第4章 一元一次方程（暑假单元自测）新七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版七年级“一元一次方程”单元卷，融合古代数学文化（《增删算法统宗》分鹿问题）、社会热点（苏超联赛积分）及生活实际（水费阶梯收费），通过新定义题型（友好方程、平衡方程）培养模型意识与推理能力，适合暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|等式性质、方程概念、古代问题建模|幻方文化（第6题）考查方程思想| |填空|8/16|解的意义、新运算、几何动态|“格子乘法”（第15题）渗透数学文化| |解答|10/68|解方程、实际应用、新定义探究|常泰大桥行程问题（第20题）体现应用意识，“平衡方程”（第25题）发展创新思维|

第4章 一元一次方程 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 【详解】解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列各方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是整式方程，逐一分析选项即可得到结果． 【详解】解：A． 含有两个未知数，是二元一次方程，不符合一元一次方程定义，故A错误； B． 中未知数的最高次数为2，是一元二次方程，不符合定义，故B错误； C． 分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故C错误； D． 只含有一个未知数，未知数的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，故D正确． 3．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，根据方程的解的定义，将代入已知方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入方程得：， 即， ∴； 故选D． 5．（24-25七年级上·四川德阳·期末）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（    ） A．21 B．54 C．65 D．75 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设中间的一个数为，则上面的一个数为，下面的一个数为，令3个数的和分别等于各选项中的数，进行求解，判断即可． 【详解】解：设中间的一个数为，则上面的一个数为，下面的一个数为，三个数的和为， 当时，，此时7上方没有数字，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，此时25下方没有数字，不符合题意； 故选B． 6．（2026·江苏盐城·三模）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设泰州队胜场数为未知数，根据总场次得到平场数，再结合积分规则列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设泰州队一共胜了场． ∵每队总场次为场，泰州队负场， ∴平的场数为． 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：， ∴泰州队一共胜了场． 8．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若关于的方程的解是，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， ∴． 11．（2026·江苏泰州·模拟预测）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 12．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______． 【答案】7 【分析】先解第一个方程得到的值，再利用两个方程解相同，将代入第二个方程求解即可． 【详解】解：解方程得 因为两个方程的解相同，将代入得 解得 13．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）用*定义一种新运算：对于任意有理数m和n，．如：．若，则x的值为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了新定义运算和一元一次方程的解法，熟练掌握将新定义运算转化为常规运算，并正确解一元一次方程是解题的关键．先根据新运算的定义，将转化为常规代数式，再根据等式列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，代入方程可得，再解方程即可． 【详解】已知关于的一元一次方程的解为， ， 则 移项，得， ， 解得， 则关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 【答案】2 【分析】本题是一元一次方程的应用，能够理解新定义列出方程是解题关键． 根据“格子乘法”可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图， ， 解得， 故答案为：2． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 【答案】4或36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设线段运动的时间为t秒，表示出各点表示的数，根据中点的定义及距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设线段运动的时间为t秒，以点A为原点，建立数轴，各点初始位置为： 点A、点表示0，点、点B表示12，点C表示， 根据运动速度和方向，t秒后各点在数轴上的位置为： 点C：，点M：， ∵点N是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴，， 已知， 代入得方程：； 分情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； 线段运动的时间是4秒或36秒， 故答案为：4或36． 三、解答题（共68分） 17．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号： 移项合并同类项： 化系数为1： （2）解： 去分母： 去括号： 移项，合并同类项： 化系数为1： 18．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)解这个一元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义与解一元一次方程，掌握好相关知识是关键． （1）一元一次方程是指最高次数为1的整式方程，根据定义求出的值； （2）先移项，然后系数化为“1”即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，且， 由得：或， ，即， ∴； （2）解：∵， ∴原方程为， 移项，得， 解得：． 19．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：             第一步 去括号，得：                     第二步 移项，得：                       第三步 合并同类项，得：                          第四步 系数化为1，得：                             第五步 任务一：请从下列选项中选择第一步的依据（   ） A．等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 任务二：①以上求解步骤中，第___________步开始出错； ②直接写出该方程正确的解___________． 任务三：结合上述解方程的经验，写出一条能帮助减少解题错误的注意事项． 【答案】任务一：B．任务二：①三；②．任务三：解方程时移项要变号． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，涉及去分母，去括号，移项以及合并同类项，解决本题的关键是每一步都正确计算． 任务一：根据解方程中去分母的步骤判断即可； 任务二：①根据移项时应变号可确定是第三步出错； ②根据正确的移项步骤求解即可． 任务三：根据题目的错误信息可提示关于“移项”的注意事项． 【详解】解：任务一：第一步是去分母， 依据是B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 故选：B． 任务二：①以上求解步骤中，第三步开始出错， 移项时应变号，为； 故答案为：三； ②解方程： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故答案为：． 任务三：解方程时移项要变号． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 【答案】千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用(行程问题)，关键是根据轿车与货车行驶同样距离的时间差建立等量关系列方程求解． 【详解】解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：， 方程两边同时乘以得：， 合并同类项得：； 答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 21．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 【答案】(1)， (2)的值为7时，可以制作9个盒子 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【答案】(1)8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠 (2)学生14人，非学生游客16人 【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的混合运算，利用方程解决问题是解题的关键； （1）让非学生游客享受8折优惠的同时，使尽量多的学生享受6折优惠即可； （2）设学生有x人，非学生游客有人，列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据“友好方程”的定义即可求解； （2）根据“友好方程”的定义得到方程，再解方程求出，最后代入求值即可； （3）先求出方程的“友好方程”，再求出两个方程的解，然后根据解都是整数即可求解整数c的值． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， ∴； （3）解：方程的“友好方程”为， 解得：， 解得：， ∵与其“友好方程”的解都是整数， ∴与都是整数， ∴既是5的倍数，也是5的因数， ∴． ∴或． 24．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 【答案】(1)28，， (2)该用户11月份水资源费为元 (3)5月份用水20吨，6月份用水30吨 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据“阶梯收费”的计价标准分别列式计算即可； （2）先求出该用户11月份的用水量，再计算水资源费即可； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，分情况讨论，分别根据共缴水费167元列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)2028 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，新定义下的运算，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据“平衡方程”的定义，得到，求出m的值即可； （2）先求出另一个方程的解为，由“平衡方程”的两个解的差为6，得到，求出n的值即可； （3）先求出方程，得，推导出方程的解为，继而将方程，化为，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得 ， 解，得 ， ∵关于x的方程与方程是“平衡方程”， ∴， 解得． 答：m的值为6； （2）解：∵“平衡方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为， ∵“平衡方程”的两个解的差为6， ∴， 即， ∴或， 解得或． （3）解：解方程，得 ∵关于x的一元一次方程和是“平衡方程”， ∴方程的解满足： ， 方程，可变形为： ， 对比方程与变形后的方程，得 ， 即， 解得． 26．（25-26七年级上·全国·期末）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是 ． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ； ②当S是长方形面积一半时，求t的值． 【答案】(1)12 (2)点P在数轴上表示的数是 (3)①9；；②当S是长方形ABCD面积一半时， 或 【分析】本题主要考查了数轴，数形结合，数轴上两点的距离的应用，动点问题，一元一次方程的应用，第（3）题关键是正确列出方程，并注意分类讨论． （1）根据已知条件得出，，由长方形面积公式计算得出结果即可； （2）根据已知条件根据数轴上两点的距离表示和的长，根据列方程可得x的值； （3）①当长方形的边在上时，S最大，同时计算E与A重合时的时间，F与B重合时的时间，两个时间差可得结论；②本题求解时应根据当A在E、F之间，，或点B在E、F之间，根据S是长方形面积一半列方程可得结论． 【详解】（1）解：由图形可得：，， 两个完全相同的长方形、， ， 长方形的面积是； 故答案为：12； （2）设点P在数轴上表示的数是x， 则，， 因为， 所以， 解得， 答：点P在数轴上表示的数是； （3）①整个运动过程中，S的最大值是， 当点B与F重合时，，解得：， 当点A与E重合时，，解得：， ， 整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是秒； ②由题意知移动t秒后， 情况一：当点B在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 情况二：当点A在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 综上所述，当S是长方形面积一半时，或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列各方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川德阳·期末）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（    ） A．21 B．54 C．65 D．75 6．（2026·江苏盐城·三模）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 8．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若关于的方程的解是，则的值为______． 11．（2026·江苏泰州·模拟预测）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 12．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______． 13．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）用*定义一种新运算：对于任意有理数m和n，．如：．若，则x的值为_________． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 三、解答题（共68分） 17．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）解下列方程． (1)； (2) 18．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)解这个一元一次方程． 19．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：             第一步 去括号，得：                     第二步 移项，得：                       第三步 合并同类项，得：                          第四步 系数化为1，得：                             第五步 任务一：请从下列选项中选择第一步的依据（   ） A．等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 任务二：①以上求解步骤中，第___________步开始出错； ②直接写出该方程正确的解___________． 任务三：结合上述解方程的经验，写出一条能帮助减少解题错误的注意事项． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 21．（25-26七年级上·江苏南通·期末）数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 24．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 26．（25-26七年级上·全国·期末）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是 ． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ； ②当S是长方形面积一半时，求t的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $