分层随机抽样的平均数与方差（精练）——2026年高中数学高一下学期期末复习

分层随机抽样的平均数与方差（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 分层抽样方差不是简单两层方差加权平均，必须包含两部分： ①各层内部自身波动（层内方差加权） ②两层均值之间的差值带来的波动（层间偏差） 2、通用公式：若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则： ；． 3.解题步骤 ① 先算分层总平均数； ② 分别计算每层均值与总均值的差值平方； ③ 代入分层方差合并公式，分层方差、层间偏差分别加权求和，再除以总样本量。 4.高频考法 ①已知两层样本量、均值、方差，求总方差 ②三层分层抽样合并方差（中档计算） ③逆用公式：已知总均值、总方差，反求某一层均值 / 方差（填空压轴） ④分层抽样 + 频率分布直方图 + 概率综合大题（解答压轴） ⑤分层方差公式证明（教材拓展证明题） 【例1】（新课标必修二9.4.2例6）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 【变式1-1】(吉林省长春市2025一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】(吉林省长春市2024三模）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________ 【例2】（新课标必修二习题9.2拓展探索11）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为.证明： （1）; （2）. 【变式2-1】（山东青岛二中二模）为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（    ） A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55 【变式2-2】为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数______，高三年级学生的样本方差______. 【巩固加练】 1．（多选）某学校高一年级有500名学生，其中男生300人，女生200人，学校希望获得全体学生的身高信息，按比例分层抽取了容量为50的样本.经计算，男生样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为.下列说法中正确的是（    ） A．男生应当抽取30人 B．每个女生被抽到的概率均为 C．所有样本的均值为166cm D．所有样本的方差为 2．第33届奥林匹克运动会于2024年7月26日—8月11日在法国巴黎举办，中国女排经过艰苦鏖战，成功入选本届奥运女排参赛大名单.为普及奥运知识，弘扬女排精神，某市排协针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“排球运动”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25)，第二组[25，30)，第三组[30，35)，第四组[35，40)，第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄; (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任本市的“中国女排精神”宣传使者: ①若有甲(年龄36)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的人中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率; ②若第四组的人的年龄的平均数与方差分别为36和2，第五组的人的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这n人中35~45岁所有人的年龄的方差. 3．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．    （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层随机抽样的平均数与方差（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 分层抽样方差不是简单两层方差加权平均，必须包含两部分： ①各层内部自身波动（层内方差加权） ②两层均值之间的差值带来的波动（层间偏差） 2、通用公式：若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则： ；． 3.解题步骤 ① 先算分层总平均数； ② 分别计算每层均值与总均值的差值平方； ③ 代入分层方差合并公式，分层方差、层间偏差分别加权求和，再除以总样本量。 4.高频考法 ①已知两层样本量、均值、方差，求总方差 ②三层分层抽样合并方差（中档计算） ③逆用公式：已知总均值、总方差，反求某一层均值 / 方差（填空压轴） ④分层抽样 + 频率分布直方图 + 概率综合大题（解答压轴） ⑤分层方差公式证明（教材拓展证明题） 【例1】（新课标必修二9.4.2例6）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 解：把男生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为. 根据方差的定义，总样本方差为 . 由，可得. 同理可得.因此， . ① 由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为. 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得 . 我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862. 【变式1-1】(吉林省长春市2025一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，，设抽取的总体样本的平均数为和方差为，则，. 【变式1-2】(吉林省长春市2024三模）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为， 则， 【变式1-3】已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________ 【答案】3 【解析】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号；所以， 所以当，时中位数可以达最大， 【例2】（新课标必修二习题9.2拓展探索11）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为.证明： （1）; （2）. 【解析】证明：（1）. （2） .由可得. 同理.因此. 【变式2-1】（山东青岛二中二模）为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（    ） A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55 【答案】B 【解析】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为， 该校学生每天学习时间的方差为. 【变式2-2】为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数______，高三年级学生的样本方差______. 【答案】 4 1.5 【解析】由题意得高中三个年级学生的总样本平均数为4.1， 可得，解得； 因为总样本方差为3.14， 所以， 解得. 故答案为：4；1.5. 【巩固加练】 1．（多选）某学校高一年级有500名学生，其中男生300人，女生200人，学校希望获得全体学生的身高信息，按比例分层抽取了容量为50的样本.经计算，男生样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为.下列说法中正确的是（    ） A．男生应当抽取30人 B．每个女生被抽到的概率均为 C．所有样本的均值为166cm D．所有样本的方差为 【答案】AC 【解析】对于A：抽样比为，所以男生应当抽取人，故A正确； 对于B：每个女生被抽到的概率等于抽样比，故B错误； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，女生有人， 所有的样本均值为：，故C正确； 对于D：设男生样本为，女生样本为， 男生方差，女生方差， ，， 所有样本的方差 ，故D错误. 2．第33届奥林匹克运动会于2024年7月26日—8月11日在法国巴黎举办，中国女排经过艰苦鏖战，成功入选本届奥运女排参赛大名单.为普及奥运知识，弘扬女排精神，某市排协针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“排球运动”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25)，第二组[25，30)，第三组[30，35)，第四组[35，40)，第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄; (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任本市的“中国女排精神”宣传使者: ①若有甲(年龄36)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的人中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率; ②若第四组的人的年龄的平均数与方差分别为36和2，第五组的人的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这n人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1)31.75(岁) (2)①② 【解析】（1）设这n人的平均年龄为， 则 (岁). （2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人， 记为D，乙，样本空间Ω={(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(A，乙)，(A，D)，(B，C)，(B，甲)，(B，乙)， (B，D)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有15个样本点. 设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”， 则M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}， 共有9个样本点.所以. ②设第四组的人的年龄分别为x1，x2，x3，x4，平均数为 ，方差为 ， 设第五组的人的年龄分别为y1，y2，平均数为 ，方差为 ， 设第四组和第五组所有人的年龄的平均数为，方差为， 则 ， 即第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38， ， 即第四组和第五组所有人的年龄的方差为. 据此估计这n人中年龄在35~45岁的所有人的年龄的方差约为. 3．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．    （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 【答案】（1）0.06  60人；（2）；（3）详见解析. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）． （2）的人数占比为％， 的人数占比为％， 所以该校100名学生身高的75％分位数落在， 设该校100名学生身高的75％分位数为， 则％，解得， 故该校100名学生身高的75％分位数为． （3）由题得①；② 又 同理， ∴ . 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $