10.1-10.2二元一次方程组的概念与消元-解二元一次方程组 暑假作业2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

限时练习:40min 完成时间: 月 日 天气: 10.1-10.2二元一次方程组的概念与消元-解二元一次方程组 一、二元一次方程 1. 二元一次方程的定义:含有 2个未知数,且含有未知数的项的次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 2. 二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值是二元一次方程的解.二元一次方程有无数组解. 3. 解二元一次方程:求出二元一次方程的解的过程. 二、二元一次方程组: 1. 二元一次方程组的定义:方程组中含有 2 个未知数,且未知数的项的次数都是 1的整式方程组叫做二元一次方程组.常见的二元一次方程组就是两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组. 2. 二元一次方程组的解:使二元一次方程组中的两个方程同时成立的未知数的值叫做二元一次方程组的解. 3. 解二元一次方程组:求出二元一次方程组的解的过程.常用的方法有带入消元法和加减消元法. (1)代入消元法:具体步骤: ①变形:即把其中一个方程中一个未知数用另一个未知数表示出来. ②代入:将变形得到的式子代入另一个方程.得到消元后的一元一次方程. ③求解:解消元后的一元一次方程. ④回代:把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值. ⑤写解:把两个未知数的解用联立起来.一定要写成的形式. 注意:代入消元法多使用于方程组中未知数系数为 1时的方程,有直接代入,变形代入与整体代入. (2)加减消元法:在二元一次方程组的两个方程中,若同一个未知数的系数相等或互为相反数 时,把这两个方程分别相减或相加 就能消除这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法. 具体步骤: ①变形:把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成相等或互为相反数. ②加减:当方程组中同一个未知数的系数化相等时,则把两个方程相减 ,当方程组中同一个未知数的系数化为相反数时,则把两个方程相加.消元得到一元一次方程. ③求解:解一元一次方程得到其中一个未知数的值. ④回代:将求出的未知数的值带入其中任意一个方程求另一个未知数的值. ⑤写解:把两个未知数的解用联立起来.一定要写成的形式. 三层必刷:巩固提升+能力培优+创新题型 1.在下列方程组中,是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 2.若是关于x,y的二元一次方程,则m,n的值为( ) A. B. C. D. 3.已知是关于x,y的二元一次方程的解,则代数式的值是( ) A.14 B.11 C.7 D.4 4.已知关于的二元一次方程组的解满足,则m的值为( ) A.-1 B.7 C.1 D.2 5.若,则,的值是( ) A. B. C. D. 6.已知关于x,y的方程组,若,则k的值为( ) A. B. C. D. 7.若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解,则常数的值为 . 8.解方程组时,甲同学正确解得,乙同学因把c写错而得到,则 , , . 9.解方程组: (1); (2). 10.阅读材料并回答下列问题:当m,n都是实数,且满足2m=8+n,就称点P(m﹣1,)为“爱心点”. (1)判断点A(5,3),B(4,6)哪个点为“爱心点”,并说明理由; (2)若点C(a,﹣8)也是“爱心点”,请求出a的值; (3)已知p,q为有理数,且关于x,y的方程组解为坐标的点B(x,y)是“爱心点”,求p,q的值. 11.已知关于、的方程组和有相同的解,那么值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 12.已知关于x,y的方程组,给出下列说法: ①当时,方程组的解也是的解; ②若,则; ③无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数; ④x,y都为自然数的解有5对. 以上说法中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.对实数定义一种新的运算,规定,例如:,若,,则 . 14.对于实数a,b,定义运算“ ”和“*”:,例如4 3,因为,所以,,为常数,若,,则 . 15.规定:关于x,y的二元一次方程有无数组解,每组解记为,称为“团结点”,将这些“团结点”连接得到一条直线,称这条直线是“团结点”的“合作线”,答下列问题: (1)已知,,,则是“合作线”的“团结点”的是_; (2)设,是“合作线”的两个“团结点”,求关于x,y的二元一次方程的正整数解; (3)已知h,t是实数,且,若是“合作线”的一个“团结点”,求S的最大值与最小值的和. 16.对于实数,我们定义如下运算:若为非负数,则;若为负数,则.例如:,.则方程组的解为 . 17.阅读与思考: 【阅读材料】: 把(其中a,b是常数,x,y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”.当时,“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如:当时,“雅系二元一次方程”化为,其“完美值”为. 【任务】: (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”; (2)是“雅系二元一次方程的“完美值”,求m的值; (3)是否存在n,使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”(n是常数)的“完美值”相同?若存在,请求出n的值及此时的“完美值”;若不存在,请说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 《暑假作业07 二元一次方程(组)-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练(人教版2024)》参考答案: 1.D 【分析】分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数;2、未知数的项最高次数都应是一次;3、都是整式方程”. 【详解】解:A、未知数的项最高次数是二次,故错误; B、第一个方程是分式方程,故错误; C、未知数的项最高次数是二次,故错误; D、符合二元一次方程组的定义,故正确. 故选:D. 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义,熟知二元一次方程组必须满足三个条件:①方程组中的两个方程都是整式方程;②方程组中共含有两个未知数;③每个方程都是一次方程是解答此题的关键. 2.A 【分析】本题考查二元一次方程的定义,根据二元一次方程的定义得到,进行求解即可. 【详解】解:由题意,得:, ∴; 故选A. 3.B 【分析】本题考查了二元一次方程的解,代数式求值,整体代入的思想是解题的关键.把和的值代入方程即可求出与的关系式,然后再整体代入计算即可. 【详解】解:根据题意,把代入, 得 ∴ 故选:B. 4.C 【分析】本题考查了根据解的情况求参数.将方程组的两个方程相减,可得到,代入,即可解答. 【详解】解:, 得, , 代入,可得, 解得:, 故选:C. 5.D 【分析】利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解即可得到x与y的值. 【详解】解:∵, ∴, 解得:, 故选:D. 【点睛】此题考查了解二元一次方程组,以及非负数的性质,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 6.A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法,解一元一次方程,熟练掌握方程组的解法是解题关键.先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得,再根据得到的一元一次方程,解方程即可. 【详解】解: 由得,,即 解得:. 故选:A. 7.2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解,熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键.利用加减消元法解二元一次方程组可得,结合方程组的也是二元一次方程的解,即可求出常数的值. 【详解】解:, 得,, 解得:, 代入到②,得, 解得:, 方程组的解为, 由题意得,也是方程的解, , 解得:, 常数的值为2. 故答案为:2. 8. 0.25## 0.75## 【分析】此题考查了二元一次方程组的解,以及解二元一次方程组的方法,注意代入消元法和加减消元法的应用是关键.首先根据题意,可得:,据此求出c的值,然后根据乙同学因把c写错而得到,可得,所以,应用加减消元法,求出a、b的值即可. 【详解】解:∵解方程组时,甲同学正确解得, ∴, 解得, ∵乙同学因把c写错而得到, ∴, ∴, ,可得, 解得, 把代入②,可得:, 解得, ∴原方程组的解是, ∴. 故答案为:0.25,0.75,. 9.(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法,准确计算. (1)用加减消元法解二元一次方程组; (2)用加减消元法解二元一次方程组. 【详解】(1)解:, 得:, 解得:, 把代入②得:, 解得:, ∴二元一次方程组的解为:. (2)解:原方程组可变为, 得:, 解得:, 把代入①得:, 解得:, ∴原方程组的解为. 10.(1)点A是爱心点,点B不是爱心点,见解析;(2);(3)p=0,q= 【分析】(1)根据“爱心点”的定义,列出方程组计算即可求解; (2)根据“爱心点”的定义,可得方程组,先求得n,再求得m,进一步得到a的值; (3)解方程组用q和p表示x和y,代入2m=8+n,得到关于p和q的等式,再根据p,q为有理数,求出p,q的值. 【详解】解:(1)点A是爱心点,点B不是爱心点,理由如下: ∵ , ∴ , ∵2 6=8+4, ∴点A是爱心点; ∵ , ∴ , ∵2 5≠8+10, ∴点B不是爱心点; (2)∵点C为爱心点, ∴ , ∴n=﹣18, 又∵2m=8+n, ∴2m=8+(﹣18), 解得m=﹣5, ∴﹣5﹣1=a,即a=﹣6; (3)解方程组得 , 又∵点B是爱心点满足:, ∴, ∵2m=8+n, ∴2p−2q+2=8+4q−2, 整理得:2p−6q=4, ∵p,q是有理数, ∴p=0,-6q=4, ∴p=0,q= . 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组,考查了阅读理解能力及迁移运用能力,根据爱心点的定义列出方程组是解题关键. 11.B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解,、的方程组和有相同的解,列出方程组求出、的值,再代入计算求出a、b的值,最后代入计算即可. 【详解】解:由题意,得, 解得, 因为两方程有相同的解, 所以将代入, 得, 解得, 所以. 故选:B. 12.D 【分析】将代入原方程组得,解得,经检验得是的解,故①正确;方程组两方程相加得,根据,得到,解得,故②正确;根据,,得到,得到,从而得到无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数,故③正确;根据,得到x,y都为自然数的解有共5对,故④正确. 【详解】解:将代入原方程组得, 解得, 将代入方程左右两边, 左边,右边, ∴当时,方程组的解也是的解,故①正确; 方程组得, 若,则,解得,故②正确; ∵,, ∴两方程相加得, ∴, ∴ 无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数,故③正确; ∵, ∴x,y都为自然数的解有共5对, 故④正确. 故选:D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组,二元一次方程解的定义,二元一次方程的自然数解等知识,理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键. 13. 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.根据题意联立二元一次方程组,解出m,n的值,再代入运算中即可求解. 【详解】解:由题意得:, 得:, ∴, ∴, ∴; 故答案为:2. 14. 【分析】根据新定义法则得出,求出的值,再根据新定义运算法则,计算即可得出答案. 【详解】解:,,, , 解得:, , , 故答案为:. 【点睛】本题考查了新定义运算,解二元一次方程组,解本题的关键在理解新定义运算法则. 15.(1) (2) (3)0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组,以及非负数的应用. (1)将,,分别代入中,能使方程成立的是“团结点”; (2)利用“团结点”和“合作线”的定义,列出方程组求得m,n的值,然后将m,n的值代入二元一次方程求得正整数解; (3)利用“团结点”和“合作线”的定义,分别得出s与和s与的关系式,利用非负数的意义得到s的最大值和最小值,则s的最大值与最小值的和可求. 【详解】(1)解:将,,C(1,2)代入方程,只有是方程的解, ∴“合作线”的团结点的是. 故答案为:. (2)解:将,代入方程得: . 解得:. 代入方程得:. ∴此方程的正整数解为:. (3)解:∵, ∴,. ∵是“合作线”的一个“团结点”, ∴. ∴,或. ∵,, ∴由,可得s有最大值12. 由,可得s有最小值. ∴s的最大值与最小值的和为. 16.或 【分析】此题考查了解二元一次方程组,实数的新定义运算,分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑,方程组利用题中的新定义化简求出与的值,即可作出判断. 【详解】解:当,,即,时, 解得: 当,,即,时, 解得:, 当,,即,时, 解得: (舍去) 当,,即,时, 解得:(舍去) 综上所述,或. 故答案为:或. 17.(1)8 (2) (3)不存在,见解析 【分析】本题考查了新定义二元一次方程,一元一次方程的解法,正确理解新定义,熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键. (1)根据定义,得到,解方程即可; (2)根据定义,得到,再把代入,解方程即可; (3)根据定义,得到,假设存在,则,方程无解,进而可判断结果; 【详解】(1)解:根据定义,得, 解得, ∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8; (2)解:根据定义,得到, 是“雅系二元一次方程”的“完美值”, , 解得; (3)解:不存在,理由如下: 根据定义,得, 解得, 假设存在n,使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”(n是常数)的“完美值”相同, 则,无解, ∴不存在n,使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”(n是常数)的“完美值”相同. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$