精品解析：湖北武汉市吴家山中学2025-2026学年高一下学期期末复习数学试卷6.22

高一下学期期末复习数学试卷 时间：2026年6月22日 试卷满分：150分 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的四则运算化简，得到的代数形式，即可得点坐标. 【详解】， 该复数在复平面内对应的点的坐标为． 故选：A 2. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（ ） 2145 7016 3388 2954 0761 1084 3711 6928 5074 3602 9578 4183 1572 6049 0839 2456 8109 8043 1967 5203 9845 9625 A. 084 B. 611 C. 371 D. 295 【答案】A 【解析】 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据， 依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084， 即得到的第3个样本编号是. 故选：A. 3. 已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线面的位置关系即可判断ABC，利用面面垂直的性质定理即可判断D. 【详解】对于A：若，，则或与相交或者异面，故A错误； 对于B：若，，，，当与相交时才可以判断 故B错误； 对于C：若，，，，则或相交，故C错误； 对于D：若，，，，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知为锐角三角形，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角形及，得出角的范围，再利用正弦定理可得，由正切函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，即， 因为为锐角三角形， 所以，即，则， 由正弦定理， ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：C. 5. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大，根据已知条件求出两个球的半径，解不等式即可. 【详解】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大. 因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2， 如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为. 因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示， 所以正四面体的外接球半径，所以， 故选：B. 6. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可. 【详解】在中，，所以. 又，所以. 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 7. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】依据线面平行判定定理，棱锥体积公式，等体积法求点到面的距离等知识对选项逐一判断即可. 【详解】 在正方体中，连接可知相交于点，且被互相平分，故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为2，所以四边形是正方形且， 面,， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍， 而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面， 由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为，在中由余弦定理可知，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为,由等体积法知： ，故错误. 故选：D. 8. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（平面），若在线段上（点与、不重合），则在翻折过程中，给出下列判断： ①当为线中点时，为定值； ②存在某个位置，使； ③当四棱锥体积最大时，点到平面的距离为； ④当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为. 其中判断正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】①利用余弦定理判断；②利用反证法结合线面垂直的性质判断；③过点作，垂足为点，计算出的最大值即可判断；④由二面角与线线角的定义，结合余弦定理判断. 【详解】在矩形 中，，则： 对于①，取的中点, 连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因为且，、分别为、的中点，故且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 结合图形可知， 由余弦定理可知，则，故①正确； 对于②，假设存在某个位置，使，连接， 取的中点，连接、， ，为的中点，则， 而，、平面，所以，平面， 平面，则，进而有， 但，，则，矛盾，故②错误； 对于③，因为，，， ，， 又因为，故二面角的平面角为， ，，则，， 所以，， 过点作，垂足为点， ，，，、平面， 平面，平面，， ，，、平面，平面， 且， 当为直角时，取最大值，此时，四棱锥的体积最大，③对； 对于④，易知二面角 的平面角 ， 当二面角的大小为时，， 又，则为等边三角形，所以， 因为，所以，异面直线与所成角为或其补角， ，故④错误. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 二、多选题 9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ） A. 这8名女生的数学成绩的极差为14 B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C. 为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D. 这20名学生的数学成绩的方差是33 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差定义判断A，根据百分位数定义即得判断B，应用方差性质及分层抽样的方差公式计算判断C，D. 【详解】12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73， 则这8名女生的数学成绩的极差为，A选项正确； 8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80，因为，则这8名女生的数学成绩的第25百分位数是，B选项正确； 12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，， 现在把这12名男生的成绩换算成150分制，则这12名男生数学成绩换算后的方差是，C选项错误； 因为这20名学生的数学成绩平均数，这20名学生的数学成绩的方差是，D选项正确； 故选：ABD. 10. 在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（    ） A. 三角形一定不是锐角三角形 B. 一定为负值 C. 若角是锐角且，则 D. 若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误. 11. 如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆锥与球的交线的轨迹长为 C. 若，则 D. 平面截球的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的几何关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A；先确定圆锥与球的交线是一个圆，通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断选项B；根据题意可得，再结合三余弦定理，可以判断选项C；当球心到平面的距离最大时截面圆半径最小，进而得到最小面积，可以判断选项D. 【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接，则必过球心， 因为轴截面为正三角形且底面圆半径为， 所以， 所以， 故A正确； 对于B，如图（2），易知，圆锥与球的交线的轨迹为， 因为，所以在中， 可得，求得半径， 故轨迹长为错误； 对于C，根据三余弦定理可知， ， 故C正确； 对于D，当绕着旋转时，平面恒过定直线，若要使得平面截球的截面面积最小，只需球心到平面的距离达到最大， 如图（3）过作直线的垂线，垂足为到平面的最大距离为， 又因为在中，，所以截面半径的最小值为， 所以平面截球的截面面积的最小值为，故D正确. 三、填空题 12. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解. 【详解】， 其中，所以，解得， 则在上的投影向量为. 13. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 【答案】 ①. ## ②. 15 【解析】 【分析】利用图形中的角度关系结合余弦定理即可. 【详解】解析由题意，得 又 在中，由余弦定理的推论得， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：；15. 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取、、分别为、、的中点，分析出四边形为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱补成正方体，计算出三棱柱的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且， 在直三棱柱中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取的中点，连接、， ，，且点为的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得， 所以，、、均为等边三角形， . 故答案为：. 四、解答题 15. 在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角； （2）若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，可得，求得，即可求解； （2）在中，由余弦定理，求得或，分类讨论，分别求得的长，进而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. 【小问2详解】 在中，因为， 由余弦定理得， 即，解得或， 当时，， 则，即，此时周长； 当时， 则，即，此时周长为， 综上所述，的周长为或. 16. 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： （1）求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； （2）估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （3）若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【答案】（1），众数是； （2），； （3）①证明：依题意，，所以原等式成立. ②证明：， 又，则， 同理， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数. （2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得，再利用方差公式可求得. （3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出，再利用方差公式可证得结论成立. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 ①略 ②略 17. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【小问1详解】 当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以， 故，； 【小问2详解】 为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 18. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 【答案】（1）取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AB的中点O，连接SO，CO，AC， 因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求的长； （3）是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1）由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. （2） （3）存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. 【小问3详解】 在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末复习数学试卷 时间：2026年6月22日 试卷满分：150分 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（ ） 2145 7016 3388 2954 0761 1084 3711 6928 5074 3602 9578 4183 1572 6049 0839 2456 8109 8043 1967 5203 9845 9625 A. 084 B. 611 C. 371 D. 295 3. 已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 4. 已知为锐角三角形，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 8. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（平面），若在线段上（点与、不重合），则在翻折过程中，给出下列判断： ①当为线中点时，为定值； ②存在某个位置，使； ③当四棱锥体积最大时，点到平面的距离为； ④当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为. 其中判断正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ） A. 这8名女生的数学成绩的极差为14 B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C. 为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D. 这20名学生的数学成绩的方差是33 10. 在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（    ） A. 三角形一定不是锐角三角形 B. 一定为负值 C. 若角是锐角且，则 D. 若三角形是直角三角形且，则 11. 如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆锥与球的交线的轨迹长为 C. 若，则 D. 平面截球的截面面积的最小值为 三、填空题 12. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 13. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 四、解答题 15. 在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求角； （2）若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 16. 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： （1）求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； （2）估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （3）若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 17. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 18. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求的长； （3）是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $