浙江省宁波市江北区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期八年级学业质量检测（数学试题） 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，请将试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷I 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．传统建筑中的建筑构件体现着无数古人的智慧，每种窗花都有它美好的寓意，下列窗花纹饰是中心对称图形的是（ ▲ ） A．卷草纹 B．涡旋纹 C．冰裂纹 D．牛角纹 2．计算的结果是（ ▲ ） A． B． C．5 D． 3．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（ ▲ ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 5．下图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（ ▲ ） A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 6．如图，在梯形中，，，顺次连结四边中点，得到的四边形一定是（ ▲ ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 7．如图是甲、乙、丙三个班级学生立定跳远测试成绩的箱线图，根据图中信息，下列说法错误的是（ ▲ ） A．三个班级中，甲班跳远成绩的方差最小 B．丙班跳远成绩低于的人数多于高于的学生人数 C．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 D．若每班有40名学生，则这三个班级的第10名中，丙班的分数最高 8．如图，在直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（ ▲ ） A．9.6 B．5 C．4.8 D．6 9．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（ ▲ ） A．2 B． C． D． 10．如图，在中，点E在边上，连结，，且，分割成的三部分恰好可以拼成菱形．若在线段上存在点F，使得，，四边形能拼成一个和菱形全等的四边形，若，，则的长度为（ ▲ ） A．2 B．3 C． D．4 试题卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ▲ ． 12．一个多边形的内角和与外角和之和为，则该多边形的边数是 ▲ ． 13．有10个数据，它们的方差是10；现将这十个数据分成两组，若两组数据的组内离差平方和是78，则它们的组间离差平方和是 ▲ ． 14．如图，的对角线，相交于点O，平分交于点E，点F是的中点．连结，若，，则的长为 ▲ ． 15．如图，将矩形沿着它的对角线翻折，若点恰好落在的中垂线上，那么的值为 ▲ ． 16．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是 ▲ ． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17．（本题8分）计算：（1）； （2）． 18．（本题8分）解方程：（1）； （2）． 19．（本题8分）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． （1）使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； （2）使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 20．（本题8分）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加射击比赛，在最近的选拔赛中，他们每人的十次射击成绩（单位：环）如下： 甲：9.0，8.6，6.2，8.8，6.8，7.2，8.4，8.4，10.0，9.6； 乙：8.5，8.1，8.7，9.3，7.4，8.5，7.2，8.0，8.5，8.8． （1）小江利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：， ▲ ； 方差：，，可以看出， ▲ （填甲或乙）的射击成绩更稳定； （2）小北利用四分位数、箱线图（如图）进行分析： ①根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，补全甲的箱线图； ②根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对甲乙两人成绩的看法． 21．（本题8分）如图，在菱形中，分别以A，C为圆心，长为半径画圆弧，两弧分别与对角线交于F，E两点，连结，，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 22．（本题10分）小江和小北在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小江找到的资料如下：我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则面积（秦九韶公式）． 小北找到的资料如下：古希腊数学家海伦在所著《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则面积（海伦公式）． （1）已知的三边a，b，c的值如下，请运用合适的公式计算的面积． ①，，；②，，． （2）结合（1），谈谈你对两个公式如何选择的看法． 23．（本题10分）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】（1）如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有 ▲ （多选） A．所用矩形的长为，宽为x B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为 D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】（2）如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则 ▲ ， ▲ ． 【拓展拔高】（3）如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 24．（本题12分）如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． （1）如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． （2）如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． （3）如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期八年级学业质量检测（数学) 参考答案与评分参考 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求) 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D B C A B 9.3x2+2x-1=0, +x= 3 3 :1+1=+=2 x x2 xx2 10.由题意画出图1，易得CF=BE=CE=13, 如图2作EM⊥BC于点M,CN⊥BE于点N. .BC=AD=413, ∴.CM=2W13, .'EC=13,EM⊥BC, EM=V132-(2√13)2=313. ,'CN·BE=EM·BC, 图1 ..CN-3113x4Vi3 13 212: ,CN⊥BE, ∴.EW=V132-122=5, M ∴.BF=13-2×5=3. 图2 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 x≥-2 5 22 1-2 √5 ns、 4 15.连结BB ,B'在AD中垂线上，四边形ABCD是矩形 ∴B'在BC中垂线上， ..BB'=B'C=BC, .∠B'BC=60°. ,翻折， .BB'⊥AC .∠ACB=30°， :BC=5,即 2=5. AB AB 16..x2+(m+n)x+mn+n-1=0, .x1+x2=-(m+n),xx2=mn+n-1. ,满足是3的偏向方程， …x-x2≥3， .(x+x2)2-4xx2≥9， (m+n)2-4(mn+n-1)≥9. ∴.(m-n2≥4n+5. ,对于任意的实数m,都满足3的偏向方程， ∴.4n+5≤0， s-圣 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17.(8分)(1)原式=√2-√2 =0 .4分 (2)原式=1+2√2+2-2√2 =3 8分 18.(8分)(1)x2=2x+3 (x-12=4 x1=-1,X2=3 4分 (2)(x+4)2=2(x+4) (x+4x+2)=0 x1=-4,x2=-2 …8分 19.(8分) 2 8分 20.(8分) (1)8.3,乙 3分 (2)① 10.0 9.3 8.0 .6分 稀 甲 乙 ②两人的中位数相同，但是甲箱体高度更大，说明数据不集中，甲的成绩波动更大，不稳定 8分 21.(8分)(1)四边形BEDF是菱形，理由如下：连结BD交AC于点O, ,四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD,OA=OC,BD⊥AC. ,由题意，AF=CE, ∴.AF-AO=CE-CO, 即OF=OE, ∴.四边形BEDF是平行四边形， 又，BD⊥AC ∴.四边形BEDF是菱形 4分 (2)由（1)可知，AO=3,AE-CF=6-5=1, .'BO LAO,AB=5, .B0=V52-32=4, ∴.BD=2BO=8, .'AC=6,AE=CF=1, ∴.EF=4, BD·EF .S菱形BBDF= =16. 2 .8分 2.(10分)(1)①用海伦公式，p=a+b+c=9 2 S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√9×4×3×2 =66 .4分 ②用秦九韶公式， 5+6- 2 -V45x6-4到 ②6 2 …8分 (2)当三边长带根号时用秦九韶公式，否则选用海伦公式.（出现分类讨论思想，且言之有 理即可) .10分 23.(10分)（1)ABC 3分 (2)a=1_,b=6 .7分 (3)设原矩形的长和宽分别为x+a和x. 由题意得：(x+2+a)(x+2)-x(x+a)=24, 化简得：2x+a=10. .(2x+a)2+a2=104, .a2=4, ∴.a=2, 代入2x+a=10,得：x=4, ∴.原矩形的长和宽分别为6和4. ….10分 24.（12分)（1)，'∠ABC=∠EBF=90°， ∴.∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC.即∠ABE=∠CBF, 在△ABE和△CBF中 AB=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF ∴.△ABE≌△CBF(SAS) 4分 (2)方法1：延长AE、FC交于点M. ,'△ABE≌△CBF(SAS), ..AE=FC=10, AB=52, ∴.BE=2√10， ,∠BEM=∠EBF=∠BFM, ∴.四边形BFME是矩形， ∴.BE=FM=2V10, .∠FME=90°， AE-FM=10. 2 方法2：由AEI/BF可得SAMF=SMBE=10. 8分 (3)当△BMN在正方形内部时， 过点A作AF⊥BM, ,∠ABF+∠MBC=90°， ∠BCM+∠MBC=90°， ∴.∠ABF=∠BCM, E 在△ABF和△BCM中 M [∠ABF=∠BCM 0 ∠AFB=∠BMC F AB=BC B ∴.△ABF≌△BCM(AAS) ∴.BF=CM .'BN=BC,BM⊥NC, ..NM=CM, ∴.BF=NM=CM 设CM=a,FM=b,则BF=NM=CM=a, Su= MN-FM =3, 2 .ab=6. .a2+(a+b)2=50, ∴.a4-19a2+18=0, D ∴.a2=18或1， 即AE2=18或1. 同理可求当△BMN在正方形外部时， 得：a2+(b-a)2=50, F ∴.a4-31a2+18=0, B C(N) a2=31±v889 M 即AE2=18或1. 综上所述 AE2=18或1或31±889 2 …12分