精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市金凤区银川阅海中学中考前 模拟数学试题

银川九中教育集团阅海一校区2025－2026学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个答案是正确的） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为108700千米．将数据108700用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（    ） A. 若，则 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 平行四边形是中心对称图形 D. 在中，若，则是直角三角形 4. 如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A. B. C. D. 6. 点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在中，，，，则的值为________． 10. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 12. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 13. 某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在第________组 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 人数 14. 如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 15. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 16. 如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 三、解答题（本题共6道题，每题6分，共36分） 17. 解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解． 18. 化简：． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）任务一：以上化简步骤中，第________步是通过约分得到的，约分的依据是________； （2）任务二：请写出完整的化简过程． 19. AI大模型具有大规模参数和复杂计算结构的机器学习模型，这些模型通常由深度神经网络构建而成，拥有数十亿甚至数千亿个参数.其中DeepSeek是国产AI大模型之一，它的爆火引发了全球科技界的广泛关注.现有四场网络直播，这四场直播分别以“A.机器人技术”“B.计算机视觉”“C.自然语言处理”“D.专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始. 某校组织七年级学生进行了线上观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，对调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是_____； （3）请你根据调查结果，估计该校七年级800名学生中，观看主题“D.专家系统”有多少人？ （4）请用画树状图或者列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率. 20. 如图，四边形是矩形． （1）请用尺规作图法，在矩形的边和上分别找一点E、F使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）已知，．求菱形的面积． 21. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 22. 2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，． （1）求的度数； （2）求点距地面的高度．（参考数据：，，） 四、解答题（本题共4道题，其中23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分） 23. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于、，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值． 24. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，且，的半径为，求的长． 25. 抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． （2）若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 26. 小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中教育集团阅海一校区2025－2026学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个答案是正确的） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为108700千米．将数据108700用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 下列命题中，是真命题的是（    ） A. 若，则 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 平行四边形是中心对称图形 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，正方形的判定，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理以及三角形的分类，逐一进行判断即可，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 【详解】解：A、当c为负数时，故原命题为假命题； B、对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原命题为假命题； C、平行四边形是中心对称图形，故原命题为真命题； D、在中，若，则，故是锐角三角形，故原命题为真命题； 故选：C． 4. 如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， ∴点落在椭圆内部的概率为， ∴椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， ∴椭圆的面积为． 5. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中自变量每增加，对应因变量的值减小，可得与之间存在一次函数关系，再进一步利用待定系数法求解解析式即可. 【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为，代入，， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 6. 点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 7. 如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 8. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ，， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在中，，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可知为斜边，可先由勾股定理求出直角边的长，再根据正切的定义计算即可得到的值． 【详解】解：， 为的斜边，，为直角边， 由勾股定理得： ， 根据锐角正切的定义可得． 10. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握黄金比是解题的关键．设，则，根据黄金分割的定义可得，由此列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意可得，， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且， ∴与的位似比是， 点坐标为，点B在第四象限， 点B的坐标是． 12. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 13. 某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在第________组 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 人数 【答案】 三 【解析】 【分析】先计算样本总人数，再根据中位数的定义确定中位数对应的位置，最后判断中位数所在的组别． 【详解】解：计算抽查的总人数，可得，总数据个数为偶数， 因此中位数是数据排序后第位和第位数据的平均数， 累加各组人数可得，第一组共有个数据，前两组共有个数据，前三组共有个数据， 因此第个和第个数据都落在第三组，该样本的中位数落在第三组． 14. 如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】由垂径定理得，设，则，，，根据勾股定理得，求出或（舍去），代入计算即可． 【详解】解：∵是的直径，于M，， ∴， ∵, 设，则，，， 根据勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴． 15. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得点的坐标每次旋转为一个循环，然后通过，得的坐标和相同，求出坐标即可． 【详解】解：如图， 根据题意得每次旋转，则旋转一周所需要的次数为（次），即点的坐标每次旋转为一个循环， ∵， ∴的坐标和相同， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 三、解答题（本题共6道题，每题6分，共36分） 17. 解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解． 【答案】不等式组的解集为，最小整数解是 【解析】 【分析】先由一元一次不等式组的解法步骤求解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 该不等式组的解集为， 则该不等式组的最小整数解为． 18. 化简：． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）任务一：以上化简步骤中，第________步是通过约分得到的，约分的依据是________； （2）任务二：请写出完整的化简过程． 【答案】（1）三，分式的基本性质 （2） 解： ． 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； （2）将分式进行正确的化简即可． 【小问1详解】 解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质； 【小问2详解】 略 19. AI大模型具有大规模参数和复杂计算结构的机器学习模型，这些模型通常由深度神经网络构建而成，拥有数十亿甚至数千亿个参数.其中DeepSeek是国产AI大模型之一，它的爆火引发了全球科技界的广泛关注.现有四场网络直播，这四场直播分别以“A.机器人技术”“B.计算机视觉”“C.自然语言处理”“D.专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始. 某校组织七年级学生进行了线上观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，对调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是_____； （3）请你根据调查结果，估计该校七年级800名学生中，观看主题“D.专家系统”有多少人？ （4）请用画树状图或者列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率. 【答案】（1）200， 补全条形图如图所示： （2） （3）160人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体，列表法或画树状图求概率等知识； （1）由两统计图中C的人数及其占比即可求得被调查的学生总人数，进而可求得B的人数，从而补充条形统计图； （2）A所占的百分比与周角的积即是圆心角； （3）D所占的百分比与全校七年级学生数的积即是； （4）画出树状图，可得所有可能出现的结果，及甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的可能结果，由概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 学校此次被调查的学生总人数为200人． B组人数为：（人）； 【小问2详解】 解：， 因此A所对应的圆心角度数是． 【小问3详解】 解：（人）， 全校七年级800名学生中估计有160观看主题． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙同学选择同一场直播（记为事件）的结果有4种，即AA，BB，CC，DD所以． 20. 如图，四边形是矩形． （1）请用尺规作图法，在矩形的边和上分别找一点E、F使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）已知，．求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求； （2）根据菱形的性质得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， 由作图可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】（1）款手表每块进价元，款手表每块进价元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； 【小问2详解】 解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 22. 2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，． （1）求的度数； （2）求点距地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点P距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，利用三角形的外角性质求解即可； （2）延长，过点P作于点G，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长，过点P作于点G， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 答：点P距地面的高度为． 四、解答题（本题共4道题，其中23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分） 23. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于、，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值． 【答案】（1），反比例函数的解析式为 （2）值为或 【解析】 【分析】（1）分别将代入反比例函数解析式和直线，即可求出的值和的值，即可得出反比例函数解析式； （2）由（1）可得：，由题意可得，，分两种情况：当直线在点的左侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为；当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为；分别利用平行四边形的性质，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数解析式得：， 反比例函数解析式为， 将代入，得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）知， 将代入，则， ∴， ∴， 动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于D、E， ，E， 当直线在点A的左侧时，即，此时点E在D的上方，平行四边形为，则 ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去） 当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为， 则， ， ， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，值为或． 24. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，且，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，，可证，即，由此即可求证； （2）根据题意，及（1）中条件可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵的半径为，， ∴，， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 25. 抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． （2）若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【小问1详解】 解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 【小问2详解】 解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 【小问3详解】 存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 26. 小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） ∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）， 理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $