“”“”或“”）． 13. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 14. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_____． 15. 如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 16. 如图，在边长为的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1 20. 如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 从年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中为“羽毛球”，为“乒乓球”，为“跑步”，为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 22. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 23. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 24. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，如：，，因此8、16、24都是“奇异数”． （1）试说明32是否为“奇异数”； （2）你能说明“奇异数”一定是8的倍数吗？若能，请说明理由，若不能，请举一个反例． 25. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 26. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． （1）如图1，矩形的对角线，交于点，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； （3）如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级质量调研数学试卷 （考试时间：120分钟 全卷满分：120分） 2026.06 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上） 1. 式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴A、B、C都不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力 D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 【答案】C 【解析】 【分析】抽样调查适用于调查对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情况，需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】A、因钞票数量有限且需确保每张真实，必须全面检查，不适用抽样，故选项A不符合题意； B、为确保文章准确性，需逐字检查，不适用抽样，故选项B不符合题意； C、防撞测试具有破坏性，无法对所有汽车检测，适用抽样，故选项C符合题意； D、因涉及重大安全，需全面检查每个零件，不适用抽样，故选项D不符合题意． 故答案选：C． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项B，的被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项C，，被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项D，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故符合题意． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 明天会下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念．必然事件指在一定条件下必定发生的事件．根据各选项描述的事件性质进行判断即可． 【详解】A． 打开电视机可能播放新闻，也可能播放其他内容，属于随机事件． B． 掷骰子可能出现1至6点中的任意一种结果，点数是6仅为其中一种可能，属于随机事件． C． 根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，属于必然事件． D． 明日的天气具有不确定性，可能下雨也可能不下，属于随机事件． 故选C． 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据平行四边形的判定方法求解即可． 【详解】解：已知， A、添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； B、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴， 又，不能用“边边角”证明三角形全等， ∴不能确定的数量关系，不能确定的位置关系， ∴不能判定四边形一定是平行四边形； 同理连接亦是如此，故B选项符合题意； C、添加，根据两组对边平行的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； D、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； 故选：B ． 6. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，理解题意是解题关键． 7. 如图，已知梯形中， 点与原点重合，点（4，0）在轴上，则点的坐标是 （　　） A. （3，2） B. （3，） C. （，2） D. （2，3） 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：过点B作BF⊥AD，于点F，过点C作CE⊥AD于点E， 由梯形ABCD中，，点A与原点重合，点D（4，0）在x轴上， ， AF=1，EF=BC=AB=CD=2， CE==． 则点C的坐标是：（3，）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了梯形的性质以及坐标与图形的性质等知识，得出AE的长是解题关键． 8. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 若，当时，___________0（选填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据题意分别判断出分子和分母的符号即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 13. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 14. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．直接利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， ， ， 故答案为：10 15. 如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识． 根据菱形的性质、勾股定理，先求出、，再结合，即可作答． 【详解】解：在菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，在边长为的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在上找一点，使得，过点作交于点，连接，先根据正方形的性质分别求出的值，再根据旋转的性质结合正方形对角线的性质证明，推出，最后根据是边上一动点，推出，即当与重合时，有最小值，即可求解． 【详解】连接，在上找一点，使得，过点作交于点，连接， ∵正方形，边长为， ∴，，， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理，，即，解得， ∵线段绕点逆时针旋转到线段， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵是边上一动点，，， ∴，即， ∴当与重合时，有最小值，最小值为， ∴最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可． （2）按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， 故是原方程的解． 【小问2详解】 解：∵， 去分母，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号里的分式通分，然后把除法转化成乘法进行化简，然后再把a的值代入求值即可． 【详解】解：原式= =； 当a=+1时，原式=． 【点睛】分式的化简求值是本题的考点，正确化简分式是解题的关键． 20. 如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，点在上，点在上， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质，得到，．结合已知条件，通过等式的性质推导和的数量关系，同时结合推导和的位置关系．最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形． 【详解】略 21. 从年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中为“羽毛球”，为“乒乓球”，为“跑步”，为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 【答案】（1） （2）条形图如图所示： ， （3）名 【解析】 【分析】（1）根据选 “”在条形统计图中人数为名，在扇形统计图中占，即可求解总人数； （2）用总人数减去的人数即可得的人数，据此即可补全条形统计图，再用所占百分比即可求出圆心角的度数； （3）用总人数乘以抽样调查中喜欢“乒乓球”所占比例求解即可． 【小问1详解】 本次调查共抽取的学生人数为：（名）； 【小问2详解】 ∵由（1）得共抽取50名学生，由条形统计图可得选的人数分别是名，名，名， ∴选的人数为：（名），条形图略； ∵为“跳绳”，选的人数为名， ∴所对应的圆心角度数为：； 【小问3详解】 全校课间喜欢乒乓球的学生人数为：（名）． 22. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【答案】理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题． 【详解】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元， 因此可列方程， 解得，经检验，是分式方程的解， 则圆珠笔的数量为， ∵圆珠笔的数量一定是整数， ∴不符合题意． 故嘉嘉搞错了． 23. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点F，于点E，则四边形即为所作菱形． （2）由菱形的性质，设菱形的边长为x，则．在中，由勾股定理即可解出x，即可求出菱形的边长与面积． 【小问1详解】 解：如图所示，菱形为所求；   ∵矩形， ∴，即， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解： 四边形是矩形，，， ， 设菱形的边长为x，则． 在中， ，即， 解得． 菱形的边长为，面积为． 【点睛】本题考查尺规作图：作线段垂直平分线，菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理．掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 24. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，如：，，因此8、16、24都是“奇异数”． （1）试说明32是否为“奇异数”； （2）你能说明“奇异数”一定是8的倍数吗？若能，请说明理由，若不能，请举一个反例． 【答案】（1）32是“奇异数” （2）“奇异数”一定是8的倍数，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据“奇异数”定义进行判断即可； （2）设“奇异数”为M，根据题意得出，其中n为整数，然后变形得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：因为，所以32是“奇异数”； 【小问2详解】 解：“奇异数”一定是8的倍数，理由如下： 由题意可设“奇异数”为M， 即，其中n为整数， 则， 所以“奇异数”是8的倍数． 25. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 26. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． （1）如图1，矩形的对角线，交于点，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； （3）如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 【答案】（1）证明：在矩形中， 为直角三角形， 由矩形的性质可知 是等腰三角形 四边形是奇特四边形 （2）的长为或 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可； （3）分情况讨论，分分别为奇特线时，根据中位线的性质结合等边三角形的性质，勾股定理求得的最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中， 为直角三角形 ①当时，如图作交于点， 为等腰三角形 ②当时，如图，作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵共线， ∴共线， 则在上，不是四边形，不符合题意，故此情形不存在； ③当时，如图， 综上所述，的长为或． 【小问3详解】 ∵菱形中，， ∴，， 连接， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， 情形一：当是奇特线时，如图，则是直角三角形，且 ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 延长交于点，连接， 又∵ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 此时 ∴的最小值为 情形二：当为奇特线时， ∵，故不能为直角三角形 当为等腰三角形时，重合，此时也为等腰三角形，不为直角三角形，故此情形不存在， 综上所述，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $