精品解析：安徽省宿州市砀山县2024-2025学年下学期期末质量监测八年级数学试题

砀山县2024—2025学年度第二学期教学质量监测 八年级数学（北师大版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 正十边形的内角和度数为（　　） A. B. C. D. 3. 在平行四边形 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若 ，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形 中，，若添加一个条件，使四边形 为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 8. 若常数M，N满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 如图，P为内一点，过点P的直线与边，分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴 上的一个动点，连接 将线段 绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 13. 如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．若书架上已摆放30本语文书，则数学书最多还可以摆__________本． 14. 如图，在平行四边形 中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F，连接． （1）__________； （2）若，则__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点 、、及点在网格的格点上，平移后 的对应点为． （1）在网格中画出平移后所得的； （2）计算线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积． 18. 先化简，再求值：，其中． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F， ，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 20. 已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 六、（本题满分12分） 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：________； （2）若，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 5月是樱桃和枇杷成熟的季节．津南水果店各花费5400元购进一批樱桃和枇杷，已知每千克樱桃的进价是每千克枇杷进价的倍，且购进的枇杷比樱桃多100千克． （1）求每千克樱桃的进价是多少元？ （2）樱桃的售价为45元/千克，枇杷的售价为30元/千克．在销售过程中，因两种水果均不易储存，水果店及时调整了销售策略：樱桃在售出后降价为35元/千克，枇杷在售出后进行打折促销．问剩下的枇杷最多打几折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 砀山县2024—2025学年度第二学期教学质量监测 八年级数学（北师大版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 2. 正十边形的内角和度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正十边形的内角和度数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提． 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质， 根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件求解． 【详解】∵在平行四边形中，， ∴ ∴． 故选：A． 4. 若 ，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】已知 ，分析各选项： 选项A： 不等式两边同时减去2，方向不变，故，A错误． 选项B： 两边同乘负数，方向改变，原式变为，B错误． 选项C： 由 得 ，C错误． 选项D： 两边同乘负数，方向改变，原式变为，D正确． 故选：D． 5. 如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式中的 ，的值都扩大为原来的3倍， ∴， ∴缩小为原来的， 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“ ”实心圆点向左画折线；②一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， ∴不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： 故选：D． 7. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又 ， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 若常数M，N满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 9. 如图，P为内一点，过点P的直线与边，分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，，根据平角定义可得，结合点M，点N恰好分别在，的垂直平分线上可得，，结合三角形内外角关系可得，，即可得到答案； 【详解】解：∵点M，点N恰好分别在，的垂直平分线上， ∴， ， ∴，， ∵，，，，，，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查三角形内外角关系，三角形内角和定理及垂直平分线的性质，解题的关键是根据几个关系等到角度关系． 10. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接 将线段 绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键，连接 ，证明，进而得到，得到点在以 为顶点，一边为的30度角的另一边上运动，根据垂线段最短，得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， 由旋转可得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴， ∴ ， 即点F的运动轨迹为直线 ， ∴当时，最短， 此时，， ∴的最小值是2， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键． 根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：∵三角形的三条中位线的长分别是， ∴三角形的三条边分别是 ∴这个三角形的周长为：． 故答案为：． 13. 如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．若书架上已摆放30本语文书，则数学书最多还可以摆__________本． 【答案】47 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设数学书还可以摆x本，根据数学书的总厚度加上语文书的总厚度不超过书架的长建立不等式求解即可． 【详解】解：设数学书还可以摆x本， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为47， ∴数学书最多还可以摆47本， 故答案为：47． 14. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F，连接． （1）__________； （2）若，则__________． 【答案】 ①. 120 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，可得，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案； （2）由平行四边形的性质得到，则可证明，进而证明；过点A作于H，则，则，据此求出的面积即可得到答案． 【详解】解；（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为： ； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于H，则， ∴， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得，， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点 、 、及点在网格的格点上，平移后 的对应点为． （1）在网格中画出平移后所得的； （2）计算线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据图形平移的性质画出图形即可； （2）用一个矩形的面积分别减去 个直角三角形的面积去计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 线段在平移到线段的过程中，扫过的区域的面积． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先计算括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当 时，原式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F， ，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）54 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么 ，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线， ， ， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 所以的面积为 ． 20. 已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是 ，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 【答案】（1） （2）a的值为3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键． （1）把 代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值． 【小问1详解】 解：分式方程的根是 ， ， 解得 ； 【小问2详解】 去分母得， 整理得， 分式方程有增根， 或 ， 当时，，此时不存在a的值； 当 时，，解得， 综上，a的值为3． 六、（本题满分12分） 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“ ”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：________； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想． （1）令，利用整体思想进行因式分解即可； （2）令，，求得，，再根据，求得即可． 【小问1详解】 解：令， 则 ． 故答案为：； 【小问2详解】 因为，令，， 则，， 所以． 七、（本题满分12分） 22. 5月是樱桃和枇杷成熟的季节．津南水果店各花费5400元购进一批樱桃和枇杷，已知每千克樱桃的进价是每千克枇杷进价的倍，且购进的枇杷比樱桃多100千克． （1）求每千克樱桃的进价是多少元？ （2）樱桃的售价为45元/千克，枇杷的售价为30元/千克．在销售过程中，因两种水果均不易储存，水果店及时调整了销售策略：樱桃在售出后降价为35元/千克，枇杷在售出后进行打折促销．问剩下的枇杷最多打几折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元？ 【答案】（1）每千克樱桃的进价是元； （2）剩下的枇杷最多打八折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每千克枇杷的进价为x元，则每千克樱桃的进价是元，根据花费5400元购进的枇杷比樱桃多100千克列出方程求解即可； （2）设剩下的枇杷打m折销售，先求出枇杷和樱桃购进的数量，再分别表示出枇杷和樱桃的利润，再根据总利润不低于5850元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克枇杷的进价为x元，则每千克樱桃的进价是元， 由题意得，， 解得 ， 检验，当 时，， ∴ 是原方程的解且符合题意， ∴， 答：每千克樱桃的进价是元； 【小问2详解】 解：设剩下的枇杷打m折销售， 千克，千克 由题意得，， 解得 ， 答：剩下的枇杷最多打八折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长． 【答案】（1）见解析；（2）6+6 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后证明△ADF为等边三角形，可得ED＝DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形； （2）根据AB＝6和勾股定理可得BF的长，然后证明BE＝BD，进而可得四边形BECF的周长． 【详解】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高， ∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵∠AED＝30°， ∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°， ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴△ADF为等边三角形， ∴AD＝DF， ∵ED＝AD， ∴ED＝DF， ∵BD＝DC， ∴四边形BECF为平行四边形； （2）∵AB＝6， ∴BD＝3，AD＝3， ∵△ADF为等边三角形， ∴AF＝AD＝3， ∴BF＝＝＝3， ∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°， ∴∠BDE＝30°， ∴BE＝BD＝3， ∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（3+3）＝6+6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $