精品解析：浙江省宁波市江北区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

浙江省宁波市江北区2024-2025学年下学期八年级 数学试题卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国的传统文化中，图案纹饰承载着人们对美好生活的期盼和祝福，下列图案纹饰中是中心对称图形的是（ ） A. 团花纹 B. 山茶纹 C. 鱼纹 D. 祥云边三兔纹 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 6. 已知一组数据：3，3，4，6，若再添加一个数据4得到一组新数据，则这组新数据的统计量不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第二、四象限内 C. y随x的增大而减小 D. 若，则 8. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 9. 如图，在菱形中，，，与相交于点O，点P是线段上的任意点，以为对角线作平行四边形，连结，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 10. 如图，正方形的顶点在正方形上，四边形也是正方形，且点，，在同一直线上，则正方形与正方形的面积比为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 八边形的内角和为________度． 12. 宁波舟山港作为全球货物吞吐量第一大港，其装卸效率至关重要，四个核心作业区（甬东、甬南、甬西、甬北）在某周工作日的集装箱平均每小时装卸箱数相同，为了评估各作业区工作效率的稳定性，统计了其装卸效率的方差如下：，则装卸效率最稳定的作业区是_________． 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为_________． 14. 如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若则的长为_________． 15. 如图，矩形的顶点A、C在双曲线上，顶点B、D在x轴上，交y轴于点E，若，则_________． 16. 如图，在中，点E为边的中点，将沿折叠，边交的延长线于点F，连结，若，，则的长为_________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮杨梅标准重量为，现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下（单位：g）： 甲：987，987，993，993，1000，1003，1003，1003，1013，1015； 乙：988，988，989，999，999，999，1000，1012，1013，1014． 分析数据如表： 队伍 平均数 中位数 众数 甲 999.7 1001.5 a 乙 1000.1 b 999 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ． （2）若比赛规则规定，采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出，请问哪队会胜出？请说明理由． 20. 如图1，点P在的平分线上，交于点B． 任务：用尺规在射线上确定一点C，使得四边形是菱形． 小江：如图2，以点A为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小北：以点P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小江：小北，我认为你的作法有问题哦， 小北：是吗？让我想想……哦！我明白了． （1）证明：小江所作的四边形是菱形． （2）请指出小北作法中存在的问题，并说明理由， 21. 图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．） （1）在图1中，画出一个以为边的正方形（保留作图痕迹）． （2）在（1）的基础上，在边上画点Q，使得平分正方形的面积（保留作图痕迹）． （3）在图2中，画出一个以为边的非正方形的菱形（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 ． 22. 古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 23. 设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． （1）求k的值． （2）若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． （3）一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 24. 我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形． （1）如图1，M是的中点，若，求的长． （2）如图2，M是的中点，连结交于点O，连结． ①求证： ②如图3，若，取的中点N，连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市江北区2024-2025学年下学期八年级 数学试题卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 即： 解不等式： 因此，的取值范围是， 故选：A． 2. 在中国的传统文化中，图案纹饰承载着人们对美好生活的期盼和祝福，下列图案纹饰中是中心对称图形的是（ ） A. 团花纹 B. 山茶纹 C. 鱼纹 D. 祥云边三兔纹 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，寻找对称中心是解题的关键； ‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； C．找不到一点旋转后与原图重合，是不中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性。 【详解】A. ，二次根式加法不能直接合并，错误，故本选项不符合题意； B. ，系数相减但未保留根号，结果应为，错误，故本选项不符合题意； C. ，符合二次根式乘法法则，正确，故本选项符合题意； D. ，算术平方根非负，结果应为而非，错误，故本选项不符合题意； 故选：C。 4. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程通过配方法转化为完全平方形式，需正确移项并添加适当的常数项． 【详解】解：移常数项：将移到右边，得， 配方：两边加上一次项系数4的一半的平方（即），得： 即， 故选：D． 5. 牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 6. 已知一组数据：3，3，4，6，若再添加一个数据4得到一组新数据，则这组新数据的统计量不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数据统计量的变化，需逐一计算原数据与添加数据后的新数据的平均数、众数、中位数和方差，判断是否发生变化． 【详解】原数据为3、3、4、6，添加一个4后，新数据为3、3、4、4、6． ∴原平均数：，新平均数： ∴平均数未变，故A选项符合题意； 原众数为3（出现2次）； 新数据中3和4均出现2次， ∴众数变为3和4． ∴众数改变，故B选项不符合题意； 原数据排序后为3、3、4、6，中位数为； ∴新数据排序后为3、3、4、4、6，中位数为4． ∴中位数改变，故C选项不符合题意； 原方差：； 新方差：． ∴方差改变，故D选项不符合题意； 故选A． 7. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第二、四象限内 C. y随x的增大而减小 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 根据反比例函数的性质，，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小．结合各选项逐一验证即可． 【详解】A．将点代入函数，得，满足函数关系，故正确，该选项符合题意； B．因，图象应位于第一、三象限，而非第二、四象限，故错误，该选项不符合题意； C．当时，函数在每一象限内随的增大而减小，但未限定同一象限，整体上不能直接断言随的增大而减小（例如从负数增大时，可能增大），故错误，该选项不符合题意； D．当时，的值会随增大而减小，例如时，显然，故错误，该选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．根据题意画出图形，根据平行四边形、菱形及矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．如图，过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D， ， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项说法正确，不合题意； B．如图，过点O作的垂线交纸条两边于点C，D， 同理可证四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B选项说法正确，不合题意； C．如图，分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D， ，，， ， 四边形是矩形， 故C选项说法正确，不合题意； D．如图，在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得， 根据，，不能判定四边形是平行四边形， 故D选项说法错误，符合题意， 故选D． 9. 如图，在菱形中，，，与相交于点O，点P是线段上的任意点，以为对角线作平行四边形，连结，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作，与交于，的运动轨迹在直线上，当时，取得最小值，结合直角三角形的特征，由勾股定理，由菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，结合平行四边形的性质及勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过作，与交于，分别过点O、Q做的垂线，垂足分别为M、N。 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 的运动轨迹在直线上， 当时，取得最小值， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，垂线段最短等；掌握菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，能找出取得最小值的条件，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 10. 如图，正方形的顶点在正方形上，四边形也是正方形，且点，，在同一直线上，则正方形与正方形的面积比为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．延长交于点，连接，依题意得是线段的垂直平分线，则，证明和全等得，进而得，设，则，则，进而由勾股定理得，则，由此求出正方形与正方形的面积比即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，连接，如图所示： 四边形和四边形都是正方形， ，， 是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，其中， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 正方形与正方形的面积比为． 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 12. 宁波舟山港作为全球货物吞吐量第一大港，其装卸效率至关重要，四个核心作业区（甬东、甬南、甬西、甬北）在某周工作日的集装箱平均每小时装卸箱数相同，为了评估各作业区工作效率的稳定性，统计了其装卸效率的方差如下：，则装卸效率最稳定的作业区是_________． 【答案】甬北 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题关键．根据方差的意义，即“方差越小，数据波动越小”即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴甬北的方差最小， ∴装卸效率最稳定的作业区是甬北． 故答案为：甬北． 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解是能使得等式两边相等的值． 把代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值． 【详解】解：把代入方程得：， 解方程得． 故答案为：． 14. 如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若则的长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识点，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，得到，根据等腰三角形的判定得出，即可求出，能熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，矩形的顶点A、C在双曲线上，顶点B、D在x轴上，交y轴于点E，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A，C作轴的垂线，垂足分别为P，Q，连接，证明，得到，则，证明是等边三角形，得到，则，得到，即可得到，得到的值即可． 【详解】解：过点A，C作轴的垂线，垂足分别为P，Q，连接，则 ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形的顶点A、C在双曲线上， ∴， ∴点O是的中点， ∴点O是的中点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、求反比例函数解析式、矩形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识，数形结合是关键． 16. 如图，在中，点E为边的中点，将沿折叠，边交的延长线于点F，连结，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质和翻折问题，全等三角形判定与性质，理勾股定理，解题的关键是掌握翻折的性质和全等三角形判定定理和性质定理．延长交于点G，过点E作于点M，证明，可得，由折叠可得，即可求出，而，知，设，由，列方程可解得，设，则，根据，求出，再根据勾股定理得，从而． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点E作于点M， 在中，， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由， 设，则， 在 中，， ∴， 解得，即， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式和二次根式的乘法，再计算加法即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 19. 杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮杨梅标准重量为，现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下（单位：g）： 甲：987，987，993，993，1000，1003，1003，1003，1013，1015； 乙：988，988，989，999，999，999，1000，1012，1013，1014． 分析数据如表： 队伍 平均数 中位数 众数 甲 999.7 1001.5 a 乙 1000.1 b 999 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ． （2）若比赛规则规定，采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出，请问哪队会胜出？请说明理由． 【答案】（1）1003；999 （2）甲队有6人符合标准重量，乙队有4人符合标准重量，甲队胜． 【解析】 【分析】本题考查了求众数、中位数，有理数的加减运算的实际应用， （1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可； （2）首先得到一篮杨梅标准重量为然后分别求出甲队有6人符合标准重量，乙队有4人符合标准重量，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵甲队中1003出现的次数最多 ∴众数； ∵共有10个数据 ∴中位数为第5个数据和第6个数据的平均数 ∴乙队中位数； 【小问2详解】 ∵规定一篮杨梅标准重量为， ∴， ∴一篮杨梅标准重量为 ∴甲队中采摘的杨梅重量符合标准重量篮数有993，993，1000，1003，1003，1003，共6篮， 乙队中采摘的杨梅重量符合标准重量篮数有999，999，999，1000，共4篮， ∴甲队胜． 20. 如图1，点P在的平分线上，交于点B． 任务：用尺规在射线上确定一点C，使得四边形是菱形． 小江：如图2，以点A为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小北：以点P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小江：小北，我认为你的作法有问题哦， 小北：是吗？让我想想……哦！我明白了． （1）证明：小江所作的四边形是菱形． （2）请指出小北作法中存在的问题，并说明理由， 【答案】（1）证明见解析 （2）存在的问题及理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）由角平分线和平行线得到，推出，然后结合，得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据以P为圆心为半径作弧，与可能会有两个交点即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由作法可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：以P为圆心为半径作弧，与可能会有两个交点，其中只有一个是菱形而另一个，不满足要求． 21. 图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．） （1）在图1中，画出一个以为边的正方形（保留作图痕迹）． （2）在（1）的基础上，在边上画点Q，使得平分正方形的面积（保留作图痕迹）． （3）在图2中，画出一个以为边的非正方形的菱形（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 ． 【答案】（1） 如图正方形即为所求； （2） 如图 （3） 如图， 矩形 【解析】 【分析】此题考查了菱形和正方形的判定、矩形的性质、勾股定理与网格问题等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据勾股定理和网格的特点，正方形的判定进行作图即可； （2）根据正方形和矩形的中心对称性即可作图； （3）根据菱形的判定和勾股定理，三角形中位线定理、矩形的判定等知识作图和解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为x， 解得 ，（舍） 答：日平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去） 答：售价应降低2元． 23. 设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． （1）求k的值． （2）若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． （3）一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 【答案】（1） （2）和 （3）3或 【解析】 【分析】（1）根据在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小求解即可； （2）根据题意可得或，代入反比例函数解析式可得n的取值范围； （3）分两种情况讨论①当点C在A点的右侧，②当点C在A点的左侧，根据面积关系列出相应的方程求出m值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， ∴当时，最小值为， 当时，最大值为， 由①，②得：． 【小问2详解】 ∵到y轴的距离大于3， ∴或， ∵， ∴或； 【小问3详解】 解，得，， ∴． 解，得， ∴， ∴ ∴ ①当点C在A点的右侧 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ②当点C在A点的左侧， 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴（舍），， 所以点C的横坐标为3或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k得几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 24. 我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形． （1）如图1，M是的中点，若，求的长． （2）如图2，M是的中点，连结交于点O，连结． ①求证： ②如图3，若，取的中点N，连接，若，求的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，平行四边形的判定与性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理即可求解； （2）①连结，证明四边形是平行四边形，得到，再证明，易得B，O，D三点共线． 易证是的中位线， 即可证明结论；②证明是的中位线．推出． 设与交于点K，作的高，的高，证明，推出，根据，得到．设，则，求出，，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是直角三角形，点M是中点，， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连结， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B，O，D三点共线． ∵点M是中点， ∴是的中位线， ∴； ②∵，M是中点， ∴是的中位线． ∴． 设与交于点K，作的高，的高， ∵点N是的中点， ∴， 由①知，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $