第十章《二元一次方程组》暑假作业30题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 二元一次方程组暑假单元卷，精选30题分层设计（10中考真题+10基础+10提升），覆盖方程组概念、解法及实际应用，衔接七下代数核心，适配中考高频计算考点，助力暑假专项突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|30题（分层各10题）|含方程组列法、消元解法、实际应用（如一带一路农产品出口、乡村振兴配送）、古代数学问题（《九章算术》雀燕称重）|情境融合文化传承与社会热点，真题感知对接中考考情，巩固提高题设创新（如密码加密、解距定义），培养模型意识与推理能力|

二元一次方程组 暑假作业30题 二元一次方程组是七下代数核心重点，承接一元一次方程、实数运算知识，支撑一元一次不等式、一次函数、实际应用题等后续重难点，也是中考高频计算考点，方程建模与求解能力直接影响应用题得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进掌握消元解法、突破实际应用易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实方程计算基础，稳步提升代数应用题解题能力。 1．（2026·甘肃武威·中考真题）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（     ）真题感知 A． B． C． D． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏苏州·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（     ） A．B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 6．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组：． 7．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________． 8．（2026·云南·中考真题）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为． (1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）； (2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和． 10．（2026·四川自贡·中考真题）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分． (1)班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？ (2)班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）． 11．（江苏苏州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题）二元一次方程的一个解可以是（     ）基础练习 A． B． C． D． 12．（江苏苏州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题）苏州云岩寺塔，俗称虎丘塔，被誉为“吴中第一名胜”．从正上方俯瞰，整体轮廓是几个棱角分明、对称均匀的正多边形．已知该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39．若设该塔的层数为，多边形的边数为，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·河南平顶山·三模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绫的价格是（     ） A．6分 B．8分 C．12分 D．14分 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A．B． C． D． 15．（2026·河南周口·模拟预测）开封某非遗工坊制作两种特色手工艺品：朱仙镇木版年画和汴绣小挂件，材料用量如表所示： 材料类别 宣纸（张） 丝绸（尺） 朱仙镇木版年画 5 3 汴绣小挂件 2 1 已知本次制作共用了17张宣纸和10尺丝绸，问该工坊制作的两种特色手工艺品各有多少个？设朱仙镇木版年画有个，汴绣小挂件有个，则和满足的方程组是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 17．（上海市普陀区2025-2026学年下学期期末六年级数学学科自适应练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，那么符合题意的方程①可以是_____________． 18．（2026·北京·三模）解方程组：的解为_____________． 19．（上海市普陀区2025-2026学年下学期期末六年级数学学科自适应练习）某大型超市购物结算有两种方式： 方式一：直接按照商品标价进行结算； 方式二：支付年费办理会员卡，一年内购物，部分商品按照标价打八折进行结算． (1)小海去该超市购买了6盒牛奶和2盒“网红蛋糕”，按照标价共支付了310元；乐乐持有该超市的会员卡，他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打八折，共支付272元．问：每盒牛奶和蛋糕的标价分别是多少元？ (2)该超市有两种会员卡，一种是普通会员，年费元；另一种是高级会员，年费元．无论选择哪种会员，所有购物均可享受相同折扣．除此之外，高级会员还可额外获得年实际消费金额2%的返现，该返现可直接当作现金进行抵扣．小普同学家持有普通会员卡，去年在该超市的实际消费约为元，今年的购物预算将在去年实际消费的基础上增长，因此小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，请通过计算判断这个决定是否划算． 20．（25-26六年级下·上海闵行·期末）随着乡村振兴战略推进，某助农电商平台推出了“农货直达”服务，帮助农户将农产品快速运往乡镇集散点．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如下： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 传统农户自送：平均运送速度为，装卸货物固定消耗分钟． 电商配送：平均运送速度为，装卸与交接固定消耗分钟． （注：配送总时长行驶时长固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某农户的配送账单：本周，该农户共发出了单农产品，采用“农户自送”和“电商配送”两种方式共同完成．已知农户自送每单成本元，电商配送每单成本元，本周总配送成本为元． 素材3 （运力升级） 新设备采购计划：电商平台决定为乡村服务点购入型和型两种冷藏配送箱： 型：单价万元； 型：单价万元； 平台计划正好投入万元预算采购，且两种型号都必须购买． 根据提供的素材，完成以下问题： (1)现有一批草莓需要配送，农户果园到乡镇集散点的距离为9千米．若仅考虑配送时长，使用“电商配送”比“农户自送”能节省 分钟．（假设行驶路程等于两地距离） (2)根据素材2，求本周该农户使用“电商配送”完成了多少单配送？ (3)根据素材3的预算限制，请你帮助平台设计采购方案： 共有哪几种满足条件的采购方案？请直接写出所有可能的情况． 21．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ）巩固提高 A． B． C． D． 22．（2026·湖北武汉·模拟预测）把编号为1到25的25个弹珠分放在两个篮子和中，15号弹珠在篮子中，把这个弹珠从篮子移至篮子中，这时篮子中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在篮子中有（     ）个弹珠． A．9 B．10 C．11 D．12 23．（2026·湖北武汉·一模）若，，，，是从，1，2这三个数中取值的一列数（三个数都要取到），且，则的值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 24．（2026·湖北武汉·二模）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．例如，四边形有2种不同的三角剖分方法，五边形有5种不同的三角剖分方法．1751年，数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，（a，b为常数），且．根据以上信息可得，七边形的三角剖分方法数是（     ） A．14 B．42 C．52 D．132 25．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）小美同学在学习了二元一次方程组后，利用方程组解决下面问题．设，，，是从1，0，这3个数中取值的一列数，若，，则，，，中数值为0的个数是（     ） A．31 B．32 C．33 D．34 26．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中（，，，都是正整数），规定：，当时，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 27．（25-26九年级下·重庆开州·期中）已知整式，，其中为非负整数，为正整数，且满足：，，若，．则下列说法正确的个数是（     ） ①当时，若，则； ②当，时，满足条件的整式A共有20个； ③存在，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 28．（25-26七年级下·福建莆田·期中）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 29．（上海杨浦区2025-2026学年下学期期末质量调研八年级数学试卷）综合实践：神奇的密码 【问题背景】密码是一种将可识别的信息（明文）转换为秘密信息（密文）的技术，这个过程称为“加密”；而密文是可以破解的，这个过程称为“解密”．明文与密文之间的转换的关键是“密钥”．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字0~25后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（，，，均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即； ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在0到25之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若大于25，则不断减去26，直到结果落在0~25之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，，我们可以将明文中字母P（）转换成所对应的密文． 计算：．，． 对应字母X，∴明文中字母对应的密文是字母X． 【问题探究】请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为，，则明文“”加密后的密文为_____； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为_____； (3)小杨截获了一段密文“”，它是由明文“”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“I”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“H”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”和“加密钥”的值； (4)利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，求密文“”解密获得的明文． 30．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组 暑假作业30题 二元一次方程组是七下代数核心重点，承接一元一次方程、实数运算知识，支撑一元一次不等式、一次函数、实际应用题等后续重难点，也是中考高频计算考点，方程建模与求解能力直接影响应用题得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进掌握消元解法、突破实际应用易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实方程计算基础，稳步提升代数应用题解题能力。 1．（2026·甘肃武威·中考真题）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（     ）真题感知 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是从题干中提取两个等量关系，分别列出方程后可得对应选项． 【详解】解：∵苹果汁出口额为亿元，黄芪出口额为亿元，两种产品出口总额为亿元， ∴ ， ∵ 苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元， ∴ ， 因此可得方程组 ，符合的选项为． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵方程组的解为， ∴． 3．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺， 绳长木长剩余绳长，即 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 对折后绳长木长剩余木长，对折后绳长为，即； 综上可得方程组 4．（2026·江苏苏州·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两 ∵5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， ∴可得方程 , 因此可列方程组为． 5．（2026·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 6．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组： 【答案】 【详解】解： ，得． 把代入②，得， ． 7．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________． 【答案】 【分析】根据五人同车三车空，四人同车九步行，列方程组即可解决． 【详解】解：设有辆车，个人，由题意得， ． 8．（2026·云南·中考真题）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察方程组发现y的系数互为相反数，可采用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y即可． 【详解】解： ∵①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得 ∴原方程组的解为． 9．（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为． (1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）； (2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和． 【答案】(1)；； (2)和的值分别为4和6 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据题意可得和，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵C的面积比A的面积的2倍多，A的面积为， ∴C的面积为； ∵D的面积比B的面积的3倍少，B的面积为， ∴D的面积为； （2）解：∵A的面积与B的面积之和为， ∴， ∵C的面积比D的面积少， ∴ ， ∴， 解得． 10．（2026·四川自贡·中考真题）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分． (1)班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？ (2)班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）． 【答案】(1) 场 (2) ①胜平负； ②胜平负； ③胜平负； ④胜平负； ⑤胜平负； ⑥胜平负．（任意两种正确结果即可） 【分析】（1）设班胜了场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得到胜场数； （2）设班胜场，平场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的胜、平、负场次组合． 【详解】（1）解：设班胜了场， ∵一共场比赛，负了场， ∴平的场数为场， 根据总积分为分列方程：， 化简得， 解得， 答：班胜了场； （2）解：设班胜场，平场（为非负整数，且）， ∵总积分为分， ∴，即 取非负整数解即可： ①，则；即负场，即胜平负； ②，则负场，即胜平负； ③，则负场，即胜平负； ④，则负场，即胜平负； ⑤，则负场，即胜平负； ⑥，则负场，即胜平负（任选两种写出即可）． 11．（江苏苏州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题）二元一次方程的一个解可以是（     ）基础练习 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中x，y的值代入原方程，验证等式左右两边是否相等，相等的即为方程的解． 【详解】解：根据二元一次方程解的定义，将各选项代入方程验证： 对于A：左边，右边，， A不是方程的解，该选项不符合题意； 对于B：左边，右边，左边右边， B是方程的解，该选项符合题意； 对于C：左边，， C不是方程的解，该选项不符合题意； 对于D：左边，， D不是方程的解，该选项不符合题意． 12．（江苏苏州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题）苏州云岩寺塔，俗称虎丘塔，被誉为“吴中第一名胜”．从正上方俯瞰，整体轮廓是几个棱角分明、对称均匀的正多边形．已知该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39．若设该塔的层数为，多边形的边数为，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设该塔的层数为，多边形的边数为， ∵该正多边形边数的2倍比塔的层数的3倍少5，塔的层数与正多边形边数的4倍之和为39， ∴可列出方程组为． 13．（2026·河南平顶山·三模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绫的价格是（     ） A．6分 B．8分 C．12分 D．14分 【答案】B 【分析】设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分．根据题意，得，求解即可； 【详解】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分． 根据题意，得， 解得， ∴每尺绫的价格是8分． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 15．（2026·河南周口·模拟预测）开封某非遗工坊制作两种特色手工艺品：朱仙镇木版年画和汴绣小挂件，材料用量如表所示： 材料类别 宣纸（张） 丝绸（尺） 朱仙镇木版年画 5 3 汴绣小挂件 2 1 已知本次制作共用了17张宣纸和10尺丝绸，问该工坊制作的两种特色手工艺品各有多少个？设朱仙镇木版年画有个，汴绣小挂件有个，则和满足的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两种材料的总用量分别找等量关系，列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设朱仙镇木版年画有个，汴绣小挂件有个， ∵ 1个朱仙镇木版年画需要5张宣纸，1个汴绣小挂件需要2张宣纸，总共用17张宣纸， ∴ 得到方程 ， 又∵ 1个朱仙镇木版年画需要3尺丝绸，1个汴绣小挂件需要1尺丝绸，总共用10尺丝绸， ∴ 得到方程 ， 因此和满足的方程组为． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵参与分配的牧民有人，驮银有锭， 则当每人分锭，剩余锭时，总驮银， 当每人分锭，缺少锭时，总驮银， 因此可得方程组． 17．（上海市普陀区2025-2026学年下学期期末六年级数学学科自适应练习）已知关于、的二元一次方程组的解是，那么符合题意的方程①可以是_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设方程①为（，不同时为）．根据方程组的解的定义，方程组的解满足方程组中每一个方程，将已知解代入，即可得到符合条件的二元一次方程，本题答案不唯一． 【详解】解：设方程①为（，不同时为）． ∵是原方程组的解， ∴该组解满足方程①． 将，代入， 可得． 令，，得． 因此符合题意的方程①可以是． 18．（2026·北京·三模）解方程组：的解为_____________． 【答案】 【详解】解： 得：， 解得， 再将代入方程②得到， 解得， 故原方程组的解为： ． 19．（上海市普陀区2025-2026学年下学期期末六年级数学学科自适应练习）某大型超市购物结算有两种方式： 方式一：直接按照商品标价进行结算； 方式二：支付年费办理会员卡，一年内购物，部分商品按照标价打八折进行结算． (1)小海去该超市购买了6盒牛奶和2盒“网红蛋糕”，按照标价共支付了310元；乐乐持有该超市的会员卡，他购买了同款的4盒牛奶和3盒蛋糕均可打八折，共支付272元．问：每盒牛奶和蛋糕的标价分别是多少元？ (2)该超市有两种会员卡，一种是普通会员，年费元；另一种是高级会员，年费元．无论选择哪种会员，所有购物均可享受相同折扣．除此之外，高级会员还可额外获得年实际消费金额2%的返现，该返现可直接当作现金进行抵扣．小普同学家持有普通会员卡，去年在该超市的实际消费约为元，今年的购物预算将在去年实际消费的基础上增长，因此小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，请通过计算判断这个决定是否划算． 【答案】(1)每盒牛奶标价25元，每盒蛋糕标价80元． (2)升级为高级会员不划算． 【分析】（1）设每盒牛奶标价元，每盒蛋糕标价元，根据两种购买方式列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案； （2）分别求出办理普通会员的实际花费和办理高级会员的实际花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设每盒牛奶标价元，每盒蛋糕标价元，由题意可得， 解得， 答：每盒牛奶标价25元，每盒蛋糕标价80元． （2）解：今年的购物预算为（元）， 办理普通会员的实际花费为（元）， 办理高级会员的实际花费为（元） ∵， ∴办理普通会员更划算，小普同学的家长今年打算把普通会员升级为高级会员，这个决定不划算． 20．（25-26六年级下·上海闵行·期末）随着乡村振兴战略推进，某助农电商平台推出了“农货直达”服务，帮助农户将农产品快速运往乡镇集散点．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如下： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 传统农户自送：平均运送速度为，装卸货物固定消耗分钟． 电商配送：平均运送速度为，装卸与交接固定消耗分钟． （注：配送总时长行驶时长固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某农户的配送账单：本周，该农户共发出了单农产品，采用“农户自送”和“电商配送”两种方式共同完成．已知农户自送每单成本元，电商配送每单成本元，本周总配送成本为元． 素材3 （运力升级） 新设备采购计划：电商平台决定为乡村服务点购入型和型两种冷藏配送箱： 型：单价万元； 型：单价万元； 平台计划正好投入万元预算采购，且两种型号都必须购买． 根据提供的素材，完成以下问题： (1)现有一批草莓需要配送，农户果园到乡镇集散点的距离为9千米．若仅考虑配送时长，使用“电商配送”比“农户自送”能节省 分钟．（假设行驶路程等于两地距离） (2)根据素材2，求本周该农户使用“电商配送”完成了多少单配送？ (3)根据素材3的预算限制，请你帮助平台设计采购方案： 共有哪几种满足条件的采购方案？请直接写出所有可能的情况． 【答案】(1) (2)本周该农户使用“电商配送”完成了单配送 (3)共有种方案：型个，型个；型个，型个；型个，型个 【分析】（1）列算式分别求出农户自送和电商配送的时间，然后求出节省的时间； （2）列一元一次方程解决实际问题； （3）列二元一次方程解决实际问题． 【详解】（1）解：农户自送：行驶时间（小时）（分钟），总时间（分钟）； 电商配送：行驶时间（小时）（分钟），总时间（分钟）； 节省（分钟）； （2）解：设电商配送单，农户自送单， 根据题意得，， 解得； 答：本周该农户使用“电商配送”完成单配送； （3）解：设购买型个，型个（，为正整数）， 根据题意得， 整理得， 正整数解：，，， 共有种方案： 型个，型个； 型个，型个； 型个，型个． 21．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ）巩固提高 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体思想，将待求方程组整理为与原方程组结构一致的形式，对应得到新方程组即可求解． 【详解】解：整理待求方程组的第二个方程：， 移项得， 提取公因式得， 待求方程组可变形为， 方程组的解为， ，解得． 22．（2026·湖北武汉·模拟预测）把编号为1到25的25个弹珠分放在两个篮子和中，15号弹珠在篮子中，把这个弹珠从篮子移至篮子中，这时篮子中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在篮子中有（     ）个弹珠． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】设未知数表示原来A中弹珠个数、A和B的原平均数，根据所有弹珠号码总和固定，结合移动15号弹珠后A、B的平均数变化列方程组，消元求解得到原来A中弹珠的个数． 【详解】解：设原来篮子中有弹珠个，则篮子中有弹珠个，设原来中弹珠号码平均数为，中弹珠号码平均数为．根据题意列方程组得 ， 由②得， 由③得， 将④⑤代入①，得， 解得， 因此原来篮子A中有9个弹珠． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，根据题目中移动前后A篮和B篮的平均数即可找到另两个等量关系，将得到的三个方程联立方程组求解，问题即可解答． 23．（2026·湖北武汉·一模）若，，，，是从，1，2这三个数中取值的一列数（三个数都要取到），且，则的值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【分析】设这列数中，有个，个，个，均为正整数，根据总项数和数列和列出关系式，利用y、z为正整数且均至少为1的条件，求出z的值，再代入计算平方和即可． 【详解】解：设这列数中，有个，个，个，均为正整数， ∵总共有个数， ∴①， ∵， ∴②， 将①变形为，代入②整理得：， ∵均为正整数（三个数都要取到）， ∴， ∴，即， 当时，，，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； ∴， 令， 又∵， ∴． 24．（2026·湖北武汉·二模）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．例如，四边形有2种不同的三角剖分方法，五边形有5种不同的三角剖分方法．1751年，数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，（a，b为常数），且．根据以上信息可得，七边形的三角剖分方法数是（     ） A．14 B．42 C．52 D．132 【答案】B 【分析】本题先利用已知的和和得到，的关系，再结合递推公式逐步计算得到七边形的剖分数． 【详解】由题意得，， ， ∵ 时，， 将，，代入得：，即， 整理得， 将，，代入得：，即， 整理得， 联立得，解得， 按递推公式逐步计算： 时，，∴， 时，，∴． 25．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）小美同学在学习了二元一次方程组后，利用方程组解决下面问题．设，，，是从1，0，这3个数中取值的一列数，若，，则，，，中数值为0的个数是（     ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】D 【分析】设数列中1，，0的个数分别为，，，根据总个数，数列和，平方和的条件列方程，利用完全平方公式展开化简后即可求解． 【详解】设数值为的个数为，数值为的个数为，数值为的个数为， 共有100个数， ， ， ， ∵， ∴，即③， 联立，解得， 即数值为的个数是34． 26．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中（，，，都是正整数），规定：，当时，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由、结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，即可求解. 【详解】解：，都是“相异数”，，， ， ． ， ， ． ，，且，都是正整数， 或或或， 、都是“相异数”， ，，，， ， ，， . 27．（25-26九年级下·重庆开州·期中）已知整式，，其中为非负整数，为正整数，且满足：，，若，．则下列说法正确的个数是（     ） ①当时，若，则； ②当，时，满足条件的整式A共有20个； ③存在，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】列出关于A，B的二元一次方程组，要判断①正确；当时，，根据为非负整数，列举出所有可能的情况，可判断②正确；结合，将变形，通过比较系数，推出，进而可判断③错误． 【详解】解：①， ， 当时，，故①正确； ②当时，， ，为非负整数， ， 的值有以下可能： 3，0，0，0； 0，3，0，0； 0，0，3，0；0，0，0，3；0，0，1，2；0，0，2，1；0，1，2，0；0，1，0，2；0，2，1，0；0，2，0，1；1，2，0，0；1，0，2，0；1，0，0，2；1，1，1，0；1，1，0，1；1，0，1，1；0，1，1，1；2，1，0，0；2，0，1，0；2，0，0，1； 共20种， 满足条件的整式A共有20个，故②正确； ③假设存在，使得 ， 比较系数得，， ， ， ，与前面计算结果矛盾， 这种情况不存在，故③错误, 综上可知，说法正确的个数是2． 28．（25-26七年级下·福建莆田·期中）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 29．（上海杨浦区2025-2026学年下学期期末质量调研八年级数学试卷）综合实践：神奇的密码 【问题背景】密码是一种将可识别的信息（明文）转换为秘密信息（密文）的技术，这个过程称为“加密”；而密文是可以破解的，这个过程称为“解密”．明文与密文之间的转换的关键是“密钥”．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字0~25后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（，，，均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即； ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在0到25之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若大于25，则不断减去26，直到结果落在0~25之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，，我们可以将明文中字母P（）转换成所对应的密文． 计算：．，． 对应字母X，∴明文中字母对应的密文是字母X． 【问题探究】请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为，，则明文“”加密后的密文为_____； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为_____； (3)小杨截获了一段密文“”，它是由明文“”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“I”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“H”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”和“加密钥”的值； (4)利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，求密文“”解密获得的明文． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或或或 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定B对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）设明文对应的数是x，y，根据（3）中两个密钥，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴19对应的字母是T， 所以明文中字母H对应的密文是字母T； 将明文中字母I（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是V， 所以明文中字母I对应的密文是字母V； 所以“”加密后的密文是“”． （2）解：∵明文B对应的数， ∴， ∵明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，M对应的数是12， ∴， 解得． （3）解：∵I对应的数是8，H对应的数是7，O对应的数是14，K对应的数是10， 又明文“”加密后密文“”， ∴，其中m，n都是为自然数，a，b都为正整数． ①当，时， ，解得，不合题意，舍去； ②当，时， ，解得，不合题意，舍去； ③当，时， ，解得，不合题意，舍去； ④当，时， ，解得，符合题意； 经验证，不存在其他符合题意的a，b，m，n的值． 综上所述，，． （4）解：设明文对应的数是x，y，（x，y均为整数，且，） ∵Y和C对应的数是24，2， ∴，，其中k，p都是为自然数， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去， 当时，不存在符合题意的x的值． 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，不存在符合题意的y的值． ∵4对应的字母是E，17对应的字母是R，5对应的字母是F，18对应的字母是S， ∴密文“”解密获得的明文是“”或“”或“”或“”． 30．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 【答案】(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $