精品解析：安徽省宿州市砀山县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学

2025—2026学年度第二学期期末检测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是梨王阁（大家俗称的古城塔）是砀山古城的核心地标楼阁，属于八角重檐楼阁，每层飞檐八个翘角，是仿古八角塔阁形制．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有增根，则m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，，分别是线段，线段上的两个动点，连接，则下列结论：①②③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 分解因式：_______. 13. 如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 14. 在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组 16. 解分式方程：． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． （3）若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 20. 瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． （1）瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） （2）请你按照上述方法分解因式： （3）应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 七、应用题（本题满分12分） 22. 砀山是中国酥梨之乡，当地某梨膏加工厂依托电商和特色产业升级，计划采购一批自动化酥梨加工设备，提升古法梨膏的产能．已知1台A型酥梨清洗设备的采购费用比1台B型梨膏熬制设备的费用少4万元，用36万元采购A型清洗设备的数量与用48万元采购B型熬制设备的数量相等． （1）求每台A型清洗设备和B型熬制设备的采购费用分别是多少万元？ （2）该加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型清洗设备每台每月可为加工厂创收利润1.2万元；B型熬制设备每台每月可为加工厂创收利润1.8万元．设采购A型清洗设备a台，每月总获利为w万元，求w的最大值． 八、解答题（本题满分14分） 23. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末检测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式的基本性质逐一分析选项即可，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴当时，；当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同乘，不等号方向改变，则，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴根据不等式两边同时加，不等号方向不变， ∴，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故该选项成立，符合题意； 故选：． 3. 如图是梨王阁（大家俗称的古城塔）是砀山古城的核心地标楼阁，属于八角重檐楼阁，每层飞檐八个翘角，是仿古八角塔阁形制．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】多边形的外角和等于． 【详解】解：该八边形的外角和为． 4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形必须正确，据此一一判断即可． 【详解】解：A、左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； B、左边是多项式，右边是积的形式，且正确，符合因式分解； C、右边不是积的形式，而是和的形式，不是因式分解； D、，变形错误，不是因式分解． 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，分别解不等式①②求出的取值范围，取其公共部分，即可得出不等式组的解集，再对照四个选项即可得出结论．牢记解不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：． ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 故选：A． 6. 若关于x的方程有增根，则m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，求出参数m，即可． 【详解】解：把原方程去分母得：， ∵原分式方程有增根：x=1， ∴，即：m=1， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，理解使分式方程的分母为零的根，是分式方程的增根，是解题的关键． 7. 如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，先求出的值，根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴， 由图象可知：； 故选A． 8. 如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 9. 关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 10. 如图，在中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，，分别是线段，线段上的两个动点，连接，则下列结论：①②③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． ①根据条件证明，利用互余的角即可得出结论； ②利用等角的余角相等和对顶角相等，再利用等角对等边即可得出结论； ③根据条件证明，得出，再利用等量代换即可得出结论； ④连接，过点作于点，利用直角三角形斜边中线定理和线段的垂直平分线进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②由①得， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的基本概念是解题关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，解不等式即可． 【详解】解：由分式有意义， 则分母， 解得． 故答案为：． 12. 分解因式：_______. 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 【答案】##16厘米 【解析】 【分析】根据图形平移的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形的周长是， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∴，即， ∴三角形的周长是 ． 14. 在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 【答案】2或3##3或2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设，分①当时，②当时两种情形计算即可． 【详解】解：依题意得：设， ①当时，x为整数，都是整数， ∴，， ∴， ②当时，，， ∴，， ∴． 综上所述：或3． 故答案为：2或3． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：. 16. 解分式方程：． 【答案】x=﹣． 【解析】 【分析】方程两边同时乘以最简公分母（x-2），化为整式方程，解整式方程并进行检验即可求得答案. 【详解】两边同时乘（x-2）得 4x﹣（x﹣2）=﹣3， 解得：x=﹣， 检验：当x=﹣时，x﹣2≠0， ∴原方程的解为x=﹣． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键. 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交于点，交于点； （2）根据勾股定理可知，根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半和勾股定理即可知，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 由勾股定理得 垂直平分 在中， ， ∴ ∵, ∴ ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． （3）若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】解：（1）． （2）第n个等式为． 证明：∵， ∴猜想成立． 20. 瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． （1）瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） （2）请你按照上述方法分解因式： （3）应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】（1）②，① （2） （3）是等腰三角形或者直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【小问1详解】 解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴点F是的中点． ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点C在的延长线上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）5 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再由勾股定理可得，．从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∴． 七、应用题（本题满分12分） 22. 砀山是中国酥梨之乡，当地某梨膏加工厂依托电商和特色产业升级，计划采购一批自动化酥梨加工设备，提升古法梨膏的产能．已知1台A型酥梨清洗设备的采购费用比1台B型梨膏熬制设备的费用少4万元，用36万元采购A型清洗设备的数量与用48万元采购B型熬制设备的数量相等． （1）求每台A型清洗设备和B型熬制设备的采购费用分别是多少万元？ （2）该加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型清洗设备每台每月可为加工厂创收利润1.2万元；B型熬制设备每台每月可为加工厂创收利润1.8万元．设采购A型清洗设备a台，每月总获利为w万元，求w的最大值． 【答案】（1）每台型清洗设备和型熬制设备的采购费用分别是万元和万元 （2）w的最大值为14.4万元 【解析】 【分析】（1）设每台型清洗设备的采购费用为万元，则每台型熬制设备的采购费用为万元．根据题意列分式方程解答即可； （2）根据题意列一元一次不等式组求出a的取值范围，再列出关于w的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每台型清洗设备的采购费用为万元，则每台型熬制设备的采购费用为万元． 根据题意得：， 解得 检验：当时，，所以是原分式方程的解，且符合实际意义， 每台型熬制设备的采购费用为（万元） 答：每台型清洗设备和型熬制设备的采购费用分别为万元和万元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴解得的取值范围：（为整数）， 由题意知：， ， 随a的增大而减小， 当时，， 答：w的最大值为14.4万元． 八、解答题（本题满分14分） 23. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接，   ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $