1.1 一元二次方程（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过北斗芯片点阵、矩形显示屏等实际问题导入，结合知识回顾中已学方程类型，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实情境驱动概念生成，体现数学眼光，通过对比分析方程共同特点培养数学思维，例题与练习强化模型应用，帮助学生提升数学建模能力，为教师提供系统教学资源。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 1.通过实际问题情境，抽象出一元二次方程的概念，使学生体会方程是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型。 了解一元二次方程的意义，掌握一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，能准确找出各项系数。 感受方程与生活的紧密联系，理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 知识回顾 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有 叫作方程. 未知数的等式 方程 整式方程 分式方程 一元一次方程 二元一次方程 只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. 含有两个未知数并且未知项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 还有什么方程？ 一元二次方程 章前引言 2020 年，我国成功发射了北斗三号全球卫星导航系统的最后一颗组网卫星，自此建成了独立运行、自主可控的全球卫星导航系统。芯片是卫星导航系统的核心组件之一。 某芯片上有一片矩形金属点阵区域，已知矩形点阵的总点数是276，点阵的行数与列数之和是35。它共有多少行、多少列？ 章前引言 如果设矩形点阵的行数为x, 那么列数为(35-x)。 x 35-x 由题意得 x(35-x)=276。 整理并化简，得 x2-35x+276=0。① 这就是一元二次方程。 一元二次方程是刻画现实问题的一种重要数学模型。本章从实际问题入手，引入一元二次方程的概念，探索一元二次方程的解法，研究根与系数的关系。一元二次方程是今后学习其他方程和二次函数的基础，也是解决其他学科问题的一种重要工具。 章前引言 学习本章内容，能帮助我们掌握因式分解、二次根式等知识，还能促进我们对相关知识的理解和应用。在应用一元二次方程解决实际问题的过程中，体会方程思想的意义，提升数学建模能力，增强应用意识。 章前引言 列方程解下面的问题： (1)矩形显示屏的尺寸通常是指其对角线的长度。某矩形 显示屏的尺寸为25cm,相邻两边之差为5cm。求它的两边长。 解：设显示屏的较短边长为mcm, 则它的较长边长为(m+5)cm, m2+(m+5)2=252。 m+5 m 整理并化简，得 m2+5m-300=0,② (2)某产品原来每件售价2元,经过两次涨价后每件售价3元。 求该产品售价的平均增长率。 分析: （1）某产品原来每件售价基数是_________； （2）若设这两次的平均增长率为 ; （3）第一次涨价后的售价表示为_________； （4）第二次涨价后的售价表示为_________； （5）等量关系是________________。 2元 2（1+a）2元 2（1+a）元 第二次涨价后的售价=两次涨价后每件售价3元 a (2)某产品原来每件售价2元,经过两次涨价后每件售价3元。 求该产品售价的平均增长率。 解：设该产品售价的平均增长率为a, 由问题中的等量关系,可以列出方程： 2(1+a)2=3。 整理并化简，得 2a2+4a-1=0。③ （1）观察以上得到三个方程程有什么共同特点? x2-35x+276=0,① m2+5m-300=0,② 2a2+4a-1=0。③ 特点: ①等号两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③化简整理后未知数的最高次数是2。 一元二次方程的概念： 像这样等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且化简整理后未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的三要素 ：整式方程（整理前）；一元；二次 一元二次方程的一般形式： 任意一元二次方程经过整理化简可以统一化为： ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)形式。 这种形式称为一元二次方程的一般形式。 其中ax２ 称为二次项、, bx 称为一次项, c为常数项。 称为二次项系数 称为一次项系数 为什么一元二次方程一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0， b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ，b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：一元二次方程必须满足a ≠ 0 , b,c 可以为任意实数. 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 例题讲解 例1、下列方程中一元二次方程的个数有（ ） ①ax2+bx+c=0; ②=2; ③2x2+1=(x+1)(x-2) ④5x(3x-7)=15x2; ⑤3x2+y=2x; ⑥x3-1=0 A A.1 B.3 C.4 D.5 解析：首先要判断是否是整式，再整理化简方程， 然后对照一元二次方程的三要素判断。 1.判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由: (1)x2-9=0; (2)x2=(x-2)(x+1); (3)2y2-7y=6-3y; (4) +3= 4t 2; (5)x2-y=0; (6)(3x-2)(x-1)=x(x-1)。 跟踪练习 例2、方程(m-1)x|m|+1-3x=7是关于x的一元二次方程，则( ) A.m=1 B.m=-1 C.m=±1 D.m≠±1 解析：一元二次方程的核心条件是 二次项系数a ≠ 0，最高次数是2。 ∵|m|+1=2且m-1≠0 ∴m=-1 B 例题讲解 2.已知方程(m+2)x2+3x+-4=0关于x的一元二次方程，则m的取值是 。 跟踪练习 解析：一元二次方程的核心条件是二次项系数a ≠ 0， 且二次根式的被开方式是非负 由题意得 ∴m＜ 且m≠-2 1-2m＞0。 m+2≠0， m＜ 且m≠-2 例3、把方程3(x-2)2=x(x+5)化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解:去括号,得 3x2-12x+12=x2+5x， 移项,合并同类项,得 2x2-17x+12=0， 方程的二次项系数为2,一次项系数为-17,常数项为12. 例题讲解 3.将下列一元二次方程化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项: (1)3x2=x+2; (2)(2x-1)(x-1)=0; (3)(2x+1)2=(x+1)(x-1); (4) - =4x2。 （1）解：一般形式： 3x2-x-2=0 二次项系数：3 一次项系数：–1 常数项：–2 注意：系数包括前面的符号。 （2）一般形式：2x2-3x+1=0 二次项系数：2 一次项系数：–3 常数项：1 跟踪练习 3.将下列一元二次方程化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项: (1)3x2=x+2; (2)(2x-1)(x-1)=0; (3)(2x+1)2=(x+1)(x-1); (4) - =4x2。 （3）一般形式：3x2+4x+2=0 二次项系数：3 一次项系数：4 常数项：2 （4）一般形式：4x2+=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项： 跟踪练习 例4、判断下列各数是否为一元二次方程x2-2x-3=0的根. (1)x=-1; (2)x=1; (3)x=3. 解：（1）把x=-1代入方程的左右两边， ∵左边=（-1）2-2×（-1）-3 =0， 右边=0， ∴左边=右边， ∴ x=-1是方程x2-2x-3=0的根. 例题讲解 例4、判断下列各数是否为一元二次方程x2-2x-3=0的根. (1)x=-1; (2)x=1; (3)x=3. 解：（2）把x=1代入方程的左右两边， ∵左边=12-2×1-3 =-4， 右边=0， ∴左边≠右边， ∴ x=1不是方程x2-2x-3=0的根. 例题讲解 例4、判断下列各数是否为一元二次方程x2-2x-3=0的根. (1)x=-1; (2)x=1; (3)x=3. 解：（3）把x=3代入方程的左右两边， ∵左边=32-2×3-3 =0， 右边=0， ∴左边=右边， ∴ x=3是方程x2-2x-3=0的根. 例题讲解 方法：把未知数的值代入方程两边，根据是否相等判断. 方法归纳 检验是否是一元二次方程的解（根）的步骤： 1.代： 将所给数值分别代入方程的左边和右边； 2.算： 按照运算规则计算出方程左右两边代数式的值； 3.判： 若左右两边的值相等，则是方程的根； 若不相等，则不是方程的根. 4.判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根: (1)x2-6x+5=0 (5, -3); (2)2x2-3x+1=0 （， 1）; (3)x2-2x+3=0 (, -); (4)(2x-1)2=3 （ ，）。 跟踪练习 4.判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根: (1)x2-6x+5=0 (5, -3); 跟踪练习 解：（1）把x=5代入方程的左右两边 ∵左边=52-6×5+5 =0 右边=0 ∴左边=右边， ∴ x=5是方程x2-6x+5=0的根。 把x=-3代入方程的左右两边 ∵左边=（-3）2-6×（-3）+5 =32 右边=0 ∴左边≠右边， ∴ x=-3不是方程x2-6x+5=0的根。 4.判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根: (2)2x2-3x+1=0 （， 1）; 跟踪练习 （2）把x=代入方程的左右两边 ∵左边=2×（）2-3×+1 =0 右边=0 ∴左边=右边， ∴ x=是方程2x2-3x+1=0的根。 把x=1代入方程的左右两边 ∵左边=2×12-3×1+1 =0 右边=0 ∴左边=右边， ∴ x=1是方程2x2-3x+1=0的根。 4.判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根: (3)x2-2x+3=0 (, -); 跟踪练习 （3）把x=代入方程的左右两边 ∵左边=（）2-2×+3 =0 右边=0 ∴左边=右边， ∴ x=是方程x2-2x+3的根。 把x=-代入方程的左右两边 ∵左边=（-）2-2×（-）+3 =12 右边=0 ∴左边≠右边， ∴ x=-不是方程x2-2x+3的根。 4.判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根: (4)(2x-1)2=3 （ ，）。 跟踪练习 （4）把x=代入方程的左右两边 ∵左边=（2×-1）2 =3 右边=3 ∴左边=右边， ∴ x=是方程x2-2x+3的根。 （4）把x=代入方程的左右两边 ∵左边=（2×-1）2 =3 右边=3 ∴左边=右边， ∴ x=是方程x2-2x+3的根。 例5、某种课桌的桌面为矩形,面积为2400cm2,周长为 200cm。设桌面的长为xcm, 列出关于x的方程,并化为一般形式。 解：设桌面的长为xcm，则宽为(100-x）cm， 由题意得 x(100-x)=2400。 化为一般形式：x2-100x+2400=0。 答：关于x的方程为x(100-x)=2400。 拓展延伸 5.列出方程,并将所列方程化成一般形式: (1)一个菱形的边长是25cm,两条对角线的长度之和是62cm。求每条对角线的长。 (2)某次足球联赛采用单循环赛制,共比赛45场。一共有多少支球队参赛? 跟踪练习 解：（1）设菱形的一条对角边长为 xcm，另一条对角线长（62-x）cm， 列得方程：()2+()2=252， 化为一般形式为： x2–62x+672=0. (2)设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x (x−1) = 45. x2−x−90 = 0. 化为一般形式为： 例6、m为何值时，关于x的方程x2+3mx = mx2-1是一元 二次方程? m为何值时，是一元一次方程? 解：将方程x2+3mx = mx2-1整理得： (m-1)x2-3mx-1=0 当方程为一元二次方程时， 二次项系数不为0,即m-1≠0，解得m≠1 拓展延伸 当方程为一元一次方程时， 二次项系数为0且一次项系数不为0，即 m-1=0 -3m≠0 解得m=1 ∴当m≠1时是一元二次方程，当m=1时是一元一次方程。 跟踪练习 6.关于x的方程m2x2+mx-2=4x2+2x+5,当m为何值时,是一元一次方程? 当m为何值时,该方程是一元二次方程? 解：将方程m2x2+mx-2=4x2+2x+5整理得： (m2-4)2+(m-2)x+7=0 当方程为一元一次方程时， 二次项系数为0且一次项系数不为0， 即 m2-4=0 m-2≠0 ∴当m=-2时是一元一次方程, 当m≠±2时是一元二次方程. 解得m=-2 当方程为一元二次方程时， 二次项系数不为0,即m2-4≠0， 解得m≠±2 课堂小结 一元二次方程 概念： 像这样等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且化简整理后未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 一般 形式： 方程 的根： ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 其中ax２ , bx , c分别称为二次项、一次项和常数项， a, b分别称为二次项系数和一次项系数． 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 会验一个数是否是方程的根。 课后检测 1.已知关于x方程（a-1）x2-3x+a2-1=0的一个根为0, 则常数a的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 C 解析：因为一元二次方程的一个根为0， 所以把x=0代入得a2-1=0二次项系数a-1 ≠ 0， 所以a=-1。 课后检测 2.判断下列方程是不是一元二次方程.如果是，分别指出 它的二次项系数、一次项系和常数项. (1)x(x-2)=0; (2)x(4x+3)=(2x+1)2; 解：（1）化为一般形式： x2-2x=0 所以原方程是一元二次方程 二次项系数：1 一次项系数：-2 常数项：0 (3)x+ (4)(x-1)2+2x=2x2. 课后练习 2.判断下列方程是不是一元二次方程.如果是，分别指出 它的二次项系数、一次项系和常数项. (1)x(x-2)=0; (2)x(4x+3)=(2x+1)2; （2）整理得： x+1=0 所以不是一元二次方程. (3)x+ (4)(x-1)2+2x=2x2. (3)不是一元二次方程； 课后练习 2.判断下列方程是不是一元二次方程.如果是，分别指出 它的二次项系数、一次项系和常数项. (1)x(x-2)=0; (2)x(4x+3)=(2x+1)2; （4）整理得： x2-1=0 所以是一元二次方程. (3)x+ (4)(x-1)2+2x=2x2. 二次项系数：1 一次项系数：0 常数项：-1 3.在下列条件中选择一个,使得关于x的方程 x2+ax+b=ax2-bx+1是一元二次方程,并写出方程的一个根: (1)a=0,b=1; (2)a=0,b=2; (3)a=1,b=1。 解：整理得：（1-a）x2 +（a+b）x+b-1=0 因为方程x2+ax+b=ax2-bx+1是一元二次方程， 所以1-a≠ 0 选择(1)a=0,b=1代入方程得 x2 +x=0 所以方程的一个根是1或0. 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $