第2章 第2讲 函数的单调性与最值（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以函数单调性为核心，通过基础-能力-拓广三级递进，融合定义法、分类讨论等方法，构建概念-性质-应用的逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础过关|9题（单选4、多选2、填空2、解答1）|定义法判断单调性、复合函数单调性分析、分类讨论参数|从基本函数单调性（一次、二次、反比例）到单调性定义应用，形成概念认知| |B级能力提升|4题（单选2、填空2、解答1）|分段函数单调区间求法、抽象函数单调性证明|结合二次函数最值、分段函数综合应用，深化性质理解| |C级拓广探索|2题（多选1、开放1）|新定义“倍值区间”应用、命题真假判断|通过创新题型考查单调性综合迁移，提升数学思维与表达能力|

[对应学生用书P311] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共30分，本试卷共103分． A级　基础过关 1．下列函数在R上为增函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ 解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误； y＝x在R上为增函数，故选项B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误． 答案　B 2．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则(　　) A．f(3)＜f(π)＜f(2) B．f(π)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜f(π)＜f(3) D．f(π)＜f(2)＜f(3) 解析　易知f(x)是R上的减函数，又π＞3＞2，故f(π)＜f(3)＜f(2). 答案　B 3．已知函数f(x)＝＋2x，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是(　　) A．∪(2，＋∞) B．[2，6) C．∪[2，6) D．(0，6) 解析　由题意可知，函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，∵f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤. 答案　C 4．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) 解析　f(x)＝＝2＋，∵x2≥0， ∴x2＋1≥1，∴0＜≤1，2<2＋≤3， ∴f(x)的值域为(2，3]. 答案　C 5．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝－在定义域上是增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 解析　对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0， 则有f(x1)<f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确； 对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确． 答案　AD 6．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)＞0，g(x)＞0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有(　　) A．g(x)＋f(x)是增函数 B．f(x)－g(x)是减函数 C．f(x)g(x)是增函数 D．是减函数 解析　对于A，若g(x)＝2x，f(x)＝，则g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝，故g(x)＋f(x)不一定为增函数，A错误；而f(x)·g(x)＝1不是增函数，C错误；对于B，因为g(x)是增函数，所以－g(x)为减函数．又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，B正确；对于D，因为g(x)是增函数，且g(x)＞0，所以＞0且是减函数．又f(x)＞0，且f(x)为减函数，所以＝f(x)×为减函数，D正确． 答案　BD 7．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为____________． 解析　当4a－2＞0时，f(x)在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f(x)在[－2，1]上单调递减， ∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－. 答案　2或－ 8．已知函数f(x)＝在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围为____________． 解析　由y＝－x2＋1在上单调递增，在(0，1)上单调递减， 由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1在[1，2)上单调递减，在上单调递增， 且－12＋1＝0＝12－4×1＋3， 综上，f(x)在上单调递增，在(0，2)上单调递减，在上单调递增， 由f(x)在上单调递减，则0<a－5≤2，可得5<a≤7. 答案　 9．(15分)已知f(x)＝(x≠a). (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 解析　(1)证明　当a＝－2时，f(x)＝. 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. B级　能力提升 10．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0，2] C．(－∞，2] D．[1，2] 解析　令y＝f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 易知当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝2. 因为f(0)＝3，且函数f(x)在[0，m]上有最大值3，最小值2， 由二次函数图象的对称性，知f(2)＝f(0)＝3， 所以1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2]. 答案　D 11．(2025·广东肇庆一中期末)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3f(|x|)＋x2－2x，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，－10]和[0，1] B．(－∞，－5]和[0，1] C．[－10，0]和[1，＋∞) D．[－5，0]和[1，＋∞) 解析　当x≥0时，f(x)＝3f(x)＋x2－2x，则f(x)＝－x2＋x，可知函数f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，∴f(x)在[0，1]上单调递增； 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x2－x， ∴f(x)＝3f(－x)＋x2－2x＝－x2－3x＋x2－2x＝－x2－5x＝－(x＋5)2＋， ∴f(x)在(－∞，－5]上单调递增． 综上所述，f(x)的单调递增区间为(－∞，－5]和[0，1]. 答案　B 12．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是____________． 解析　依题意得⇒－1≤a<1.所以实数a的取值范围是[－1，1). 答案　[－1，1) 13．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是____________． 解析　由题意知g(x)＝ 该函数图象如图所示， 其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞). 答案　(－∞，0)，(1，＋∞) 14．(15分)(2025·河南开封期末)设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1. (1)求证：f(0)＝1，且当x<0时，有f(x)>1； (2)判断f(x)在R上的单调性． 解析　(1)证明　由题可知对任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，则f(1)＝f(1)·f(0). 因为当x>0时，有0<f(x)<1， 所以f(0)＝1. 令m＝x<0，n＝－x>0，则f(0)＝f(x)·f(－x)，0<f(－x)<1，所以f(x)＝＝>1. 即当x<0时，有f(x)>1. (2)不妨设x1<x2，则x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1. 由(1)知，f(x1)>0，所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)＝f(x1)·[f(x2－x1)－1]<0，即f(x2)<f(x1)，所以f(x)在R上单调递减． C级　拓广探索 15．(多选)(2025·山西晋城一中调研)已知函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，使得f(x)同时满足下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调函数；②f(x)在[m，n]上的值域是[3m，3n].则称区间[m，n]为函数f(x)的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有(　　) A．f(x)＝2x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 解析　依题意，可知若函数f(x)存在“倍值区间”，则满足f(x)在[m，n]上是单调函数，且或 因为f(x)＝2x2，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数f(x)的“倍值区间”，故A正确； 因为f(x)＝在区间上是减函数，且值域为[1，3]，则区间是函数f(x)的“倍值区间”，故B正确； 因为f(x)＝x＋在[－，0)，(0，]上单调递减，在(－∞，－]，[，＋∞)上单调递增，假定函数f(x)存在倍值区间[m，n]，若f(x)在[m，n]上单调递增，则有 即有而m<n≤－或≤m<n，无解；若f(x)在[m，n]上单调递减，则有即解得m＝n或m＝－n，而m<n且mn>0，矛盾，所以f(x)不存在倍值区间，故C错误； 因为f(x)＝，所以当x>0时，f(x)＝，函数y＝x＋在(0，]上单调递减，于是f(x)在上单调递增，且值域为[0，]，因此区间是函数f(x)的“倍值区间”，故D正确． 答案　ABD 16．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是____________．(答案不唯一) 解析　由题意知，设f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)， 则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题． 答案　f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $