宁夏回族自治区银川市北银中学等校2025-2026学年第二学期九年级第三次素质测评 数学卷

银川市北银中学2025-2026学年第二学期 九年级第三次素质测评 数学卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1．清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ） A． B． C． D． 5．下列判断正确的是（ ） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A． B． C． D． 7．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端到地面的距离（单位：米）为（ ） A． B． C． D． 8．如图，过（，）的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10．不等式组的解集是________． 11．韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌是河南省省级非物质文化遗产项目．如图，四张卡片正面分别印有这四种非物质文化遗产项目，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片正面恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率是________． 12．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 13．如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________． 14．如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为________． 15．已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则的值为________． 16．如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知，则这个展开图中正方形的边长是________cm． 三、解答题（本题共有10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中a，b满足． 19．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上． （1）的长为________； （2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明）：___________________________________________________________________________________． 20．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 已知粮食糟醅的量大于芋头糟醅，如果实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共1.6公斤． （1）求此次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．请问，在古代想用50公斤的原材料蒸馏出至少10公斤的酒，最少要用多少公斤的粮食糟醅？ 21．小慧自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点，，．求证：四边形是菱形．”并与同学小洁交流自己的证明过程． 小惠： 证明：， 垂直平分 ， 四边形是菱形 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 22．数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； （1）活动一：设踏步总级数为（为正整数），根据题意及示意图填空： ①用表示踏步高度________； ②用表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量________ ③用，表示歇脚台宽度________． （2）活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽和高度，并求出歇脚台此时的宽度值． 23．数学实践——谁的反应快 【活动准备】一把有刻度的直尺，一支铅笔． 【活动过程】 ①甲同学伸出一只手，将拇指和其余四指分开． ②乙同学把直尺直立，刻度0在下方，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，甲同学以最快的速度抓住直尺，记录手抓在直尺上的刻度（单位：cm），重复试验10次． ③甲乙同学对调，重复上面过程，记录并整理试验所得数据． 【数据收集与整理】 第几次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.6 13 10.5 8.4 10.7 10.5 7.6 9.4 11.3 8 11 11.4 5.3 8.7 8 9.6 11.4 10 11.2 11.4 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 甲 10.1 10.5 10.5 2.682 乙 a b c 3.586 （1）请补全表格中的数据：________，________，________________． 【数据应用】 （2）值的大小与反应速度快慢的关系是：________________； （3）甲、乙两位同学中________同学的反应快（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：________________； （4）甲、乙两位同学中________同学的反应速度比较稳定（填“甲”或“乙”），并简要说明理由：________________________________________________________________________． 24．如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．是上一点，交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：； 25．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，过点作轴的垂线交直线于点．根据以上操作，完成下列问题． 探究： （1）线段与的数量关系为________，其理由为：______________________． （2）在轴上多次改变点的位置，按上述作图方法得到相应点的坐标，并完成下列表格： 的坐标 … … 的坐标 … . … 猜想： （3）请根据上述表格中点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线，猜想曲线的形状是______． 验证： （4）设点的坐标是，根据图1中线段与的关系，求出关于的函数解析式． 应用： （5）如图3，点，，点为曲线上任意一点，且，求点的纵坐标的取值范围． 26．如图①，在四边形中，已知，，． 【特例研究】 （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究： 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图②．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图③．求的长； （3）如图④，连接交于点，连接．当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $