专题07 机械能及能量守恒（暑假复习讲义）新高二物理人教版

专题07 机械能及能量守恒 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 重力势能、弹性势能概念、表达式与正负判断 2. 重力做功与重力势能变化关系、弹力做功与弹性势能变化 3. 机械能定义、机械能守恒条件与守恒表达式 4. 单个物体、系统机械能守恒判断与列式求解 5. 功能关系、能量守恒定律综合应用（摩擦生热、板块、传送带、圆周模型） 1. 势能概念、势能变化判断多以选择小题考查，侧重正负、参考面辨析 2. 机械能守恒判断为高频基础题型，区分只有重力 / 弹力做功与多力做功场景 3. 系统机械能守恒、含弹簧连接体是中档拉分题型，常结合圆周、斜面综合命题 4. 功能关系贯穿所有动力学综合题，用于求解摩擦生热、内能转化 5. 计算题常结合弹簧、板块、竖直圆轨道、平抛，全程用能量守恒简化运算 考情解码：本专题是能量体系核心内容，承接动能定理，是解决复杂多过程、弹簧类问题最优工具。基础概念难度低；单物体机械能守恒为必考中档题；弹簧系统、多物体能量转化、摩擦生热综合计算是试卷重难点。命题场景覆盖直线、曲线、弹簧连接体、传送带、板块模型，优先规避牛顿定律分段运算，侧重能量转化整体思维。 ( 脉 ｜ 络 ｜ 重 ｜ 构 ) ( 考 ｜ 点 ｜ 精 ｜ 讲 ) 知识点一 机械能守恒的理解与判断 一、重力做功与重力势能的关系 1. 重力做功的特点 （1）重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关； （2）重力做功不引起物体机械能的变化． 2．重力势能 （1）表达式：Ep＝mgh. （2）重力势能的特点 ①矢标性：重力势能是标量，有正负，其正负表示大小； ②相对性：重力势能具有相对性，在计算重力势能之前必须选择参考面，参考面的选择是任意的，通常以地面作为参考面； ③系统性：重力势能是物体和地球所共有的，不是物体单独所有。如果没有地球对物体的吸引，就谈不上重力做功和重力势能了。 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大； (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp. 二、弹性势能的表达 1．弹性势能 （1）定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． （2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp=Ep1-Ep2. （3）表达式 ①“化变力为恒力”求弹力做功：W总=F1△x1+F2△x2+F3△x3+F4△x4+…… ②利用F-x图像：图像与x轴所围成面积的数值就是弹力做的功； ③表达式（以弹簧原长为零势点）：（x指弹簧的形变量） 3、 机械能守恒定律 1. 机械能：动能、重力势能和弹性势能统称机械能； （1） 机械能是标量，只有大小，没有方向，但有正负，其正负表示大小； （2） 机械能具有相对性，只有参考系和参考面确定后，机械能的研究才有意义； （3） 机械能是状态量，对应着某一时刻或某一位置； 2. 机械能守恒定律 （1） 内容：在只有重力（不考虑空气阻力的各种抛体运动）或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转换，总的机械能保持不变； （2） 机械能守恒的条件 ①只有重力或系统内弹力做功，物体的机械能守恒； ②除重力和系统内弹力外，物体受到的其他力不做功或其他力做功代数和为零； 3. 机械能守恒的三种表达式 表达式 表达意义 守恒观点 系统内初末状态机械能总和相等 转化观点 系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的动能等于系统增加（或减少）的动能 转移观点 在A、B组成的系统中，A机械能的增加量等于B机械能的减少量 4．机械能守恒判断的三种方法 定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒 做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒 转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒 5. 机械能守恒条件的理解及判断 （1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”． （2）对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒． （3）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒． 角度1：判断系统机械能是否守恒 【典例破题1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）据《物原》记载：“史佚始作辘轳”。人们借助辘轳从井中汲水的示意图如图。某人以恒定角速度转动辘轳汲水时，绳子不断重叠地绕在一起，绳子的粗细不可忽略。则（     ） A．水桶处于超重状态 B．水桶的机械能守恒 C．绳子拉水桶的力等于水桶的重力 D．绳子拉水桶的力大于水桶拉绳子的力 【答案】A 【详解】ABC．人以恒定角速度转动辘轳，绳子不断重叠地绕在一起，说明角速度大小一定，半径增大，由线速度公式v＝ωr 可知水桶加速上升，处于超重状态，绳子拉水桶的力大于水桶的重力，水桶加速上升，机械能不断增大，故A正确，B、C错误； D．绳子拉水桶的力和水桶拉绳子的力是相互作用力，根据牛顿第三定律可知二者大小相等，故D错误。 故选A。 【巩固提升1】（2026·海南海口·模拟预测）如图所示，两个质量相同的小球甲、乙用轻绳连接后悬挂在一轻质弹簧下端，整个系统处于静止状态，不计空气阻力。某时刻剪断轻绳，下列说法正确的是（     ） A．剪断轻绳瞬间，小球甲的加速度大小为零 B．剪断轻绳瞬间，小球乙立即失去惯性 C．剪断轻绳后，小球甲上升过程中机械能一直增大 D．剪断轻绳后，小球乙落地前的机械能一直增加 【答案】C 【详解】A．剪断轻绳瞬间，弹簧弹力不变，小球甲受弹力大于自身重力，加速度大小不为零，故A错误； B．惯性是物体的固有属性，仅和质量有关，任何运动状态下物体都具有惯性，故B错误； C．剪断轻绳后，小球甲上升过程中，弹力对甲做正功，机械能一直增大，故C正确； D．剪断轻绳后，小球乙落地前只有重力做功，机械能不变，故D错误； 故选C。 【巩固提升2】（25-26高一下·广东·阶段检测）（多选）下图是生活中常见的一些现象，其中描述正确的是（     ） A．甲图中，篮球在空中飞行，若不计空气阻力，则篮球的机械能守恒 B．乙图中，弹丸在光滑的碗内虽做复杂的曲线运动，但机械能守恒 C．丙图中，若火箭匀速升空，则机械能守恒，若火箭加速升空，则机械能不守恒 D．丁图中，运动员从A点自由下落，经蹦床C反弹，若不计空气阻力，则整个过程中运动员的机械能守恒 【答案】AB 【详解】机械能守恒的条件是：只有重力（或系统内弹力）做功，其他力不做功。 A．篮球飞行过程中，只有重力做功，机械能守恒，故A正确； B．弹丸在光滑的碗内运动时，只有重力做功，机械能守恒，故B正确； C．火箭匀速或加速上升，都有燃料的推力做功，机械能都不守恒，故C错误； D．不计空气阻力时，从下落到反弹的过程中，运动员的机械能会和蹦床的弹性势能相互转化，蹦床弹力对运动员做功，因此运动员自身的机械能不守恒，只有运动员与蹦床组成的系统机械能才守恒，故D错误。 故选AB。 角度2：机械能守恒定律的初步应用 【典例破题2】（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图所示，小球A的质量为，系在细线的一端，细线的另一端固定在点，点到光滑水平面的距离为。物块B和C的质量分别是和，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且物块B位于点正下方。现拉动小球A使细线水平伸直，小球A由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），碰撞过程无能量损失。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为，求： (1)碰撞后物块B的速度大小； (2)轻弹簧获得的最大弹性势能。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，设碰撞前小球A的速度为，碰撞后小球A的速度为，物块B的速度为，小球A由静止开始到运动到最低点过程中，由机械能守恒定律有 解得 小球A与物块B发生正碰，碰撞过程无能量损失，取向右为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， （2）根据题意可知，当物块B和物块C速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得 【巩固提升1】（25-26高一下·广东·阶段检测）滑沙是颇具特色的沙漠户外休闲运动，一名游客乘滑沙板从倾斜沙坡顶端由静止开始沿坡面匀加速下滑，经时间抵达坡底，抵达时速度为。已知沙坡坡面倾角为，游客和滑沙板的总质量为，重力加速度为，则游客从沙坡顶端滑到坡底的过程中，下列说法正确的是（     ） A．滑沙板与沙面间的动摩擦因数为 B．游客和滑沙板的重力势能减少了 C．游客和滑沙板的机械能变化量为 D．游客和滑沙板克服阻力做的功为 【答案】A 【详解】A．游客和滑沙板做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 游客由静止开始匀加速下滑，满足 联立解得，故A正确； B．游客沿坡面匀加速下滑的位移为 游客和滑沙板的重力势能减少量为，故B错误； C．游客和滑沙板下滑过程中，机械能的变化量等于摩擦力做的功，已知摩擦力做功 代入， 解得 故游客和滑沙板的机械能变化量为，故C错误； D．游客和滑沙板下滑过程中，因阻力做负功，故机械能减少；减少的机械能等于游客和滑沙板克服阻力做的功，即，故D错误。 故选A。 【巩固提升2】（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）如图所示，在地面上以速度抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面。若以地面为参考平面且不计空气阻力，则不正确的是（     ） A．重力对物体做的功为 B．物体落到海平面时的重力势能为 C．物体在海平面上的动能为 D．物体在海平面上的机械能为 【答案】B 【详解】A．重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。物体从地面落到比地面低的海平面，高度下降了，重力做正功，大小为，故A正确； B．重力势能的大小与参考平面的选取有关。以地面为参考平面，海平面位于参考平面下方处，其高度为，所以物体落到海平面时的重力势能为，故B错误； C．根据动能定理，合外力（重力）做的功等于动能的变化量，即 代入可得物体在海平面上的动能为，故C正确； D．物体运动过程中不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒。物体在地面时的机械能为 所以物体在海平面上的机械能也为，故D正确。 本题选不正确的，故选B。 知识点二 单个物体的机械能守恒问题 1．机械能守恒定律的表达式 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 【典例破题3】（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 【答案】BD 【详解】A．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，乙的初速度大小等于甲到达最低点时的速度大小，故乙在最高点时的速度大小等于，设乙球在最低处时速度为，由机械能守恒得 解得，故A错误； B．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，球从最高点到最低点和从最低点到最高点的时间相等，故甲乙两球运动的周期相等，故B正确； CD．分析可知，甲从最高点运动到最低点，速度大小从增大到，乙从最低点到最高点，速度大小从减小到，从初始时刻取一很短时间，甲经过的弧长短，乙经过的弧长长，转过的角度不同，故不可能任意时刻两小球的连线均过圆心；故C错误； D．根据前面分析可知除两球分别在最高点和最低点时两球连线经过圆心，其它位置均不满足两小球的连线过圆心，乙球在最高点和最低点时，分别有， 解得， 甲球在最低点和最高点时，分别有， 解得， 根据牛顿第三定律可知乙球在最高点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最低点对圆环的作用力大小为；当乙球在最低点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最高点对圆环的作用力大小为，故这两个位置两球对圆环的作用力的合力不为零，结合前面分析其它位置均不满足两小球的连线过圆心，即其它位置两球对圆环的作用力不共线，故合力不可能为零，故对任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零，故D正确。 故选BD。 【巩固提升1】（25-26高一下·上海杨浦·期中）如图所示，一半径为的竖直圆轨道固定在水平地面上，内壁光滑，为圆轨道的最低点，一质量为，可视为质点的小球，开始时静止于点，现给小球一个沿着水平方向的初速度，重力加速度为，则小球脱离圆轨道时距离点的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设小球脱离轨道的位置与圆心的连线与竖直方向的夹角为，则 由机械能守恒定律 解得 则小球脱离圆轨道时距离点的高度为 故选B。 【巩固提升2】（25-26高一下·河北·阶段检测）（多选）如图所示，在竖直平面内有一个半径为R的圆弧轨道。半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，已知AP=2.5R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　 ） A．重力势能减小了5.5mgR B．克服摩擦力做功mgR C．动能增加了1.5mgR D．机械能减少了mgR 【答案】BD 【详解】A．由题意可知小球从点运动到点下降的高度为 解得 重力势能的减少量为 解得 即重力势能减小了1.5mgR，故A错误； B．小球在最高点恰好对轨道没有压力，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 小球从点到点的过程，设克服摩擦力做功为，根据动能定理有 联立解得 即小球克服摩擦力做功为mgR，故B正确； C．小球从点运动到点动能的增加量为 解得 即动能增加了0.5mgR，故C错误； D．根据功能关系可知，小球运动过程中机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，则机械能减少量为 解得 即机械能减少了mgR，故D正确。 故选BD。 知识点三 多物体关联的机械能守恒问题 1．多物体机械能守恒问题的解题思路 2．多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”． （1）轻绳模型 三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等． ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系． ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒． （2）轻杆模型 三大特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等． ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒． （3）轻弹簧模型 轻弹簧模型“四点”注意 ①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒． ②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点． ③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小． ④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)． 角度1：机械能守恒定律在绳连接体中的使用 【典例破题4】（25-26高二下·河北衡水·期末）如图所示，一个质量为的有孔小球套在竖直固定的光滑直杆上，通过一条跨过定滑轮的轻绳与质量为的重物相连，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g，现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离为时（图中B处），下列说法正确的是（     ） A．小球的速度与重物上升的速度大小之比为 B．小球的速度与重物上升的速度大小之比为 C．小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量 D．小球机械能的减少量大于重物机械能的增加量 【答案】B 【详解】AB．根据绳系连接体的特点是沿绳的速度相等，故分解B的速度沿绳方向有 根据几何关系得 联立得，故A错误，B正确； C．小球和重物组成的系统，绳对球和绳对重物的拉力做功之和为零，对整个系统只有两物体的重力做功，系统的机械能守恒。 当小球沿直杆下滑距离为时，小球和重物都具有速度，小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量与小球和重物动能的增加量之和，故C错误； D．当小球沿直杆下滑距离为时，对于重物，高度上升，重力势能增加，速度增加，动能增加，重物的机械能增加，由于系统机械能守恒，小球的机械能减少，且重物的机械能增加量与小球的机械能减少量相等，故D错误。 故选B。 【巩固提升1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，细线跨过轻质定滑轮悬挂重物B，悬挂滑轮的细线均竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后，A、B开始运动。已知A质量是B质量的一半，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为，当A的位移大小为时，B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设A的质量为，则B的质量为，由动滑轮性质，A上升高度时，B重物下落高度，A的速度是B的速度的一半，即 由机械能守恒定律 解得 故选D。 【巩固提升2】（2026·北京海淀·一模）一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端分别系有小球A和B。用手托住B球，当绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球静止于地面，如图所示。已知B球的质量是A球的k倍（k＞1），忽略一切摩擦和空气阻力。B球从释放至刚好落地的过程中，下列判断不正确的是（　　） A．A球和B球组成系统的机械能不守恒 B．A球上升过程的速度大小等于B球下落过程的速度大小 C．A球加速度的大小等于B球加速度的大小 D．k值越大，B球运动的加速度越接近g 【答案】A 【详解】A．对A、B组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，故A错误，符合题意； B．绳子不可伸长，B下落的距离始终等于A上升的距离，因此任意时刻两球速度大小相等，故B正确，不符合题意； C．两球速度大小始终相等，相同时间内速度变化量大小相等，因此加速度大小相等，故C正确，不符合题意； D．对整体由牛顿第二定律得 解得 k值越大，B球运动的加速度越接近g，故D正确，不符合题意； 本题选择错误选项，故选A。 角度2：机械能守恒定律在杆连接体中的使用 【典例破题5】（25-26高一下·河南平顶山·期末）在一长为3L的轻杆上离杆的O端L处固定小球A，在杆的另一端固定小球B，两小球与轻杆组成一个系统。如图甲，对轻杆系统的一端施加竖直向上的恒定拉力，使系统加速向上运动，当系统上升的位移为时，系统动能的增加量为；如图乙，轻杆系统可绕O端自由转动，且将轻杆拉到水平位置由静止释放。已知小球A的质量为、，重力加速度为。求： (1)小球B的质量； (2)在图乙中，轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中对小球B所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据动能定理有     解得小球B的质量为 （2）轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中根据机械能守恒有        小球A、B的角速度相同，则 轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中根据动能定理有    解得 【巩固提升1】（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）如图所示，两个倾角均为45°的楔块静止在光滑水平地面上，质量均为M，一个质量为m的光滑横杆从高度为H处（两端均与楔块接触）由静止释放，它竖直向下移动并水平推开楔块，移动过程中横杆始终水平，重力加速度为g。当横杆运动到距离地面高度为h时，下列说法正确的是（　　） A．横杆下落速度与楔块滑动速度大小相等 B．横杆下落速度与楔块滑动速度的大小之比为 C．楔块滑动速度的大小为 D．楔块滑动速度的大小为 【答案】AD 【详解】AB．根据题意可知，横杆与楔块始终接触，设横杆速度为，楔块的速度为，则有 解得 即横杆下落速度与楔块滑动速度大小相等，故A正确，B错误； CD．根据题意，整体分析，只有重力做功，则整体机械能守恒，由机械能守恒定律有 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 【巩固提升2】（25-26高三上·安徽滁州·期末）（多选）如图所示，小滑块、的质量均为，套在固定光滑竖直杆上，放在光滑水平面上。、间通过铰链用长为的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为，一水平轻弹簧右端与相连，左端固定在竖直杆上。当时，弹簧处于原长，由静止释放，下降到最低点时变为，整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　） A．、和弹簧组成的系统机械能守恒 B．竖直杆对滑块的弹力始终大于弹簧弹力 C．弹簧弹性势能最大值为 D．滑块的动能达到最大时，受到地面的支持力大于 【答案】AC 【详解】A．整个过程中只有重力和弹簧弹力做功，根据机械能守恒定律的条件，、和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确； B．以、整体为研究对象，系统水平方向先向右加速运动后向右减速运动，所以水平方向所受合力先向右，后向左，因此水平方向加速阶段竖直杆对滑块的弹力大于弹簧弹力，水平方向减速阶段竖直杆对滑块的弹力小于弹簧弹力，故B错误； C．由机械能守恒可得弹簧弹性势能的最大值。故C正确； D．由静止释放，开始向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，的速度达到最大，此时滑块的动能最大，对、和弹簧组成的系统整体受力分析，在竖直方向，根据牛顿第二定律可得 解得。故D错误。 故选AC。 角度3：机械能守恒定律在弹簧类问题中的使用 【典例破题6】（25-26高一下·全国·期末）（多选）如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（     ） A．弹簧的劲度系数为 B．此时弹簧的弹性势能等于 C．此时物体B的速度大小也为v D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上 【答案】AB 【详解】A．由题意可知，此时弹簧拉力大小等于物体B的重力，即 弹簧伸长的长度为，由 得，故A正确； B．A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有 则弹簧的弹性势能 故B正确； C．物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误； D．研究A，根据牛顿第二定律 又 解得，故D错误。 故选AB。 【巩固提升1】（25-26高一下·河北衡水·期末）如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨最低点平滑相接，导轨半径为。一个质量为的物体（可视为质点）将弹簧向左压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过点时的速度大小为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达最高点。重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物体从A点到B点，根据能量守恒有 （2）题意可知恰好到达最高点C，则有 物体从B到C过程，根据动能定理有 联立解得 【巩固提升2】（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m的物块P静止在光滑水平地面上，其右侧表面是半径为R的光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P右侧静止有质量为m的球b，球b左侧固定有轻弹簧。将质量为m的球a从圆弧轨道最上端静止释放，球a离开物块P后与轻弹簧左侧接触并粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求： (1)若物块P固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep； (2)若物块P不固定，球a离开物块P瞬间速度va的大小，及球b能达到的最大速度vb的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）若物块P固定，球a由静止释放到离开物块P的过程中，由动能定理得 球a与弹簧接触后，球a与球b组成的系统动量守恒，当二者的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得整个运动过程中弹簧的最大弹性势能 （2）P不固定时，下滑过程中，和P组成的系统水平方向动量守恒，且系统机械能守恒。 规定向右为正方向，设离开P时P的速度为，由动量守恒 由机械能守恒 整理得 与弹簧粘连后，、和弹簧组成的系统水平面光滑，动量守恒、机械能守恒。当弹簧恢复原长时，的速度达到最大； 设弹簧恢复原长时的速度为，由动量守恒​ 由机械能守恒 联立解得球b能达到的最大速度 一、单选题 1．关于机械能守恒，以下说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒 B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒 C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒 D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒 【答案】C 【详解】机械能守恒的条件是：只有重力（或系统内弹力）做功，其他力不做功或做功的代数和为零。 A．物体做匀速运动时动能不变，但重力势能可能变化，例如降落伞匀速下降，重力势能减小，机械能减小，故A错误； B．合力做功为零时动能不变，但重力势能可能变化，例如降落伞匀速下降时合力做功为零，机械能减小，故B错误； C．物体合力不为零时，若仅受重力作用，只有重力做功，机械能守恒，例如自由落体运动，故C正确； D．合力等于零时，可能存在除重力外的其他力做功，例如降落伞匀速下降时合力为零，空气阻力做负功，机械能减小，故D错误。 故选C。 2．（2026·山东济宁·二模）如图所示，竖直平面内的圆弧是无人机以恒定速率在空中表演的部分运动轨迹，其中点与圆心等高。无人机运动过程中只受重力、驱动力、大小恒定且与速度方向始终相反的阻力作用。在无人机从运动到的过程中，下列说法正确的是（　　） A．机械能守恒 B．合外力做正功 C．重力的功率不变 D．驱动力的功率减小 【答案】D 【详解】A．匀速运动四分之一圆周，动能不变，重力势能增加，故机械能一直增加，即机械能不守恒，故A错误； B．在无人机从运动到的过程中，速率不变，即无人机的动能不变，根据动能定理可知，合外力做功为0，故B错误； C．无人机在竖直方向的速度不断减小，根据功率，可知重力功率一直减小，故C错误； D．无人机以恒定速率飞行，所以无人机受到的合力始终指向圆心，与无人机速度垂直，即合力的功率为0，由题意可知无人机在竖直方向的分速度不断减小，所以重力的功率不断减小且为负，由于阻力与速度方向始终相反且大小恒定，所以阻力的功率不变且为负，由题意可知重力的功率、阻力功率与驱动力功率之和为0，所以驱动力的功率减小且为正，故D正确。 故选D。 3．（25-26高一下·江苏·期末）如图所示，弹簧竖直固定在地面上，一小球从它的正上方A点自由下落，到达B点开始与弹簧接触，到达C点速度减为零，之后又回到A点，如此反复，B为AC的中点，下列说法正确的是（     ） A．小球在B点处速度最大 B．小球从A下落到C的过程中，加速度先竖直向下且保持不变，后竖直向上且一直增大 C．弹簧增加的弹性势能等于小球减少的动能 D．小球在下落过程中，重力的功率先增大后减小 【答案】D 【详解】AB．小球从A运动到B的过程中只受重力作用，加速度不变，小球做匀加速直线运动。从B运动到C的过程中，小球受弹簧弹力和重力作用，根据胡克定律可知，弹力和形变量成正比，弹力和重力的合力先竖直向下且减小，后竖直向上并增大，所以速度最大处位于BC之间，故AB错误； C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧增加的弹性势能等于小球减少的机械能，小球在运动过程中动能和重力势能都在变化，故C错误； D．重力的功率 小球在下落过程中，速度先增大后减小，重力的功率先增大后减小，故D正确。 故选D。 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图所示，轻质直杆一端固定在水平天花板上，另一端将半径为的光滑大圆环固定在竖直平面内。套在大圆环顶端的小环（可视为质点）由静止释放后沿大圆环轨道自由下滑。已知大圆环的质量为，小环的质量为。在下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小环重力的功率一直增大 B．当小环距顶端的距离为时，小环的动能为 C．直杆对大圆环的拉力最大为 D．大圆环对小环的弹力先减小后增大 【答案】D 【详解】A．重力的功率公式为，其中是小环速度的竖直分量。初始时，小环静止，，故。下滑到最低点时，速度方向水平，，故。中间过程中，先增大后减小，因此重力功率先增大后减小。A错误； B．当小环距顶端的距离为时，设小环与圆心的连线和竖直方向的夹角为，则小环下落的高度 由几何关系 可得 根据机械能守恒，小环的动能等于重力势能的减少量，B错误； C．小环在最低点时，由机械能守恒 对小环在最低点进行受力分析，设大圆环对小环的弹力N，则 联立求得，方向向上 对大圆环进行受力分析，其受到自身重力2mg、小环对它的压力（方向向下），以及直杆的拉力T。则 此为拉力的最大值。C错误； D．设小环与圆心连线和竖直方向夹角为，由机械能守恒： 沿半径方向的合力提供向心力 联立可得 当小环从顶端（，）下滑时，θ增大，cosθ减小。当时，。当时，N变为负值，表示弹力方向指向圆心，大小随θ增大而增大。因此，弹力先减小到零，再反向增大。D正确。 故选D。 5．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图所示，竖直平面内半径为R的光滑圆轨道保持不动，质量为m可视为质点的小球静止在圆轨道最低点A。现给小球施加一水平向右的恒力，小球恰好能运动到与O点等高的B点，重力加速度为g，则（　　） A．小球对轨道的最小压力为0 B．小球对轨道的最大压力为mg C．小球的最大速度为 D．小球从A运动到B过程中机械能逐渐增大 【答案】D 【详解】A．小球恰好能运动到与O点等高的B点，根据动能定理有 解得 外力与重力的合力与水平方向成45°斜向右下方，由于合力指向圆心，则小球一定受支持力，则小球对轨道的最小压力不为0，故A错误； BC．小球与O点连线与水平方向的夹角为45°时，为“等效最低点”，根据动能定理有 在该点，运用牛顿第二定律有 解得，，故BC错误； D．小球从A运动到B过程中，外力F做正功，小球机械能逐渐增大，故D正确。 故选D。 6．（25-26高一上·湖南永州·期末）如图所示，水平光滑长直杆上套有一物块Q。一根轻绳跨过悬挂于O点的固定轻小光滑圆环，轻绳的一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当θ=90°时，Q的速度最大 B．当θ=30°时，P、Q的速度之比是 C．当θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态 D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力一直增大 【答案】A 【详解】A．P、Q只有重力做功，系统的机械能守恒，P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当时，Q的速度最大，故A正确； B．P、Q用同一根绳连接，根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，如图所示 则当时，可知 解得，故B错误； C．根据投影定理可知，Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，当时，Q沿绳子方向的分速度为零，由于P的速度即绳子的速度，则P的速度为零，可知P先加速后减速，所以P先失重后超重，故C错误； D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力逐渐减小，当时，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故D错误。 故选A。 7．（25-26高一上·河北保定·期末）如图所示，某人从高出水平地面h的坡顶上水平击出一个质量为m的高尔夫球（可视为质点），坡顶可视为半径为R的圆弧，高尔夫球飞出前瞬间对坡顶的压力恰好为0。高尔夫球落入水平地面的A洞中（不计洞穴的宽度及深度），不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该球在空中运动的时间为 B．该球飞出的初速度大小为 C．A洞到坡顶的距离为 D．该球落入A洞时的动能为 【答案】D 【详解】A．高尔夫球被击出后做平抛运动，其竖直方向有 解得该球在空中运动的时间，故A错误； B．高尔夫球飞出前瞬间对地面的压力恰好为0，则重力提供向心力，有 解得该球飞出的初速度大小为，故B错误； C．A洞到坡顶的水平距离为 根据勾股定理，A洞到坡顶的距离为，故C错误； D．根据动能定理有 解得该球落入A洞时的动能，故D正确。 故选D。 二、多选题 8．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，A、B两物块通过跨过轻质定滑轮的不可伸长的轻质细绳相连，物块A穿在固定的光滑竖直杆上，物块B、C通过轻质弹簧相连，C静止在地面上。初始时，用手托住A，使连接A的细绳水平伸直，此时细绳恰好无拉力，B、C质量均为m，释放物块A，当A沿竖直杆滑至最低点时，连接A的细绳与水平方向夹角为53°，且C对地面恰好无压力，竖直杆与定滑轮的间距为d（忽略定滑轮的大小），重力加速度为g，，。下列说法正确的是（　　） A．A下滑的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．A的质量满足 D．若将A的质量增加到原来的2倍，再次滑到图示位置时，A、B两物块的动能之和为 【答案】BD 【详解】A．A下滑过程中，弹簧的弹性势能会发生变化，弹簧弹力对B做功，因此A、B组成的系统机械能不守恒（只有A、B、弹簧构成的整体机械能才守恒），故A错误； B．初始状态：绳子无拉力，弹簧被压缩，对B受力平衡得 压缩量 末状态：C对地面恰好无压力，弹簧被拉长，对C受力平衡得 伸长量 B上升的总高度 由几何关系：右端绳子原长（滑轮到初始A位置）为，末态绳长为 右端绳子伸长量即B上升高度 联立得 解得，故B正确； C．A下滑到最低点时，A、B速度均为0，且初末状态弹簧形变量相同，弹性势能相等，系统机械能守恒。A下滑高度 A重力势能减少量等于B重力势能增加量 代入 得 解得，故C错误； D．A质量变为原来2倍，即，滑到图示位置时，弹簧弹性势能变化仍为0，由机械能守恒，A、B的动能之和等于重力势能的变化量 代入数据得，故D正确。 故选BD。 9．（25-26高三上·云南曲靖·期末）如图所示，可视为质点的a、b两物块，质量均为m，由劲度系数为k的轻质弹簧连接，置于倾角为30°的固定光滑斜面上，物块a由不可伸长的足够长的细线悬挂于斜面顶端O点，系统处于静止状态。现将物块b沿斜面向下缓慢下拉l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放物块b后（　　） A．物块a不可能运动 B．物块b释放瞬间，其加速度大小为 C．当时，物块b做简谐运动 D．若物块a能运动，则当a、b共速时弹簧弹性势能最大 【答案】BC 【详解】AD．若物块b运动到最高点时弹簧对物块a沿斜面向上的弹力大于，物块a就会运动，且物块b刚释放时弹簧弹性势能最大，故AD错误； B．物块b释放瞬间，物块b所受合力大小为，根据牛顿第二定律有 解得，故B正确； C．若物块b做简谐运动，则必须保证物块a不动，设物块b运动到最高点时弹簧对物块a沿斜面向上的弹力大小为F，则必须满足 根据简谐运动的对称性可知，对于物块b有 解得，故C正确。 故选BC。 10．（24-25高二下·山东青岛·期末）如图所示，长度为L的轻杆上端连着一质量为m的小球A（可视为质点），杆的下端用铰链固接于水平面上的O点。置于同一水平面上的立方体B恰与A接触，立方体B的质量为M。今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而A与B刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角为30°，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．分离前B的机械能先增加后减小 B．分离时A的加速度大于g C．A与B刚脱离接触的瞬间，B的速率为 D．A、B质量之比为1:4 【答案】CD 【详解】A．从小球A开始运动到A、B脱离接触，A对B弹力一直做正功，B机械能增大，故A错误； B．杆对A的作用力先是支持力后是拉力，A与B刚脱离接触的瞬间，杆对A的作用力等于零，分离时A的加速度，故B错误； C．分离时刻，根据牛顿第二定律有 解得 A与B刚脱离接触的瞬间，杆对A的作用力等于零，A的速度方向垂直于杆，水平方向的分速度等于B的速度 解得 B的速率为，故C正确； D．在杆从竖直位置开始倾倒到小球与立方体恰好分离的过程中，小球和立方体组成的系统机械能守恒，则有 解得A、B质量之比为，故D正确。 故选CD。 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放一质量m=1kg的滑块，滑块的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，斜面始终保持静止。重力加速度大小g=10m/s²，弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则（　　） A．滑块在斜面上做匀变速直线运动 B．滑块速度最大时，地面对斜面的摩擦力方向水平向右 C．弹簧的劲度系数为25N/m D．滑块最大的动能为0.5J 【答案】CD 【详解】A．根据图像可知，滑块做变加速直线运动，故A错误； B．滑块加速度为0时，速度最大，此时地面对斜面没有摩擦力，故B错误； C．根据图像可知，滑块开始运动时的加速度为，根据牛顿第二定律，滑块下滑时，加速度为0，根据牛顿第二定律，联立解得弹簧的劲度系数为25N/m，故C正确； D． 对滑块，从开始运动到速度最大，根据动能定理，根据弹簧弹力做功与弹性势能的关系，联立解得滑块最大的动能为0.5J，故D正确。 故选CD。 三、解答题 12．（25-26高二下·河南驻马店·期末）如图所示，一足够大的光滑斜面固定在水平面上，倾角θ=30°，斜面上垂直固定直挡板AB与四分之一圆弧挡板BC，两者平滑连接，，AB长度l=0.2 m，圆弧BC半径R=0.2 m。现给A点处的静止小球一个沿AB方向向上的初速度，使小球恰好能够通过挡板最高点C。小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度g=10 m/s2.求： (1)小球经过C点时的速度大小； (2)小球的初速度大小； (3)小球返回斜面底端AD时与A点间的距离。 【答案】(1) (2) (3)0.6m 【详解】（1）小球经过点时，其重力沿斜面向下的分力恰好提供小球做圆周运动的向心力，即，解得 （2）小球由到，根据机械能守恒定律可得 解得 （3）小球离开点后，做类平抛运动，则 离点的距离 代入数据，解得 13．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其最低点与水平面平滑连接。圆弧轨道半径，圆心角为。水平面上点左侧光滑、右侧粗糙。一根轻弹簧置于水平面上，其左端固定在挡板上，右端自由伸长至点。现将质量的物块放在水平面上，向左压缩弹簧至点后由静止释放。物块被弹开后，恰好不滑离圆弧轨道。已知物块与段间的动摩擦因数为0.5，段长度也为，重力加速度，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块在位置时弹簧的弹性势能； (3)物块停止运动时距点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从到过程，轨道光滑，根据动能定理 在点，根据牛顿第二定律 代入数据得 （2）从释放到的过程，初末动能均为，弹性势能等于克服摩擦力做功与重力势能增加量之和 代入数据 （3）物块从滑回水平面，设物块从向左运动的总路程为，根据动能定理 代入数据得 长度恰好为，物块刚好停在点，因此停止位置距点的距离为 14．（23-24高一下·天津·期末）如图所示，光滑水平台面上放两个相同小物块A、B，右端处与水平传送带理想连接，传送带水平部分长度，沿逆时针方向以恒定速度匀速转动。物块、（大小不计，视作质点）与传送带间的动摩擦因数均为，物块、质量分别为，。开始时、静止，、间压缩一轻质短弹簧。现解除锁定，弹簧弹开、，弹开后B滑上传送带，A掉落到地面上的点，已知水平台面高，点与水平台面左端的水平距离，取。 (1)求物块A脱离弹簧时速度的大小； (2)求弹簧储存的弹性势能； (3)求物块B在水平传送带上运动的过程中摩擦力对物块B的冲量。 【答案】(1) (2)24J (3)，方向水平向左 【详解】（1）A脱离弹簧后做平抛运动，竖直方向自由下落 水平方向匀速运动 物块A脱离弹簧时速度的大小 （2）弹簧弹开过程，水平面光滑，A、B系统动量守恒，有 解得 弹簧储存的弹性势能等于弹开后A、B的总动能 弹簧储存的弹性势能 （3）B滑上传送带后，受向左的滑动摩擦力，加速度大小，方向向左； 当B减速到零时，由 B向右减速到零的位移 B向左加速到与传送带共速时的位移，说明共速后B匀速向左离开传送带，最终速度大小为，方向向左。 取向右为正方向，根据动量定理， 即摩擦力对B的冲量大小为，方向水平向左。 15．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道的最低点B的切线水平。右侧的光滑水平面上紧挨着B点静止一平板小车，其质量，长度，小车的上表面与B点等高、距地面的高度。质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A正上方处由静止释放，恰好从A点进入圆弧轨道，之后滑上平板小车。已知小车上表面与小物块间的动摩擦因数，重力加速度大小取，求： (1)小物块滑到轨道B点时对轨道的压力大小； (2)摩擦力对小物块做的功； (3)当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离。 【答案】(1)50N (2) (3)0.2m 【详解】（1）小物块从释放到B点过程，根据机械能守恒有 解得 小物块在B点有 联立解得小物块在B点受到的支持力大小 根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小为50N。 （2）小物块滑上小车后，根据牛顿第二定律可知，m、M加速度大小分别为， 设小物块从小车右端滑离时m、M速度大小分别为，则有， 又因为 联立解得，， 则摩擦力对小物块做的功 （3）小物块滑离小车后做平抛运动，则有 解得 故当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离 16．（25-26高二上·河南许昌·期末）如图所示，长度、质量的木板静止在光滑水平地面上，木板上表面与固定在地面上半径的光滑圆弧槽底端水平相切。质量为的小球从圆弧槽上的P点由静止释放，P点和圆弧槽圆心O连线与水平方向的夹角为，且，小球运动到最低点时，与放置在木板最左端的质量也为m的小物块发生弹性碰撞，碰撞时间极短。小物块被小球碰撞后恰好能运动到木板的最右端而不滑落。小球和小物块均可视为质点，重力加速度的大小g取。求： (1)小球和小物块碰撞前瞬间小球速度的大小； (2)小球和小物块碰撞后瞬间小物块速度的大小； (3)小物块与木板之间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球，从静止释放到碰撞前的过程，根据动能定理 解得 （2）小球与物块碰撞过程，根据动量守恒定律 根据机械能守恒 解得 （3）由题意知小物块滑行到长木板的最右端时共速，根据动量守恒 根据能量关系 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 机械能及能量守恒 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 重力势能、弹性势能概念、表达式与正负判断 2. 重力做功与重力势能变化关系、弹力做功与弹性势能变化 3. 机械能定义、机械能守恒条件与守恒表达式 4. 单个物体、系统机械能守恒判断与列式求解 5. 功能关系、能量守恒定律综合应用（摩擦生热、板块、传送带、圆周模型） 1. 势能概念、势能变化判断多以选择小题考查，侧重正负、参考面辨析 2. 机械能守恒判断为高频基础题型，区分只有重力 / 弹力做功与多力做功场景 3. 系统机械能守恒、含弹簧连接体是中档拉分题型，常结合圆周、斜面综合命题 4. 功能关系贯穿所有动力学综合题，用于求解摩擦生热、内能转化 5. 计算题常结合弹簧、板块、竖直圆轨道、平抛，全程用能量守恒简化运算 考情解码：本专题是能量体系核心内容，承接动能定理，是解决复杂多过程、弹簧类问题最优工具。基础概念难度低；单物体机械能守恒为必考中档题；弹簧系统、多物体能量转化、摩擦生热综合计算是试卷重难点。命题场景覆盖直线、曲线、弹簧连接体、传送带、板块模型，优先规避牛顿定律分段运算，侧重能量转化整体思维。 ( 脉 ｜ 络 ｜ 重 ｜ 构 ) ( 考 ｜ 点 ｜ 精 ｜ 讲 ) 知识点一 机械能守恒的理解与判断 一、重力做功与重力势能的关系 1. 重力做功的特点 （1）重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关； （2）重力做功不引起物体机械能的变化． 2．重力势能 （1）表达式：Ep＝mgh. （2）重力势能的特点 ①矢标性：重力势能是标量，有正负，其正负表示大小； ②相对性：重力势能具有相对性，在计算重力势能之前必须选择参考面，参考面的选择是任意的，通常以地面作为参考面； ③系统性：重力势能是物体和地球所共有的，不是物体单独所有。如果没有地球对物体的吸引，就谈不上重力做功和重力势能了。 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大； (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp. 二、弹性势能的表达 1．弹性势能 （1）定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． （2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp=Ep1-Ep2. （3）表达式 ①“化变力为恒力”求弹力做功：W总=F1△x1+F2△x2+F3△x3+F4△x4+…… ②利用F-x图像：图像与x轴所围成面积的数值就是弹力做的功； ③表达式（以弹簧原长为零势点）：（x指弹簧的形变量） 3、 机械能守恒定律 1. 机械能：动能、重力势能和弹性势能统称机械能； （1） 机械能是标量，只有大小，没有方向，但有正负，其正负表示大小； （2） 机械能具有相对性，只有参考系和参考面确定后，机械能的研究才有意义； （3） 机械能是状态量，对应着某一时刻或某一位置； 2. 机械能守恒定律 （1） 内容：在只有重力（不考虑空气阻力的各种抛体运动）或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转换，总的机械能保持不变； （2） 机械能守恒的条件 ①只有重力或系统内弹力做功，物体的机械能守恒； ②除重力和系统内弹力外，物体受到的其他力不做功或其他力做功代数和为零； 3. 机械能守恒的三种表达式 表达式 表达意义 守恒观点 系统内初末状态机械能总和相等 转化观点 系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的动能等于系统增加（或减少）的动能 转移观点 在A、B组成的系统中，A机械能的增加量等于B机械能的减少量 4．机械能守恒判断的三种方法 定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒 做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒 转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒 5. 机械能守恒条件的理解及判断 （1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”． （2）对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒． （3）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒． 角度1：判断系统机械能是否守恒 【典例破题1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）据《物原》记载：“史佚始作辘轳”。人们借助辘轳从井中汲水的示意图如图。某人以恒定角速度转动辘轳汲水时，绳子不断重叠地绕在一起，绳子的粗细不可忽略。则（     ） A．水桶处于超重状态 B．水桶的机械能守恒 C．绳子拉水桶的力等于水桶的重力 D．绳子拉水桶的力大于水桶拉绳子的力 【巩固提升1】（2026·海南海口·模拟预测）如图所示，两个质量相同的小球甲、乙用轻绳连接后悬挂在一轻质弹簧下端，整个系统处于静止状态，不计空气阻力。某时刻剪断轻绳，下列说法正确的是（     ） A．剪断轻绳瞬间，小球甲的加速度大小为零 B．剪断轻绳瞬间，小球乙立即失去惯性 C．剪断轻绳后，小球甲上升过程中机械能一直增大 D．剪断轻绳后，小球乙落地前的机械能一直增加 【巩固提升2】（25-26高一下·广东·阶段检测）（多选）下图是生活中常见的一些现象，其中描述正确的是（     ） A．甲图中，篮球在空中飞行，若不计空气阻力，则篮球的机械能守恒 B．乙图中，弹丸在光滑的碗内虽做复杂的曲线运动，但机械能守恒 C．丙图中，若火箭匀速升空，则机械能守恒，若火箭加速升空，则机械能不守恒 D．丁图中，运动员从A点自由下落，经蹦床C反弹，若不计空气阻力，则整个过程中运动员的机械能守恒 角度2：机械能守恒定律的初步应用 【典例破题2】（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图所示，小球A的质量为，系在细线的一端，细线的另一端固定在点，点到光滑水平面的距离为。物块B和C的质量分别是和，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且物块B位于点正下方。现拉动小球A使细线水平伸直，小球A由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），碰撞过程无能量损失。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为，求： (1)碰撞后物块B的速度大小； (2)轻弹簧获得的最大弹性势能。 【巩固提升1】（25-26高一下·广东·阶段检测）滑沙是颇具特色的沙漠户外休闲运动，一名游客乘滑沙板从倾斜沙坡顶端由静止开始沿坡面匀加速下滑，经时间抵达坡底，抵达时速度为。已知沙坡坡面倾角为，游客和滑沙板的总质量为，重力加速度为，则游客从沙坡顶端滑到坡底的过程中，下列说法正确的是（     ） A．滑沙板与沙面间的动摩擦因数为 B．游客和滑沙板的重力势能减少了 C．游客和滑沙板的机械能变化量为 D．游客和滑沙板克服阻力做的功为 【巩固提升2】（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）如图所示，在地面上以速度抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面。若以地面为参考平面且不计空气阻力，则不正确的是（     ） A．重力对物体做的功为 B．物体落到海平面时的重力势能为 C．物体在海平面上的动能为 D．物体在海平面上的机械能为 知识点二 单个物体的机械能守恒问题 1．机械能守恒定律的表达式 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 【典例破题3】（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 【巩固提升1】（25-26高一下·上海杨浦·期中）如图所示，一半径为的竖直圆轨道固定在水平地面上，内壁光滑，为圆轨道的最低点，一质量为，可视为质点的小球，开始时静止于点，现给小球一个沿着水平方向的初速度，重力加速度为，则小球脱离圆轨道时距离点的高度为（     ） A． B． C． D． 【巩固提升2】（25-26高一下·河北·阶段检测）（多选）如图所示，在竖直平面内有一个半径为R的圆弧轨道。半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，已知AP=2.5R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　 ） A．重力势能减小了5.5mgR B．克服摩擦力做功mgR C．动能增加了1.5mgR D．机械能减少了mgR 知识点三 多物体关联的机械能守恒问题 1．多物体机械能守恒问题的解题思路 2．多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”． （1）轻绳模型 三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等． ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系． ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒． （2）轻杆模型 三大特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等． ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒． （3）轻弹簧模型 轻弹簧模型“四点”注意 ①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒． ②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点． ③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小． ④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)． 角度1：机械能守恒定律在绳连接体中的使用 【典例破题4】（25-26高二下·河北衡水·期末）如图所示，一个质量为的有孔小球套在竖直固定的光滑直杆上，通过一条跨过定滑轮的轻绳与质量为的重物相连，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g，现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离为时（图中B处），下列说法正确的是（     ） A．小球的速度与重物上升的速度大小之比为 B．小球的速度与重物上升的速度大小之比为 C．小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量 D．小球机械能的减少量大于重物机械能的增加量 【巩固提升1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，细线跨过轻质定滑轮悬挂重物B，悬挂滑轮的细线均竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后，A、B开始运动。已知A质量是B质量的一半，摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为，当A的位移大小为时，B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【巩固提升2】（2026·北京海淀·一模）一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端分别系有小球A和B。用手托住B球，当绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球静止于地面，如图所示。已知B球的质量是A球的k倍（k＞1），忽略一切摩擦和空气阻力。B球从释放至刚好落地的过程中，下列判断不正确的是（　　） A．A球和B球组成系统的机械能不守恒 B．A球上升过程的速度大小等于B球下落过程的速度大小 C．A球加速度的大小等于B球加速度的大小 D．k值越大，B球运动的加速度越接近g 角度2：机械能守恒定律在杆连接体中的使用 【典例破题5】（25-26高一下·河南平顶山·期末）在一长为3L的轻杆上离杆的O端L处固定小球A，在杆的另一端固定小球B，两小球与轻杆组成一个系统。如图甲，对轻杆系统的一端施加竖直向上的恒定拉力，使系统加速向上运动，当系统上升的位移为时，系统动能的增加量为；如图乙，轻杆系统可绕O端自由转动，且将轻杆拉到水平位置由静止释放。已知小球A的质量为、，重力加速度为。求： (1)小球B的质量； (2)在图乙中，轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中对小球B所做的功。 【巩固提升1】（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）如图所示，两个倾角均为45°的楔块静止在光滑水平地面上，质量均为M，一个质量为m的光滑横杆从高度为H处（两端均与楔块接触）由静止释放，它竖直向下移动并水平推开楔块，移动过程中横杆始终水平，重力加速度为g。当横杆运动到距离地面高度为h时，下列说法正确的是（　　） A．横杆下落速度与楔块滑动速度大小相等 B．横杆下落速度与楔块滑动速度的大小之比为 C．楔块滑动速度的大小为 D．楔块滑动速度的大小为 【巩固提升2】（25-26高三上·安徽滁州·期末）（多选）如图所示，小滑块、的质量均为，套在固定光滑竖直杆上，放在光滑水平面上。、间通过铰链用长为的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为，一水平轻弹簧右端与相连，左端固定在竖直杆上。当时，弹簧处于原长，由静止释放，下降到最低点时变为，整个运动过程中，、始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为。则下降过程中（　　） A．、和弹簧组成的系统机械能守恒 B．竖直杆对滑块的弹力始终大于弹簧弹力 C．弹簧弹性势能最大值为 D．滑块的动能达到最大时，受到地面的支持力大于 角度3：机械能守恒定律在弹簧类问题中的使用 【典例破题6】（25-26高一下·全国·期末）（多选）如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（     ） A．弹簧的劲度系数为 B．此时弹簧的弹性势能等于 C．此时物体B的速度大小也为v D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上 【巩固提升1】（25-26高一下·河北衡水·期末）如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨最低点平滑相接，导轨半径为。一个质量为的物体（可视为质点）将弹簧向左压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过点时的速度大小为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达最高点。重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 【巩固提升2】（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m的物块P静止在光滑水平地面上，其右侧表面是半径为R的光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P右侧静止有质量为m的球b，球b左侧固定有轻弹簧。将质量为m的球a从圆弧轨道最上端静止释放，球a离开物块P后与轻弹簧左侧接触并粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求： (1)若物块P固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep； (2)若物块P不固定，球a离开物块P瞬间速度va的大小，及球b能达到的最大速度vb的大小。 一、单选题 1．关于机械能守恒，以下说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒 B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒 C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒 D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒 2．（2026·山东济宁·二模）如图所示，竖直平面内的圆弧是无人机以恒定速率在空中表演的部分运动轨迹，其中点与圆心等高。无人机运动过程中只受重力、驱动力、大小恒定且与速度方向始终相反的阻力作用。在无人机从运动到的过程中，下列说法正确的是（　　） A．机械能守恒 B．合外力做正功 C．重力的功率不变 D．驱动力的功率减小 3．（25-26高一下·江苏·期末）如图所示，弹簧竖直固定在地面上，一小球从它的正上方A点自由下落，到达B点开始与弹簧接触，到达C点速度减为零，之后又回到A点，如此反复，B为AC的中点，下列说法正确的是（     ） A．小球在B点处速度最大 B．小球从A下落到C的过程中，加速度先竖直向下且保持不变，后竖直向上且一直增大 C．弹簧增加的弹性势能等于小球减少的动能 D．小球在下落过程中，重力的功率先增大后减小 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图所示，轻质直杆一端固定在水平天花板上，另一端将半径为的光滑大圆环固定在竖直平面内。套在大圆环顶端的小环（可视为质点）由静止释放后沿大圆环轨道自由下滑。已知大圆环的质量为，小环的质量为。在下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小环重力的功率一直增大 B．当小环距顶端的距离为时，小环的动能为 C．直杆对大圆环的拉力最大为 D．大圆环对小环的弹力先减小后增大 5．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图所示，竖直平面内半径为R的光滑圆轨道保持不动，质量为m可视为质点的小球静止在圆轨道最低点A。现给小球施加一水平向右的恒力，小球恰好能运动到与O点等高的B点，重力加速度为g，则（　　） A．小球对轨道的最小压力为0 B．小球对轨道的最大压力为mg C．小球的最大速度为 D．小球从A运动到B过程中机械能逐渐增大 6．（25-26高一上·湖南永州·期末）如图所示，水平光滑长直杆上套有一物块Q。一根轻绳跨过悬挂于O点的固定轻小光滑圆环，轻绳的一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是（　　） A．当θ=90°时，Q的速度最大 B．当θ=30°时，P、Q的速度之比是 C．当θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态 D．当θ向90°增大的过程中，Q的合力一直增大 7．（25-26高一上·河北保定·期末）如图所示，某人从高出水平地面h的坡顶上水平击出一个质量为m的高尔夫球（可视为质点），坡顶可视为半径为R的圆弧，高尔夫球飞出前瞬间对坡顶的压力恰好为0。高尔夫球落入水平地面的A洞中（不计洞穴的宽度及深度），不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该球在空中运动的时间为 B．该球飞出的初速度大小为 C．A洞到坡顶的距离为 D．该球落入A洞时的动能为 二、多选题 8．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，A、B两物块通过跨过轻质定滑轮的不可伸长的轻质细绳相连，物块A穿在固定的光滑竖直杆上，物块B、C通过轻质弹簧相连，C静止在地面上。初始时，用手托住A，使连接A的细绳水平伸直，此时细绳恰好无拉力，B、C质量均为m，释放物块A，当A沿竖直杆滑至最低点时，连接A的细绳与水平方向夹角为53°，且C对地面恰好无压力，竖直杆与定滑轮的间距为d（忽略定滑轮的大小），重力加速度为g，，。下列说法正确的是（　　） A．A下滑的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．A的质量满足 D．若将A的质量增加到原来的2倍，再次滑到图示位置时，A、B两物块的动能之和为 9．（25-26高三上·云南曲靖·期末）如图所示，可视为质点的a、b两物块，质量均为m，由劲度系数为k的轻质弹簧连接，置于倾角为30°的固定光滑斜面上，物块a由不可伸长的足够长的细线悬挂于斜面顶端O点，系统处于静止状态。现将物块b沿斜面向下缓慢下拉l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放物块b后（　　） A．物块a不可能运动 B．物块b释放瞬间，其加速度大小为 C．当时，物块b做简谐运动 D．若物块a能运动，则当a、b共速时弹簧弹性势能最大 10．（24-25高二下·山东青岛·期末）如图所示，长度为L的轻杆上端连着一质量为m的小球A（可视为质点），杆的下端用铰链固接于水平面上的O点。置于同一水平面上的立方体B恰与A接触，立方体B的质量为M。今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而A与B刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角为30°，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．分离前B的机械能先增加后减小 B．分离时A的加速度大于g C．A与B刚脱离接触的瞬间，B的速率为 D．A、B质量之比为1:4 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放一质量m=1kg的滑块，滑块的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，斜面始终保持静止。重力加速度大小g=10m/s²，弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，则（　　） A．滑块在斜面上做匀变速直线运动 B．滑块速度最大时，地面对斜面的摩擦力方向水平向右 C．弹簧的劲度系数为25N/m D．滑块最大的动能为0.5J 三、解答题 12．（25-26高二下·河南驻马店·期末）如图所示，一足够大的光滑斜面固定在水平面上，倾角θ=30°，斜面上垂直固定直挡板AB与四分之一圆弧挡板BC，两者平滑连接，，AB长度l=0.2 m，圆弧BC半径R=0.2 m。现给A点处的静止小球一个沿AB方向向上的初速度，使小球恰好能够通过挡板最高点C。小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度g=10 m/s2.求： (1)小球经过C点时的速度大小； (2)小球的初速度大小； (3)小球返回斜面底端AD时与A点间的距离。 13．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其最低点与水平面平滑连接。圆弧轨道半径，圆心角为。水平面上点左侧光滑、右侧粗糙。一根轻弹簧置于水平面上，其左端固定在挡板上，右端自由伸长至点。现将质量的物块放在水平面上，向左压缩弹簧至点后由静止释放。物块被弹开后，恰好不滑离圆弧轨道。已知物块与段间的动摩擦因数为0.5，段长度也为，重力加速度，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块在位置时弹簧的弹性势能； (3)物块停止运动时距点的距离。 14．（23-24高一下·天津·期末）如图所示，光滑水平台面上放两个相同小物块A、B，右端处与水平传送带理想连接，传送带水平部分长度，沿逆时针方向以恒定速度匀速转动。物块、（大小不计，视作质点）与传送带间的动摩擦因数均为，物块、质量分别为，。开始时、静止，、间压缩一轻质短弹簧。现解除锁定，弹簧弹开、，弹开后B滑上传送带，A掉落到地面上的点，已知水平台面高，点与水平台面左端的水平距离，取。 (1)求物块A脱离弹簧时速度的大小； (2)求弹簧储存的弹性势能； (3)求物块B在水平传送带上运动的过程中摩擦力对物块B的冲量。 15．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道的最低点B的切线水平。右侧的光滑水平面上紧挨着B点静止一平板小车，其质量，长度，小车的上表面与B点等高、距地面的高度。质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A正上方处由静止释放，恰好从A点进入圆弧轨道，之后滑上平板小车。已知小车上表面与小物块间的动摩擦因数，重力加速度大小取，求： (1)小物块滑到轨道B点时对轨道的压力大小； (2)摩擦力对小物块做的功； (3)当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离。 16．（25-26高二上·河南许昌·期末）如图所示，长度、质量的木板静止在光滑水平地面上，木板上表面与固定在地面上半径的光滑圆弧槽底端水平相切。质量为的小球从圆弧槽上的P点由静止释放，P点和圆弧槽圆心O连线与水平方向的夹角为，且，小球运动到最低点时，与放置在木板最左端的质量也为m的小物块发生弹性碰撞，碰撞时间极短。小物块被小球碰撞后恰好能运动到木板的最右端而不滑落。小球和小物块均可视为质点，重力加速度的大小g取。求： (1)小球和小物块碰撞前瞬间小球速度的大小； (2)小球和小物块碰撞后瞬间小物块速度的大小； (3)小物块与木板之间的动摩擦因数。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $