湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 高一数学期末模拟卷，覆盖必修二复数、统计、立体几何等核心知识，通过基础选择、综合解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间想象素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、统计量、立体几何直观图|基础巩固，如第2题比较平均数、百分位数等统计量| |填空题|3题/15分|概率、向量数量积、轨迹问题|知识应用，如14题结合正方体与动点轨迹长度| |解答题|5题/77分|概率分步、立体几何线面关系、统计与向量融合|能力提升与创新，如18题将统计量与向量数量积结合，19题探究二面角取值范围|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若复数z满足z（2+i）＝3﹣i，则（　A　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【解析】 z（2+i）＝3﹣i，则z，故． 2．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（　A　） A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数 【解析】 数据的平均数为：7.1，第50百分位数为，极差为9﹣5＝4，众数为6，故平均数最大． 3．水平放置的三角形ABC的直观图如图，其中B′O′＝O′C′＝A′O′，那么原三角形ABC是一个（　B　） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【解析】 根据斜二测画法规则知，把直观图△A'B'C'还原为平面图，如图所示，△ABC中，OB＝B'O'，CO＝C'O'，AO＝2A'O'＝2，故AB＝AC4，BC＝2，所以原△ABC是一个腰和底边不相等的等腰三角形． 4．已知平面向量（1，2），（3，4），那么在上的投影向量的坐标是（　B　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，2） 【解析】 ∵平面向量（1，2），（3，4），∴3+8＝11，||，∴在上的投影向量的坐标为（，）． 5．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　C　） A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 【解析】 对于A：若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．对于B：若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．对于C：若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．对于D：若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误． 6．在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点，AD＝6，BC＝4，，则异面直线AD与BC所成角为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，取AB的中点G，连接EG、FG，因为在△ABC中，EG为中位线，所以EG∥BC，EGBC＝2，同理可得FG∥AD，FGAD＝3，所以∠EGF（或其补角）就是异面直线AD与BC的所成角，在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF，可得∠EGF，即异面直线AD与BC所成角为． 7．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC＝30°，∠BAC＝45°，现将△ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为8π，则三棱锥D﹣ABC的体积为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 ∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC，∵AD⊥DC，BC∩DC＝C，BC⊂平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，∴AD⊥BD，即∠ADB为直角，又∵∠ACB为直角，如图所示，取AB的中点O，连接OC，OD，由直角三角形的斜边上的中线性质OA＝OB＝OC＝OD，可得O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，由三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为8π，可得外接球的半径r，∵∠DAC＝30°，∠BAC＝45°，∴AB＝2，BC＝AC＝2，CD＝1，AD，S△ACD，∵BC⊥平面ACD，∠ADB为直角，∴三棱锥D﹣ABC的体积为． 8．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+b＝8且，若△ABC面积为4，则tanC＝（　C　） A．2 B． C． D． 【解析】 在△ABC中，由，利用半角公式，可得，交叉相乘并整理，结合sin（B+C）＝sinA，推导出2sinC＝sinA+sinB，由正弦定理，2c＝a+b，得c＝4，已知a+b＝8，面积absinC＝4，即absinC＝8，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，代入c＝4，a+b＝8，得16＝64﹣2ab（1+cosC），则ab（1+cosC）＝24，将absinC＝8与ab（1+cosC）＝24相除，得，利用二倍角公式，代入，得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（　ABD　） A．在复平面内z对应的点Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的一个根 【解析】 由可得，对于A：点Z为（1，1），故在第一象限，A正确；对于B：z2＝（1+i）2＝2i，故B正确；对于C：z的共轭复数为1﹣i，故C错误；对于D：（1+i）2﹣2（1+i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，故D正确． 10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（　　） A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立 【解析】 2次实验结果中，共{正反，反正，正正，反反}四种情况，事件M＝{正反，反正}，事件N＝{正反，反正，正正}，显然M与N不互斥，故A正确；P（M），P（N），P（MN），P（MN）≠P（M）P（N），故n＝2，则M与N不独立，故B错误；3次实验结果中，共{正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}八种情况，事件M＝{正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正}，事件N＝{正正正，正正反，正反正，反正正}，显然M与N不互斥，故C错误；P（M），P（N），P（MN），P（MN）＝P（M）P（N），故n＝3，则M与N相互独立，故D正确． 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上一动点（包括端点），则（　AD　） A．三棱锥P﹣A1BD的体积为定值 B．当点P与B1重合时，三棱锥P﹣A1BD的外接球的体积为 C．过点P平行于平面A1BD 的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D截得的多边形的面积为 D．直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的范围为 【解析】 对于A：因为B1D1∥BD，B1D1∥平面A1BD，所以三棱锥P﹣A1BD的体积等于三棱锥B1﹣A1BD的体积，体积为V1×1×1，故A正确；对于C：过点P平行于平面A1BD的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1截得的多边形为△B1CD1，其面积为sin60°，故C错误；对于D：设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，点P到平面A1BD的距离为h；因为平面B1CD1∥平面A1BD，所以h也是两平面距离，h；sinθ，A1P∈[，1]，所以sinθ∈[，]，故D正确；对于B：设正方体中心为点O，当点P与B1重合时，三棱锥eP﹣A1BD的四个顶点到点O的距离均为，所以点O为三棱锥B1﹣A1BD外接球的球心，其体积为π×（）3π，所以B错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，则一个零件不合格的概率 ________　 ．0.44　 【解析】 根据题意，设A＝“一个零件不合格”，则“一个零件合格”，而第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，且经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，则P（）＝0.8×0.7＝0.56，故P（A）＝1﹣P（）＝0.44． 13．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝2，AB＝4，则的值为 　　 ．3 【解析】 由，可得，又C，P，D三点共线，则有m，∵，∴，即m，又，且，AC＝2，AB＝4，故（）•（） ＝3． 14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足，则点P的轨迹长度为 　　 ． 【解析】 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，如图所示， 如图，E为正三角形AB1C的外心，D1E⊥平面AB1C，根据几何关系，不难得出D1E＝32，因为点P在ΔAB1C内，满足D1P，则EP，因此点P的轨迹是以点E为圆心，为半径的圆在ΔAB1C内的圆弧，而ΔAB1C为正三角形，则三棱锥B﹣AB1C必为正三棱锥，E为正ΔAB1C 的中心，于是正ΔAB1C的内切圆半径EH＝AB1，则cos∠HEF，即∠HEF∠FEG，所以圆在ΔAB1C内的圆弧为圆周长的，即点P的轨迹长度为π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲、乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等，记事件Ai＝“第i次取到的球是白球”，i＝1、2、3、4．试将下列事件用A1，A2，A3，A4表示，并求出相应事件的概率． （1）取球3次即终止； （2）最后一次取球的是乙． 【解析】 （1）取球3次终止情况为第一次取黑球，第二次取黑球，第三次取白球该事件为A3，所求概率为； （2）最后一次取球的是乙，则意味着取到白球的次数为偶数，则包括A2、A4两种情况，A2事件对应的概率事件对应的概率，因此，最后一次取球的是乙的概率． 16．（本小题满分15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，． （1）当PB∥平面ACE时，求实数λ的值； （2）当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值． 【解析】 （1）如图所示，连接BD交AC与点F，连接EF．因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面ACE∩平面PBD＝EF，所以PB∥EF．因为底面ABCD为矩形，所以F为BD中点，所以E为DP中点，所以，所以． （2）当时，取AD中点M，连接ME，MC．因为AB＝AP＝1，AD＝2．所以，，．．在△ACE中，由余弦定理得：．所以，所以．设P到平面ACE的距离为h，由VC﹣PAE＝VP﹣ACE，得：S△PAE×1＝S△ACE•h，又．所以．设直线PC与平面ACE所成的角为θ，则． 17．（本小题满分15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，． （1）求角A； （2）已知，延长BC到点，求AD． 【解析】 （1）根据题意可知，，由正弦定理得：， 又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以⇒，因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以，又A∈（0，π），所以； （2）如图所示，在△ABC中，BC2＝b2+c2﹣2bc•cos∠BAC7，所以，所以，因为∠ACB+∠ACD＝π，所以，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝CA2+CD2﹣2•CA•CD•cos∠ACD84，所以． 18．（本小题满分17分）已知数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为θ，有恒等式，其中n∈N*，n≥2． （1）当n＝2时，若向量，，求与所成角的余弦值； （2）当n＝3时，证明：①；②； （3）当n∈N*，n≥2时，探究与的大小关系，并证明． 【解析】 （1）设向量与所成角为θ，则． （2）证明：当n＝3时， ①3（x1）2+（x2）2+（x3）22（x1+x2+x3）+32； ②， （3） 当n∈N*，n≥2时，，同理可证，又，∴，所以． 19．（本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为4的等边三角形，CC1＝4，D、E分别是线段AC、CC1的中点，点C1在平面ABC内的射影为点D． （1）求证：A1C⊥平面BDE； （2）设G为棱B1C1上一点，C1G＝λC1B1，λ∈（0，1）． ①若，请在图中作出三棱柱ABC﹣A1B1C1过G、B、D三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G﹣BD﹣E的取值范围． 【解析】 （1）证明：如图所示，连接C1D，C1A，由题意可知C1D⊥面ABC，四边形ACC1A1是菱形，∵BDC//面ABC，∴C1D⊥BD，又∵D是AC中点，△ACB是正三角形，∴AC⊥BD，又AC∩C1D＝D，AC，C1D⊂面ACC1A1，∴BD⊥面ACC1A1，∵A1C⊂面ACC1A1，∴BD⊥A1C，在菱形ACC1A1中，有C1A⊥CA1，而D，E分别是线段AC，CC1的中点，则DE∥AC1，∴DE⊥A1C，∵DE∩BD＝D，DE，BD⊂面DBE，∴A1C⊥面DBE． （2）①取A1C1的中D1，取C1D1的中点H，连接B1D1，BG，GH，HD，DD1，则DD1∥CC1，且DD1＝CC1，又BB1∥CC1且BB1＝CC1，∴DD1∥BB1且DD1＝BB1，∴四边形BDD1B1是平行四边形， ∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，∵G，H分别为C1B1，C1D1的中点，∴GH∥B1D1，且， ∴GH∥BD，∴过G，B，D三点的截面即为四边形BDHG，如图所示，∵BD⊥平面ACC1A1，DH⊂平面ACC1A1，∴BD⊥DH，故截面为直角梯形BDHG，又底面是边长为4的等边三角形且CC1＝4，，，∴截面面积为； ②如图所示，过G作GM∥DB交A1C1于M，连接DM，则GM⊥A1C1，∵BD⊥平面ACC1A1，DM，DE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥DE，BD⊥DM，故二面角G﹣BD﹣E的平面角即为∠EDM，G为棱B1C1上一点，且C1G＝λC1B1，λ∈（0，1），∵，，∴，， ，令μ＝1﹣λ∈（0，1），∴，由双勾函数的性质可得在（0，1）上单调递减，∴，∴，，故二面角G﹣BD﹣E的取值范围． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/18 10:46:20；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若复数z满足z（2+i）＝3﹣i，则（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（　　） A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数 3．水平放置的三角形ABC的直观图如图，其中B′O′＝O′C′＝A′O′，那么原三角形ABC是一个（　　） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．已知平面向量（1，2），（3，4），那么在上的投影向量的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，2） 5．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 6．在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点，AD＝6，BC＝4，，则异面直线AD与BC所成角为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC＝30°，∠BAC＝45°，现将△ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为8π，则三棱锥D﹣ABC的体积为（　　） A． B． C． D． 8．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+b＝8且，若△ABC面积为4，则tanC＝（　　） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（　　） A．在复平面内z对应的点Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的一个根 10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（　　） A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上一动点（包括端点），则（　　） A．三棱锥P﹣A1BD的体积为定值 B．当点P与B1重合时，三棱锥P﹣A1BD的外接球的体积为 C．过点P平行于平面A1BD 的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D截得的多边形的面积为 D．直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，则一个零件不合格的概率 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝2，AB＝4，则的值为 　 　 ． 14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足，则点P的轨迹长度为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲、乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等，记事件Ai＝“第i次取到的球是白球”，i＝1、2、3、4．试将下列事件用A1，A2，A3，A4表示，并求出相应事件的概率． （1）取球3次即终止； （2）最后一次取球的是乙． 16．（本小题满分15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，． （1）当PB∥平面ACE时，求实数λ的值； （2）当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，． （1）求角A； （2）已知，延长BC到点，求AD． 18．（本小题满分17分）已知数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为，数据y1，y2，…，yn的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为θ，有恒等式，其中n∈N*，n≥2． （1）当n＝2时，若向量，，求与所成角的余弦值； （2）当n＝3时，证明：①；②； （3）当n∈N*，n≥2时，探究与的大小关系，并证明． 19．（本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为4的等边三角形，CC1＝4，D、E分别是线段AC、CC1的中点，点C1在平面ABC内的射影为点D． （1）求证：A1C⊥平面BDE； （2）设G为棱B1C1上一点，C1G＝λC1B1，λ∈（0，1）． ①若，请在图中作出三棱柱ABC﹣A1B1C1过G、B、D三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G﹣BD﹣E的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $