2025年人教版数学七年级下册暑假单元复习：二元一次方程组

2025年人教版数学七年级下册暑假单元复习：二元一次方程组 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.若是关于，的二元一次方程，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 3.下列方程是二元一次方程的是(    ) A. B. C. D. 4.解方程组时，要使解法较为简便，应(    ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数 5.用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是(    ) A. B. C. D. 6.方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为(    ) A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 7.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为(    ) A. B. C. D. 8.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9.被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，同燕、雀一枚各重几何？”原文大意为：“现在有只雀、只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻，将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，只雀和只燕共重斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只斤，燕每只斤，则可列出方程组为(    ) A. B. C. D. 10.若关于，的方程组的解满足，则整数的最小值为(    ) A. B. C. D. 11.我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有匹，大马有匹，则下列方程组中正确的是(    ) A. B. C. D. 12.方程组的解是(    ) A. B. C. D. 13.已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围是    ． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 14.九章算术中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十行酒一斗，直钱一十今将钱三十，得酒二斗问醇、行酒各得几何”其译文是：今有醇酒优质酒斗，价值钱行酒劣质酒斗，价值钱现有钱，买得斗酒问醇酒、行酒各能买得多少设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为          ． 15.我国明代数学读本算法统宗一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果托为尺，那么索长为______尺 其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，则绳索长几尺 16.已知方程是关于，，的三元一次方程，则          ． 17.方程组的解为          ． 18.某校食堂有甲、乙、丙三种套餐，为了解哪种套餐更受欢迎，学校调查了该校的全体学生，其中喜欢甲、乙、丙三种套餐的人数比为，若选择甲套餐的有名学生，则这个学校有          名学生． 19.已知方程是关于、的二元一次方程，则          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 某体育用品商场销售、两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元个 售价元个 款 款 若该商场购进个款足球和个款足球需元；若该商场购进个款足球和个款足球需元． 求和的值； 某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费元，那么该商场可获利多少元？ 为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买个款足球送根跳绳，买个款足球送根跳绳”，每根跳绳的成本为元，某日售卖两款足球总计盈利元，那么该日销售、两款足球各多少个？ 21.本小题分 某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元；第二次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元．你能由此计算出出租车的起步价和超过后的里程费收费标准吗？ 22.本小题分 阅读感悟 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，例如：已知实数，满足求和的值．本题常规思路是先解方程组得出，的值，再代入要求代数式，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： 已知二元一次方程组则          ，          ． 某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 某社交平台上有如图所示的一幅图片，请你运用所学的数学知识，直接写出桌子的高度：          ． 23.本小题分 对，定义一种新运算，规定：均为非零常数，若，． 求，的值； 当时，求，的非负整数解． 24.本小题分 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，，其中，为有理数，为无理数，那么，且运用上述知识解答下列问题： 如果，其中，为有理数，那么          ，          ； 如果，其中，为有理数，求的算术平方根； 若，都是有理数，且，试求的立方根． 25.本小题分 已知整点横、纵坐标都是整数在平面直角坐标系内做“跳马运动”即中国象棋“日”字型跳跃例如在图中，从点做一次“跳马运动”，可以到点，也可以到达点设做一次“跳马运动”到点，做第二次“跳马运动”到点，做第三次“跳马运动”到点，，如此依次进行． 若，则可能是下列的点          ．；；． 已知点，，则点的所有可能坐标为          ． 若，则，可能与重合的是          ． 如图，点沿轴正方向向右上方做“跳马运动”，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，且，，满足 若为不等式的最大整数解，判断点在第几象限，说明理由． 在的条件下，求点的坐标． 在的条件下，若有两个动点，，请探索是否存在以两个动点，为端点的线段，且，若存在，求，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 27.本小题分 阅读材料： 张丘建算经是一部数学问题集，书中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问：这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 结合你学过的知识，解决下列问题： 若设母鸡有只，公鸡有只． 小鸡有          只，买小鸡一共花费          文钱；用含，的式子表示 根据题意，列出一个含有，的方程：          ． 若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量比公鸡数量的倍多只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只． 除了问题中的解之外，请你再写出两组符合“百鸡问题”的解． 28.本小题分 阅读理解：已知实数，满足，，求和的值仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”利用“整体思想”，解决下列问题： 已知二元一次方程组，则 ______， ______； 买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮和本日记本共需多少元？ 对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算已知，，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：设该店有客房间，房客人； 根据题意得： 故选： 设该店有客房间，房客人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由题意知：，， 解得． 故选：． 根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为，求出的值． 本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】因为第一个方程没有，所以先用第二个方程和第三个方程消去可使解法较为简便．故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．利用加减消元法判断即可． 【解答】 解：用加减消元法解二元一次方程组时，或消去或消去． 故A，，C正确， 选项不能消元． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解二元一次方程组，利用方程组的解满足每个方程即可． 根据方程组的解满足方程组中的每个方程，代入求值可求出被遮盖的前后两个数． 【解答】 解：将代入第二个方程可得， 将，代入第一个方程可得 所以被遮盖的前后两个数分别为：，， 故选：． 7.【答案】  【解析】略 【分析】 本题主要考查了解二元一次方程组和方程组的解，算术平方根，关键是熟练掌握方程组的解的定义． 先把代入可得关于，的方程组，解方程组得到、的值，代入求值，最后求算术平方根即可． 【解答】 解：是二元一次方程组的解， 解得 ， 则的算术平方根是， 故选B． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 设每只雀有斤，每只燕有斤，根据“只雀和只燕共重斤；将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等”，列方程组即可． 【解答】 解：设每只雀有斤，每只燕有斤， 由题意得，． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于的不等式是解此题的关键． 方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】 解：， 得：， 关于，的方程组的解满足， ， 解得：， 的最小整数值为， 故选：． 11.【答案】  【解析】解：根据题意可得：， 故选：． 根据“匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】 解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 故选：． 13.【答案】  【解析】提示：，得，所以因为，所以，解得． 14.【答案】  【解析】解：依题意得：， 故答案是：． 根据“今有醇酒优质酒斗，价值钱；行酒劣质酒斗，价值钱．现有钱，买得斗酒．” 列出方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 15.【答案】  【解析】解：设索长为尺，竿子长尺， 依题意得：， 解得：． 故答案为：． 设索长为尺，竿子长尺，根据“索比竿子长尺，对折索子来量竿，却比竿子短尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】  【解析】略 18.【答案】  【解析】略 19.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件： 方程中只含有个未知数； 含未知数的项的最高次数为一次； 方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，则，的次数都是一次，由此可以得到关于的方程，解方程就可以求出的值． 【解答】 解：方程是关于、的二元一次方程， ， 解得． 故答案是：． 20.【答案】解：依题意得：， 解得：． 答：的值为，的值为． 依题意得：， ， ． 答：该商场可获利元． 设该日销售款足球个，款足球个， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或． 答：该日销售款足球个，款足球个或款足球个，款足球个．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 21.【答案】解：设出租车的起步价为元，超过后每千米收费元． 根据问题中的相等关系，列得方程组 整理，得 ，得，把代入，得，． 所以这个方程组的解是 答：出租车的起步价为元，超过后每千米收费元．   【解析】见答案 22.【答案】【小题】 【小题】 设购买支铅笔需元，块橡皮需元，本日记本需元． 依题意，得 ，得． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 【小题】   【解析】 略  略  略 23.【答案】【小题】 解：根据题意，得解得 【小题】 ，，． ，，即 ，的非负整数解为或或   【解析】 略  略 24.【答案】【小题】 【小题】 因为，，为有理数，所以解得所以因为，所以的算术平方根是． 【小题】 因为，，为有理数，所以解得当，时，，的立方根是；当，时，，的立方根是综上，的立方根是或．   【解析】 略  略  略 25.【答案】【小题】 【小题】 或  【小题】 【小题】 做“正横跳马”时，横坐标增加，纵坐标增加，做“正竖跳马”时，横坐标增加，纵坐标增加，解得．   【解析】 略   至经过两次运动，则有种情况，一种为横坐标变化个单位，纵坐标变化个单位；另一种为横坐标变化个单位，纵坐标变化个单位，可能为或．  略  略 26.【答案】【小题】 点在第二象限理由：为不等式的最大整数解， 解不等式得，点的坐标是，，点在第二象限． 【小题】 ，，满足由可得， 方程组为解得 点的坐标是，点的坐标为． 【小题】 存在，，，且， 又，，，且轴， 或解得或 ，或，．   【解析】 略  略  略 27.【答案】【小题】 【小题】 设母鸡有只，公鸡有只，则小鸡有 只，根据题意得解得 ． 答：母鸡有只，公鸡有只，小鸡有只． 【小题】 根据题意得，化简得， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 故除了问题中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只；公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只；公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只．   【解析】  买只鸡，母鸡有只，公鸡有只，买了只小鸡，小鸡每三只值一文钱，买小鸡花了文钱． 故答案为；． ．  见答案  见答案 28.【答案】解：，； 设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 由题意得：， 由得：， ． 答：购买支铅笔、块橡皮和本日记本共需元． 由题意得： 由可得：， ．  【解析】【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 由方程组的两式相减与相加即可得出结果； 设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，由题意列出方程组，即可得出结果； 由定义新运算列出方程组，求出，即可得出结果． 【解答】 解：， 由得：， 得：， ， 故答案为：，； 见答案； 见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$