精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市唐徕中学中考前模拟数学试题

银川唐徕中学南校区2025~2026学年第二学期模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 6. 如图，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 10 C. 9 D. 15 7. 如图，数轴上标注了实数a，b，c对应点的位置，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A. 位置是B种瓷砖 B. 位置是B种瓷砖 C. 位置是A种瓷砖 D. 位置是B种瓷砖 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在1846年，法国数学家、天文学家勒维耶（Urbain Le Verrier，），以极大的热忱独立完成了海王星位置的推算，并要求法国和德国的天文台进行观测．1846年9月23日晚间，海王星被发现，与勒维耶预测的位置相距不到，这是第一次用数学计算的方法发现了行星．海王星围绕太阳公转的轨道半长径为，数据用科学记数法表示为______________． 10. 一元二次方程的两根为和，则________． 11. 若方程和的公共解是，则直线与直线的交点坐标是________. 12. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则弧的长度为________________． 13. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 14. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点，则点到的距离是__________． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 16. 如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则______． 三、解答题（17-22题，每题6分，23-24题，每题8分，25-26题，每题10分，共72分） 17. 解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上． 18. 已知，求代数式的值． 19. 空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．） 如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图． 空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 天数 a b 3 3 3 频率 c d 0.1 0.1 0.1 （注：每组数据可含最高值，不含最低值） （1）请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天；________；________． （2）为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2026年开始增加绿化面积．已知2025年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2027年底，该地区的绿化面积比2025年的绿化面积增加了，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率．（精确到0.1）（参考数据：，，，） 20. 如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 21. 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球少花元． （1）求购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 22. 如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ． （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 23. 如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 24. 如图，在中，以为直径作，过点B作的切线交的延长线于点D，点E在上，作交的延长线于点F，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如果点的坐标为，连接、，求的正切值； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 26. 在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． （1）【初步感知】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． （2）【深入探究】如图②，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部，且是以为斜边的直角三角形时，求的长． （3）【拓展运用】如图③，点M在线段上，，在点E的移动过程中，求的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学南校区2025~2026学年第二学期模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、∵ 是开方开不尽的数，为无理数，∴ 仍是无理数，故此选项符合题意； B、∵ 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、∵ ，是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、∵ 是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同类项的合并、同底数幂的乘法与幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算，乘法公式及同类项的合并等知识，属于基础知识，牢固掌握是关键． 3. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握主视图的定义是解题的关键；正面观察该几何体，将看到的图形和选项中的图形进行对照即可解答． 【详解】解：从正面看几何体得到的图形是下面一个长方形，上面是一个圆柱体的侧面也是长方形， 故选：B． 4. 将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 5. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：根据表格可知：天数为天的人数最多，故众数为 共有个数据， 将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和，故中位数为 故选：B． 6. 如图，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 10 C. 9 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】运用平行线分线段成比例定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，数轴上标注了实数a，b，c对应点的位置，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，进而得，，再由得，由此判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故选项D符合题意； ∵， ∴， 实数b和零的位置关系无法确定， 故选项A、B、C无法确定，不符合题意． 故选：D． 8. 某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A. 位置是B种瓷砖 B. 位置是B种瓷砖 C. 位置是A种瓷砖 D. 位置是B种瓷砖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在1846年，法国数学家、天文学家勒维耶（Urbain Le Verrier，），以极大的热忱独立完成了海王星位置的推算，并要求法国和德国的天文台进行观测．1846年9月23日晚间，海王星被发现，与勒维耶预测的位置相距不到，这是第一次用数学计算的方法发现了行星．海王星围绕太阳公转的轨道半长径为，数据用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【详解】． 10. 一元二次方程的两根为和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，代入化简计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 整理得 ， 将代入得： 的两根为和， ， 原式． 11. 若方程和的公共解是，则直线与直线的交点坐标是________. 【答案】（2，－1） 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系解答即可． 【详解】若方程和的公共解是，则直线与直线的交点坐标是（2，－1）． 故答案为（2，－1）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则弧的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和半径相等得出的长，在Rt中利用三角函数求出的度数，进而求出的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：四边形是矩形，  ，  以点为圆心，长为半径画弧，交于点，  ， 在中，，，  ，  ，  ，  弧的长度为． 13. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则， ∴这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是， 故答案为：． 14. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点，则点到的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点到的距离是，根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】设点到的距离是， 由网格得，，，， ， ， ， 解得， 即点到的距离是． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键． 过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值． 【详解】解：过作轴于， ∵， 则， 设， 则， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 16. 如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设．由题意可知，由，可得，列出方程即可解决问题． 【详解】设．由题意可知， ∵，， ∴，同理， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴或不合题意舍去， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（17-22题，每题6分，23-24题，每题8分，25-26题，每题10分，共72分） 17. 解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示如下： 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示略． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先进行括号内分式加法计算，再将除法化为乘法，进行分式乘法计算，化至最简，再将变形，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．） 如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图． 空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 天数 a b 3 3 3 频率 c d 0.1 0.1 0.1 （注：每组数据可含最高值，不含最低值） （1）请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天；________；________． （2）为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2026年开始增加绿化面积．已知2025年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2027年底，该地区的绿化面积比2025年的绿化面积增加了，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率．（精确到0.1）（参考数据：，，，） 【答案】（1）3；12；0.3 （2）这两年中绿化面积每年的增长率约为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的意义求出空气质量指数在50～100的频率，确定d的值，再根据各组频率之和为1求出c的值，根据求出a的值即可； （2）根据增长率应用题的数量关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据频数分布表可知，空气质量指数在100～150，即是轻度污染的天数为3天， 由频率分布直方图可知，空气质量指数在50～100的频率为，即， ∴； 【小问2详解】 解：设这两年中绿化面积每年的增长率为x，由题意得， ， 解得：（负根舍去）， 答：这两年中绿化面积每年的增长率约为． 20. 如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）如图，菱形即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接、，菱形即为所求； （2）连接，交于，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而求出，利用菱形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 21. 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球少花元． （1）求购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元 （2）个 【解析】 【分析】设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，根据题意列出方程解答即可求解； 设该校此次购买品牌篮球个，则购买品牌篮球个，根据题意列出不等式解答即可求解． 【小问1详解】 解：设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元； 【小问2详解】 解：设该校此次购买品牌篮球个，则购买品牌篮球个， 由题意得，， 解得， 答：该校此次最多可购买个品牌篮球． 22. 如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ． （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， 【小问2详解】 解：如图，连接，作垂直反向延长线于点， ，为的中点， ． ，， ． ，， 四边形为矩形，． ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 23. 如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）点C的坐标为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 24. 如图，在中，以为直径作，过点B作的切线交的延长线于点D，点E在上，作交的延长线于点F，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，  是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，因为是的切线，，所以，利用切线性质得到直角，再结合直径所对圆周角为直角、的条件，通过等角的余角相等推导角相等，进而证明，得到． （2）设的半径为，在中，因为，且，所以可列方程求解r的值．先求出的长度，再证，通过相似三角形的性质建立关于的方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则，． 在中，，即，解得． ，， 由勾股定理得． 设，由（1）知，则，．  ，， ． ∴​， 代入得： ，​  解得​，即的长为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如果点的坐标为，连接、，求的正切值； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标； （2）过D作延长线的垂线，通过证明求出和的长度，再求出正切值； （3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线， 解得：， ∴抛物线为， 令，得， 故． 【小问2详解】 解：过作交延长线于， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，由勾股定理得，， ∴， ∴，，， ∴． 【小问3详解】 解：设，连接、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或舍去，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26. 在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． （1）【初步感知】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． （2）【深入探究】如图②，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部，且是以为斜边的直角三角形时，求的长． （3）【拓展运用】如图③，点M在线段上，，在点E的移动过程中，求的最小值________． 【答案】（1）证明：连接， 矩形， ， 由折叠性质得， ，．  是中点， ，即． 又为公共边，， ， ． （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，因为折叠性质可得，，，所以；结合E是中点得，再利用证明即可． （2）由折叠得，因为以为斜边的直角三角形，所以；过点作于点，延长交于点， 先证明，得到，在中，根据勾股定理列出三边关系，进而与前面的关系联合可求出的长，再证得，列出即可求出的长度．  （3）因为折叠后，所以点P的轨迹是以A为圆心、长为半径的圆弧；求最小值，只需计算A到M的距离，减去半径的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 是以为斜边的直角三角形， ． 过点作于点，延长交于点， ，， 四边形是矩形， ，，即 ． ， ， 又 ， ， ， ， ， 设，， 在中，，  ①，  又，， 代入，得②， 将①代入②，消去和得，解得， 代入得，即 ，，． ， ， 又 ，  ， 又， ， ，  设，代入得 ，解得． 的长为 ． 【小问3详解】 解：由折叠性质可知，无论如何移动，都有，即点到定点的距离恒为10，因此点的轨迹是以为圆心、半径的圆弧（矩形内部）． ，， ． 连接，在中，，， ， 圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $