1.导学案 03 第9章 9.1.2 分层随机抽样(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 9.1.2　分层随机抽样 内容概览 【学习目标】 1.通过具体实例,了解分层随机抽样的特点与适用范围.(数学抽象) 2.掌握各层样本量比例分配的方法.(数据分析) 3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本平均数的求法.(数据分析) 4.能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.(数学建模) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、分层随机抽样 1.分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个 体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行_________抽样,再把所有子 总体中抽取的样本_________作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个 子总体称为层. 2.比例分配:在分层随机抽样中,如果每层_______都与层的大小成比例,那么称这种样本 量的分配方式为比例分配. 3.分层随机抽样的适用条件 分层随机抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充分考虑保持样本结构与总体结构 的一致性,这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由差异明显的几个部分组成时,往 往选用分层随机抽样的方法抽取样本. 简单随机 合在一起 样本量 返回 【教材深化】 简单随机抽样、分层随机抽样的联系和区别 类别 简单随机抽样 分层随机抽样 特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层,分层进行抽取 联系 — 在各层抽样时采用简单随机抽样 适用范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成 共同点 (1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等; (2)每次抽出个体后不再放回,即不放回抽样 返回 【思考】 若按比例计算所得的个体数不是整数怎么处理? 提示:可作适当的近似处理,比如,将结果取成整数等. 返回 二、用分层随机抽样的平均数估计总体的平均数 项目 1层 2层 层个体数 M N 层样本量 m n 层个体变量值 X1,X2,…,XM Y1,Y2,…,YN 层样本的个体 变量值 x1,x2,…,xm y1,y2,…,yn 返回 项目 1层 2层 层总体 平均数 ==Xi ==Yi 层样本 平均数 ==xi ==yi 总体平 均数 = 样本平 均数 = 返回 【思考】 分层随机抽样的总体具有什么特性? 提示:分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分层随机抽样时,每层可以不等可能抽样.( ) 提示:分层随机抽样时,每层仍然要等可能抽样. (2)在分层随机抽样的过程中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与层数及 分层有关.( ) 提示:与层数及分层无关. (3)分层随机抽样适合总体容量较多的总体.( ) × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1分层随机抽样的概念(数学抽象) 【典例1】(1)某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般 干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从 中抽取20人,用下列哪种方法最合适(　　) A.抽签法 B.随机数法 C.社会调查 D.分层随机抽样 【解析】选D.总体由差异明显的三部分构成,应选用分层随机抽样. √ 返回 (2)为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取,必须要求 (　　) A.每层等可能抽取 B.每层抽取的个体数相等 C.每层抽取的比例为(其中n为抽取的样本容量,N是总体容量) D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制 √ 返回 【解析】选C.分层随机抽样时,在各层中按层中所含个体在总体中所占的 比例进行抽样, A中,虽然每层等可能地抽样,但是没有指明各层中应抽取几个个体,故A不 正确; B中,每层的个体数不一定相等,若每层抽取同样多的个体数, 显然从总体来看,各层的个体被抽取的可能性就不相等了,因此B不正确; C中,按照这个比例抽取,对于每个个体来说,被抽取为样本的可能性是相同 的,故C正确;D显然不正确. 返回 【即学即练】 1.某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好 方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采 用的抽样方法是(　　) A.抽签法 B.随机数法 C.社会调查 D.分层随机抽样 【解析】选D.显然男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面存在明显差异, 应当分层抽取,故宜采用分层随机抽样. √ 返回 2.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部 分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生 的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中, 最合理的抽样方法是 (　　) A.随机数法 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.抽签法 √ 返回 【解析】选C.因为事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.为了解该地区中小学生的视力情况,应按学段分层随机抽样,这种抽样方式抽出的样本具有代表性,比较合理. 返回 类型2分层随机抽样的应用(数学抽象) 【典例2】已知某高速服务区餐厅的窗口有四类:①自选快餐,平均每份取餐时长 为1分钟;②商务套餐,平均每份取餐时长为0.5分钟;③现炒现做,平均每份取餐时 长为5分钟;④自动售货机,平均每份取餐时长为1分钟.已知该高速服务区餐厅的 取餐窗口(每台自动售货机按1个取餐窗口计算)一共有18个,就餐高峰期时有400 名消费者在等待就餐.为了提高消费者的用餐满意度,该高速服务区工作人员选 取了100名用餐的消费者进行问卷调查,其中有50人选择了自选快餐,30人选择了 商务套餐,15人选择了现炒现做,5人选择了自动售货机.(注:为了方便计算,若某消 费者选择两类或多类就餐类别,则按该消费者的主要就餐类别归类,每名消费者 只统计为其中一类) 返回 (1)根据以上的调查统计,用样本估计总体,如果设置10个自选快餐窗口,就 餐高峰期时,假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待(即各类取餐的窗 口前队伍长度各自相等),试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少 分钟? (2)根据以上的调查数据统计,用样本估计总体,从等待时长和公平的角度上 考虑,要求每个队伍的最长等待时长大致相等,应如何设置各类取餐窗口数 (结果采用四舍五入法保留整数)?并说明理由. 返回 【思路点拨】(1)计算就餐高峰期时选择自选快餐的总人数,再根据平均分布求 解即可; (2)设自选快餐窗口a个,商务套餐窗口b个,现炒现做窗口c个,自动售货机d台,分别 计算自选快餐、商务套餐、现炒现做、自动售货机的最长等待时间,再依题意, 从等待时长和公平的角度上考虑,要求每个队伍的最长等待时长相等列式求解即 可. 【解析】(1)由题意得,就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为400×=200,这 200人平均分布在10个自选快餐窗口,平均每个窗口等待取餐的人数为=20,所 以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为1×20=20分钟. 返回 (2)设自选快餐窗口a个,商务套餐窗口b个,现炒现做窗口c个,自动售货机d台. 由(1)知自选快餐高峰期就餐总人数为200,每个窗口等待人数为,最长等 待时长为1·=分钟; 商务套餐高峰期就餐总人数为400×=120,每个窗口等待人数为,最长 等待时长为0.5·=分钟; 现炒现做高峰期就餐总人数为400×=60,每个窗口等待人数为,最长 等待时长为5·=分钟; 返回 自动售货机高峰期就餐总人数为400×=20,每台售货机等待人数为,最 长等待时长为1·=分钟. 依题意,从等待时长和公平的角度上考虑,要求每个队伍的最长等待时长相 等,则可得===,即有a∶b∶c∶d=10∶3∶15∶1. 因为a+b+c+d=18.所以a≈6,b≈2,c≈9,d≈1. 故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个,2个,9个, 自动售货机1台. 返回 【总结升华】 分层随机抽样中有关抽样比的计算方法 (1)=; (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽样的个体数之比. 返回 【即学即练】 1.某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度,现从高中部抽取部分学生 进行调查,已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4∶3∶2,若利用分层 随机抽样的方法抽取36人进行调查,则抽取到的高一年级学生比高三多(　　) A.16人 B.12人 C.8人 D.4人 【解析】选C.由题意,采用分层随机抽样的方法,应从高一年级抽取36×=16 人, 从高三年级抽取36×=8人,则抽取到的高一年级学生比高三多16-8=8人. √ 返回 2.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类,现有牡 丹花n朵,千瓣类比单瓣类多30朵,采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡 丹进行观察研究,其中单瓣类有4朵,重瓣类有2朵,千瓣类有6朵,则n= (　　) A.360 B.270 C.240 D.180 【解析】选D.根据分层随机抽样的特点,设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵 数分别为4x,2x,6x, 由题意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x=12×15=180. √ 返回 类型3用样本平均数估计总体平均数(数据分析) 【典例3】(1)甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现 在从甲、乙机床生产的零件中分别抽取40件、60件,甲的平均尺寸为10,乙 的平均尺寸为12,那么抽取的100件产品的平均尺寸是多少? 【思路点拨】求出各层的平均数和个体数所占比例,再利用求平均数的公 式进行计算即可. 返回 【解析】由题知甲机床生产的零件的平均尺寸、个体数所占比例分别为 =10,ω甲=, 乙机床生产的零件的平均尺寸、个体数所占比例分别为=12,ω乙=, 所以抽取的100件产品的平均尺寸 =ω甲+ω乙=×10+×12=11.2. 返回 (2)在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时,甲同学抽取了 一个样本量为10的样本,并算得样本的平均数为5;乙同学抽取了一个样本 量为8的样本,并算得样本的平均数为6.若将甲、乙两名同学抽取的样本合 在一起组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本平均数. 【解析】由题意可知甲抽取的样本量m=10,平均数=5,乙抽取的样本量 n=8,平均数=6,则合在一起后的样本平均数 =+=×5+×6=. 返回 【总结升华】 1.求分层随机抽样的平均数的步骤 (1)求样本中不同层的平均数; (2)求样本中不同层的个体数占总体的个体数的比例; (3)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解. 2.样本平均数和各层的样本平均数的关系 =+=+. 返回 【即学即练】 某校高一年级有女生504人,男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年 级全体学生的平均体重,从高一女生和男生中分别随机抽取50人和60人,经 计算这50名女生的平均体重为49 kg,60名男生的平均体重为57 kg.依据以 上条件,估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为(　　) A. B.×49+×57 C.×49+×57 D.×49+×57 √ 返回 【解析】选D.由题意得高一年级学生的总人数为504+596=1 100.从高一年级的女生和男生中分别随机抽取50人和60人,没有按照性别比例分配的方式进行抽样,不能直接用样本平均数估计总体平均数,需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重,即×49+×57,即D选项最合理. 返回 已知样本x1,x2,…,xn的平均数为,样本y1,y2,…,ym的平均数为(≠).若样本 x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数z=a+(1-a),其中<a<1,则n,m(n,m∈N*)的大小关 系为(　　) A.n=m B.n≤m C.n>m D.n<m 【解析】选C.因为样本x1,x2,…,xn的平均数为,样本y1,y2,…,ym的平均数为(≠), 所以这m+n个数的平均数为:=+=a+(1-a),所以a=. 因为<a<1,所以<<1, 因为n,m∈N*,所以m+n<2n,所以n>m. √ 返回 $ 9.1.2　分层随机抽样 【学习目标】 1.通过具体实例,了解分层随机抽样的特点与适用范围.(数学抽象) 2.掌握各层样本量比例分配的方法.(数据分析) 3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本平均数的求法.(数据分析) 4.能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.(数学建模) 必备知识·自主导学 一、分层随机抽样 1.分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. 2.比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3.分层随机抽样的适用条件 分层随机抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性,这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层随机抽样的方法抽取样本. 【教材深化】 简单随机抽样、分层随机抽样的联系和区别 类别 简单随机抽样 分层随机抽样 特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层,分层进行抽取 联系 — 在各层抽样时采用简单随机抽样 适用范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成 共同点 (1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等; (2)每次抽出个体后不再放回,即不放回抽样 【思考】 若按比例计算所得的个体数不是整数怎么处理? 提示:可作适当的近似处理,比如,将结果取成整数等. 二、用分层随机抽样的平均数估计总体的平均数 项目 1层 2层 层个体数 M N 层样本量 m n 层个体变量值 X1,X2,…,XM Y1,Y2,…,YN 层样本 的个体 变量值 x1,x2,…,xm y1,y2,…,yn 层总体 平均数 = =Xi = =Yi 层样本 平均数 = =xi = =yi 总体平 均数 = 样本平 均数 = 【思考】 分层随机抽样的总体具有什么特性? 提示:分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分层随机抽样时,每层可以不等可能抽样. (×) 提示:分层随机抽样时,每层仍然要等可能抽样. (2)在分层随机抽样的过程中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与层数及分层有关. (×) 提示:与层数及分层无关. (3)分层随机抽样适合总体容量较多的总体. (×) 关键能力·师生共研 类型1分层随机抽样的概念(数学抽象) 【典例1】(1)某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人,用下列哪种方法最合适 (　　) A.抽签法 B.随机数法 C.社会调查 D.分层随机抽样 【解析】选D.总体由差异明显的三部分构成,应选用分层随机抽样. (2)为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取,必须要求 (　　) A.每层等可能抽取 B.每层抽取的个体数相等 C.每层抽取的比例为(其中n为抽取的样本容量,N是总体容量) D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制 【解析】选C.分层随机抽样时,在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样, A中,虽然每层等可能地抽样,但是没有指明各层中应抽取几个个体,故A不正确; B中,每层的个体数不一定相等,若每层抽取同样多的个体数, 显然从总体来看,各层的个体被抽取的可能性就不相等了,因此B不正确; C中,按照这个比例抽取,对于每个个体来说,被抽取为样本的可能性是相同的,故C正确;D显然不正确. 【即学即练】 1.某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 (　　) A.抽签法 B.随机数法 C.社会调查 D.分层随机抽样 【解析】选D.显然男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层随机抽样. 2.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (　　) A.随机数法 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.抽签法 【解析】选C.因为事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.为了解该地区中小学生的视力情况,应按学段分层随机抽样,这种抽样方式抽出的样本具有代表性,比较合理. 类型2分层随机抽样的应用(数学抽象) 【典例2】已知某高速服务区餐厅的窗口有四类:①自选快餐,平均每份取餐时长为1分钟;②商务套餐,平均每份取餐时长为0.5分钟;③现炒现做,平均每份取餐时长为5分钟;④自动售货机,平均每份取餐时长为1分钟.已知该高速服务区餐厅的取餐窗口(每台自动售货机按1个取餐窗口计算)一共有18个,就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐.为了提高消费者的用餐满意度,该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查,其中有50人选择了自选快餐,30人选择了商务套餐,15人选择了现炒现做,5人选择了自动售货机.(注:为了方便计算,若某消费者选择两类或多类就餐类别,则按该消费者的主要就餐类别归类,每名消费者只统计为其中一类) (1)根据以上的调查统计,用样本估计总体,如果设置10个自选快餐窗口,就餐高峰期时,假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待(即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等),试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟? (2)根据以上的调查数据统计,用样本估计总体,从等待时长和公平的角度上考虑,要求每个队伍的最长等待时长大致相等,应如何设置各类取餐窗口数(结果采用四舍五入法保留整数)?并说明理由. 【思路点拨】(1)计算就餐高峰期时选择自选快餐的总人数,再根据平均分布求解即可; (2)设自选快餐窗口a个,商务套餐窗口b个,现炒现做窗口c个,自动售货机d台,分别计算自选快餐、商务套餐、现炒现做、自动售货机的最长等待时间,再依题意,从等待时长和公平的角度上考虑,要求每个队伍的最长等待时长相等列式求解即可. 【解析】(1)由题意得,就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为400×=200,这200人平均分布在10个自选快餐窗口,平均每个窗口等待取餐的人数为=20,所以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为1×20=20分钟. (2)设自选快餐窗口a个,商务套餐窗口b个,现炒现做窗口c个,自动售货机d台. 由(1)知自选快餐高峰期就餐总人数为200,每个窗口等待人数为,最长等待时长为1·=分钟; 商务套餐高峰期就餐总人数为400×=120,每个窗口等待人数为,最长等待时长为0.5·=分钟; 现炒现做高峰期就餐总人数为400×=60,每个窗口等待人数为,最长等待时长为5·=分钟; 自动售货机高峰期就餐总人数为400×=20,每台售货机等待人数为,最长等待时长为1·=分钟. 依题意,从等待时长和公平的角度上考虑,要求每个队伍的最长等待时长相等, 则可得===,即有a∶b∶c∶d=10∶3∶15∶1. 因为a+b+c+d=18.所以a≈6,b≈2,c≈9,d≈1. 故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个,2个,9个,自动售货机1台. 【总结升华】 分层随机抽样中有关抽样比的计算方法 (1)=; (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽样的个体数之比. 【即学即练】 1.某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度,现从高中部抽取部分学生进行调查,已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4∶3∶2,若利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查,则抽取到的高一年级学生比高三多 (　　) A.16人 B.12人 C.8人 D.4人 【解析】选C.由题意,采用分层随机抽样的方法,应从高一年级抽取36×=16人, 从高三年级抽取36×=8人,则抽取到的高一年级学生比高三多16-8=8人. 2.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类,现有牡丹花n朵,千瓣类比单瓣类多30朵,采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究,其中单瓣类有4朵,重瓣类有2朵,千瓣类有6朵,则n= (　　) A.360 B.270 C.240 D.180 【解析】选D.根据分层随机抽样的特点,设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x,2x,6x, 由题意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x=12×15=180. 类型3用样本平均数估计总体平均数(数据分析) 【典例3】(1)甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从甲、乙机床生产的零件中分别抽取40件、60件,甲的平均尺寸为10,乙的平均尺寸为12,那么抽取的100件产品的平均尺寸是多少? 【思路点拨】求出各层的平均数和个体数所占比例,再利用求平均数的公式进行计算即可. 【解析】由题知甲机床生产的零件的平均尺寸、个体数所占比例分别为=10,ω甲=, 乙机床生产的零件的平均尺寸、个体数所占比例分别为=12,ω乙=, 所以抽取的100件产品的平均尺寸=ω甲+ω乙=×10+×12=11.2. (2)在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个样本量为10的样本,并算得样本的平均数为5;乙同学抽取了一个样本量为8的样本,并算得样本的平均数为6.若将甲、乙两名同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本平均数. 【解析】由题意可知甲抽取的样本量m=10,平均数=5,乙抽取的样本量n=8,平均数=6,则合在一起后的样本平均数=+=×5+×6=. 【总结升华】 1.求分层随机抽样的平均数的步骤 (1)求样本中不同层的平均数; (2)求样本中不同层的个体数占总体的个体数的比例; (3)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解. 2.样本平均数和各层的样本平均数的关系 =+=+. 【即学即练】 某校高一年级有女生504人,男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重,从高一女生和男生中分别随机抽取50人和60人,经计算这50名女生的平均体重为49 kg,60名男生的平均体重为57 kg.依据以上条件,估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为 (　　) A. B.×49+×57 C.×49+×57 D.×49+×57 【解析】选D.由题意得高一年级学生的总人数为504+596=1 100.从高一年级的女生和男生中分别随机抽取50人和60人,没有按照性别比例分配的方式进行抽样,不能直接用样本平均数估计总体平均数,需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重,即×49+×57,即D选项最合理. 已知样本x1,x2,…,xn的平均数为,样本y1,y2,…,ym的平均数为(≠).若样本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数z=a+(1-a),其中<a<1,则n,m(n,m∈N*)的大小关系为 (　　) A.n=m B.n≤m C.n>m D.n<m 【解析】选C.因为样本x1,x2,…,xn的平均数为,样本y1,y2,…,ym的平均数为(≠), 所以这m+n个数的平均数为:=+=a+(1-a),所以a=. 因为<a<1,所以<<1, 因为n,m∈N*,所以m+n<2n,所以n>m. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $