专题06 动能定理及其应用（暑假复习讲义）新高二物理人教版

专题06 动能定理及其应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 动能的概念、表达式与标量特点 2. 动能定理内容、公式、物理意义与适用条件 3. 恒力、变力、多过程问题的动能定理应用 4. 全程法、分段法解题思路辨析 5. 动能定理结合机车启动、曲线运动、多过程综合计算 1. 动能概念、动能变化判断多以选择小题考查，侧重标量特性辨析 2. 动能定理基础计算为高频必考题型，适用范围广、解题简便 3. 变力做功、复杂多过程问题优先考查动能定理，规避复杂加速度分析 4. 常结合平抛、圆周、机车启动模型综合命题，作为解题核心工具 5. 计算题侧重全程整体思维，考查多过程能量变化与做功分析 考情解码：本专题是高中物理能量观的核心工具，承接功与功率，是解决复杂动力学问题的万能方法。动能基础概念难度低；单过程动能定理计算为中档必考；多过程、变力综合应用是试卷拉分重难点。命题场景丰富，涵盖直线运动、曲线运动、机车运动、斜面多过程等，常规避牛顿定律复杂运算，侧重简便解题思维。 脉｜络｜重｜构 考｜点｜精｜讲 知识点一、动能、动能定理的理解 【课标要求】熟记动能定理内容与公式，理解物理本质，明确适用条件。 1. 动能 （1）定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能； （2）表达式： （3）单位：焦耳，简称焦，符号是J （4）动能具有的特点 ①动能是标量，与速度的方向无关，不能合成或分解，且动能只有正值； ②动能具有瞬时性和相对性，这是由速度的瞬时性和相对性决定的，即动能与物体在任意时刻的速度是对应的，是一个状态量；对于同一个物体，在速度不变时，相对于不同的参考系其动能是不-样的。 2. 动能定理 （1）内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量． （2）表达式：W＝mv22－mv12＝Ek2－Ek1 （3）适用条件： ①既适用于直线运动，也适用于曲线运动； ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功； ③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用． （4）应用技巧：若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑． 角度1：应用动能定理的初步应用 【典例破题1】（25-26高一上·北京海淀·期末）功是能量转化的量度，研究力做功有非常重要的物理意义。 (1)如图，质量为m的物体以初速度v0滑上斜面（斜面足够长），上滑到最高点后又沿原路返回。已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h。求物体从开始滑上斜面到滑回到出发点的过程中，重力做功WG和摩擦力做功Wf以及物体返回到出发点时的动能Ek； (2)如图，某个力F作用于半径R的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，求转盘转动一周的过程中力F做的功WF； (3)如图所示，一个质量为m的小球用长为l的轻绳与一定点相连，在水平拉力F的作用下，从最低点A缓慢地移到B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ，求在这个过程中力F所做的功W。 【归纳总结】解决这类变力做功与恒力做功问题，核心是紧扣功的定义和动能定理，结合不同力的做功特点分析： ① 重力做功只和初末位置的高度差有关，与路径无关，只要初末位置高度差为零，重力做功就为零；滑动摩擦力、空气阻力这类力的方向始终与运动方向相反，做功的大小等于力的大小乘以路程，和运动路径有关； ② 对于方向始终沿运动切线方向、大小不变的力做功，可以用微元法，将整个运动过程分割成无数个微元段，每个微元段内可以把力看作恒力，总功就是每个微元段做功的和，最终可得总功为力乘以总路程； ③ 物体缓慢运动时动能变化为零，拉力这类变力做功可以借助动能定理，结合重力做功的特点进行求解，不需要直接对变力积分计算。 【巩固提高1】（24-25高一下·甘肃武威·期末）（多选）质量为m的物体，以的加速度由静止竖直向上做匀加速直线运动，上升高度为h的过程中，下面说法正确的是（　　） A．物体的重力势能减小了mgh B．物体的机械能增加了 C．物体的动能增加了 D．物体的机械能增加了 【巩固提高2】游乐场中的过山车是一项富有刺激性的娱乐设施，一种弹射式过山车，其部分过程可抽象成如图所示模型：光滑水平轨道AB与固定在竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点平滑相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间导轨对它的支持力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C。已知重力加速度g。求： (1)物块在B点时的速度大小； (2)物块从B至C克服阻力做的功； (3)物块离开C点后落回水平面时的动能。 角度2：应用动能定理求变力做功 【典例破题2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，在倾角为的粗糙斜面上，一轻绳一端固定于点，另一端连接一个质量为的小球，初始时，轻绳水平伸直且没有拉力，小球由静止释放，摆到最低点时速度大小为。已知轻绳的长度为，重力加速度为，空气阻力不计。在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在最低点处受到的合力大小为 B．重力对小球做的功为 C．摩擦力对小球做的功为 D．小球在最低点时，轻绳对小球的拉力大小为 【归纳总结】对于重力做功这类问题，首先找准初末位置的高度差即可直接得到重力做功的大小，再结合动能定理就能方便求解未知力做功，无需对过程中的变力进行复杂分析，当题目涉及圆周运动某点的受力或速度分析时，要结合牛顿第二定律先得到该点的速度，再结合动能定理求解整个过程的功，理清过程、选对定理就能快速解决问题。 【巩固提高1】（24-25高一下·福建泉州·阶段检测）（多选）如图甲，极限铁笼飞车表演是用摩托车进行的特技表演。如图乙，一表演者和摩托车在竖直面内运动的简化图，人与车的总质量为，表演者骑摩托车在半径为的圆形铁笼内以速度大小做匀速圆周运动，设铁笼对摩托车的阻力与车对铁笼的压力成正比，即，重力加速度为，表演者和摩托车可视为质点，则其（　　） A．在最低点对铁笼的压力为 B．从最低点到最高点过程中机械能增加了 C．从最低点到最高点过程中克服阻力做的功为 D．从最低点到最高点过程中摩托车牵引力做的功为 【巩固提高2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）（多选）如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到水平拉力的作用，A、B间的摩擦力和B与地面间的摩擦力随水平拉力变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量，重力加速度大小，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．前2s内，B所受合外力的冲量大小 B．前6s内，A、B系统所受的合外力冲量大小 C．前6s内，外力做功 D．末，A的速度大小 知识点二、动能定理解决多过程问题 【课标要求】掌握多过程问题的分析方法，能灵活选用分段法、全程法运用动能定理求解相关问题。 1．解题的基本思路 （1）选取研究对象，明确它的运动过程； （2）分析受力情况和各力的做功情况； （3）明确研究对象在过程的初末状态的动能Ek1和Ek2； （4）列动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解． 角度1：应用动能定理解决平抛运动问题 【典例破题3】（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线拴接，使物块静止在O点。水平台面右侧有一圆心角为的光滑圆弧轨道AB和光滑圆形轨道CD，固定在粗糙的水平地面上，半径均为R且两轨道分别与水平面相切于B、C两点。现剪断细线，弹簧恢复原长后与物块脱离，脱离时物块的速度，物块离开水平台面后恰好无碰撞地从A点落入圆弧轨道，运动至B点后（在B点无能量损失）沿粗糙的水平面BC运动，从C点进入光滑竖直圆轨道。已知，BC距离，，，。 (1)求水平台面的高度h； (2)求物块经过B点时对圆弧轨道的压力大小； (3)为了让物块能从C点进入圆轨道且中途不脱离轨道，则B、C间的摩擦因数μ应满足什么条件？ 【归纳总结】解决这类动能定理综合应用问题，首先要明确运动过程，准确分析每个过程的受力和做功情况，优先选择动能定理对初末状态列式计算，涉及圆周轨道上的作用力分析时，要在对应位置结合牛顿第二定律求解，同时注意临界条件的梳理：如不脱离竖直圆轨道有刚好到达圆心等高处和刚好通过最高点两种临界情况，分类讨论后结合动能定理就能得到正确范围。 【巩固提高1】（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，从点以某一水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好沿切线方向进入的固定光滑圆弧轨道，经圆弧轨道后滑上与点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道端的切线水平。已知长木板的质量，、两点距点的高度分别为、、，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，，，。求： (1)小物块在点时的速度大小； (2)小物块滑至点时的速度大小和圆弧轨道对小物块的支持力大小； (3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。 【巩固提高2】滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，段的圆心为O点，圆心角为，半径与水平轨道垂直，水平轨道段粗糙且长，一运动员从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道，经轨道后冲上轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为，B、E两点与水平面的竖直高度分别为h和H，且，，。 (1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间； (2)求轨道段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力； (3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如果能，请求出回到B点时的速度大小；如果不能，则最后停在何处？ 角度2：利用动能定理解决圆周运动问题 【典例破题4】（24-25高一下·甘肃平凉·期末）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直于轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m＝0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R＝0.15 m，轨道AB长度lAB＝3 m，，。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放（g＝10 m/s2）。 (1)若释放点距B点的长度l＝0.7 m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小； (2)设释放点距B点的长度为lx，滑块第一次经过F点时的速度v与lx之间的关系式及滑块第一次经过F点时的速度v的取值范围。 【归纳总结】解决动能定理与圆周运动、板块模型、多过程运动结合的综合问题，核心是分阶段明确受力与运动性质，找准过程的初末状态，优先选择动能定理处理变力做功、多过程的速度关系，再结合牛顿运动定律、运动学公式求解对应问题。分析问题时要注意：一是圆周运动最高点的临界条件，不同轨道类型临界条件不同，轻绳轨道最高点临界速度满足向心力由重力提供，而圆管轨道最高点临界速度可以为零，要注意区分；二是多过程往返运动问题，要利用动能定理处理总过程，简化计算，同时要注意摩擦力做功与路程相关；三是板块问题要先判断板块的运动状态，通过摩擦力大小的比较确认木板是否运动，再结合运动学规律求解相对位移得到板的最小长度。 【巩固提高1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，在竖直面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.2m，现有一个质量m＝0.1kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好能到达斜面上A处。已知DE距离h＝0.6m，物体与斜面间的动摩擦因数。重力加速度。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求： (1)物体第一次到达C点时对轨道的压力大小； (2)斜面上A、B两点间的距离L； (3)物块在斜面上滑行的总路程s。 【巩固提高2】（24-25高一下·宁夏银川·期末）在学校组织的趣味运动会上，唐中“加速度社”为大家提供了一个游戏。如图所示，将一质量为0.1 kg的钢球放在O点，用弹射装置将其弹出，钢球沿着光滑的半圆形轨道OA和AB运动。BC段为一段长为L＝2.0 m的粗糙平面，DEFG为接球槽。半圆形轨道OA和AB的半径分别为r＝0.2 m、R＝0.4 m，小球与BC段的动摩擦因数为μ＝0.7，C点离接球槽的高度为h＝1.25 m，水平距离为x＝0.5 m，接球槽足够大，g取10 m/s2。求： (1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在A点的速度大小； (2)钢球恰好不脱离轨道时，在B位置对半圆形轨道的压力大小； (3)要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v0至少多大。 角度3：应用动能定理解决传送带问题 【典例破题5】（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的出入口靠近且相互错开，现将一质量的滑块从AB轨道上距水平轨道高度处由静止释放、经圆轨道、水平轨道、水平传送带，从E点抛出。已知圆轨道半径，水平轨道BD的长度，传送带长度，以恒定速度逆时针转动，滑块与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为，不考虑传送带轮的半径对运动的影响，重力加速度，求滑块： (1)运动至C点时对圆弧轨道压力的大小； (2)从释放到飞出传送带的过程中，摩擦产生的热量Q。 【归纳总结】滑块在传送带上运动产生热量的计算，核心是明确摩擦力做功过程中产生的热量等于滑动摩擦力大小与滑块和传送带相对路程的乘积，需要注意：一是要先通过运动学公式计算滑块到达传送带时的速度，判断滑块在传送带上的运动性质，确认滑块到达传送带另一端时的速度；二是要注意传送带本身有运动，不是静止的，滑块的位移和传送带的位移都要分别计算，相对位移是两者对地位移的差值，与运动方向有关，计算时注意相对位移一定是路程差，热量计算使用滑动摩擦力乘以相对路程即可。 【巩固提高1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，水平区域FG足够长，圆轨道最低点B处的入、出口靠近但相互错开。现将一质量为m＝0.5kg的滑块从AB轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径R＝0.8m，水平面BD的长度，传送带长度，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道BD和传送带间的动摩擦因数均为，传送带以恒定速度逆时针转动（不考虑传送带轮的半径对运动的影响）。 (1)若h＝1.6m，则滑块运动至B点时对圆弧轨道的压力； (2)若滑块不脱离圆轨道且从E点飞出，求滑块释放点高度h的取值范围； (3)当h＝3.4m时，计算滑块从释放到飞出传送带的过程中，因摩擦产生的热量Q是多少。 【巩固提高2】（24-25高一下·四川广安·期末）如图所示，粗糙斜面固定在水平台面边缘，底端恰好与水平传送带左端平滑连接，传送带右端与光滑的竖直四分之一圆弧轨道在N点平滑相切，并且传送带上表面恰好是切线。斜面的高度为，与水平地面的夹角大小为，圆弧半径，OM是水平半径，ON为竖直半径；传送带始终以速度顺时针运动。现将质量为的物体B静止于斜面的底端，质量为的物体A从斜面顶端由静止开始下滑，到达斜面底端时与物体B发生正碰并粘在一起组成物体C，然后冲上传送带，最后刚好到达圆弧上的P点，且OP与竖直方向的夹角大小为。已知物体A与斜面的动摩擦因数为，物体C与传送带的动摩擦因数为，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度大小，计算中取，，求： (1)物体A到达斜面底端时的速度大小； (2)传送带的长度l； (3)设物体A、B质量之比为。要使物体C在传送带上做减速运动，而且不脱离圆弧轨道，求k的取值范围（计算结果保留3位有效数字）。 角度4：应用动能定理解决板块问题 【典例破题6】（24-25高一下·山东德州·期末）某兴趣小组设计了一个游戏装置，如图所示。它由足够长的倾角轨道、水平轨道和、半径的竖直螺旋圆形轨道、上端与轨道相平的6个紧密排列的相同木块组成。圆形轨道上的点与圆心等高，为轨道最高点，轨道和等高平行。一质量的滑块在轨道上某高度处由静止释放，通过水平轨道进入圆形轨道，完成圆周运动后滑上并排的木块。每个木块的质量，宽度，滑块与木块上表面的动摩擦因数，木块下表面与地面的动摩擦因数为。若滑块可看作质点，各轨道均光滑，轨道间平滑连接，不计水平轨道与木块间的间隙，重力加速度。求： (1)若滑块恰好能通过圆形轨道，滑块释放时距水平轨道的高度； (2)若滑块从高度处由静止释放，滑块运动到点时对轨道压力的大小； (3)若滑块恰好能滑到木块5的最右端，则滑块由静止释放时的高度。 【归纳总结】解决圆周运动、碰撞摩擦与传送带结合的动力学问题时，核心是分过程选取合适的物理规律：碰撞过程动量守恒，光滑轨道运动机械能守恒，传送带和粗糙面运动结合动能定理分析做功与速度变化，处理不脱离轨道问题时要注意分类讨论临界情况，抓住临界速度条件求解质量或长度等物理量。 【巩固提高1】（24-25高一下·重庆·期末）如图所示，长为L、质量为的木板A静止放在光滑的水平面上，A的左端紧靠光滑固定曲面，曲面底端切线与A上表面重合，A右端足够远处有一与A等高的平台，平台上MN之间是一个宽度为的特殊区域，只要物体进入MN之间（含边界MN）就会受到一个方向向右、大小为F=mg的作用力，平台除MN之间粗糙外，其余部分光滑，MN的右侧某处安装有一特殊的弹射装置。质量为m的小滑块B从曲面上距底端高为处由静止释放，B滑上A后，先与A达到共速，之后A与平台接触时会立刻被粘住。当B到达弹射装置的速度不小于时可通过弹射装置，速度小于时被反弹，反弹后的动能为反弹前的k倍（0<k<1）。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g。 (1)求B与A相对静止时的速度v； (2)若B滑上平台后在MN间通过的路程为，求B与MN之间的动摩擦因数μ1（μ1<1）的最大值； (3)若B与MN之间的动摩擦因数，试讨论B滑上平台后在MN间通过的路程。 （可能用到的数学知识：一组数列a1，a2⋯⋯an，若从第二项起，每一项与其前一项的比值等于同一常数q（0<q<1），该种数列称为递缩等比数列。n个这样的数求和公式为，当n→∞时， 【巩固提高2】（24-25高一下·江西·期末）如图为某包裹传送系统的结构简图，质量的包裹(看作质点)从平台 AB 上的右侧B 处以初速度 (大小未知)水平向右抛出，恰好以 的速度从 C 点沿切线方向进入圆心角为α(大小未知)、半径的竖直、固定光滑圆弧轨道内侧做圆周运动，然后从圆弧轨道最低点 D以 的速度水平滑上等高且初始静止在水平地面的长木板上。在长木板未到达等高平台P前，包裹滑到长木板右端时恰好和长木板共速，长木板与平台P 相碰时被立即锁定，包裹滑上平台P。已知长木板的质量 ，长木板与包裹、地面间的动摩擦因数分别是0.5、0.1，重力加速度大小取 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，求： (1)包裹运动到D 点时，对圆弧轨道压力 的大小； (2)圆心角α的余弦值cosα及初速度 的大小； (3)①包裹和长木板间摩擦产生的热量Q； ②为了实现题干中的传送过程，初始时长木板的右端离平台P 左侧的距离s满足什么条件? 知识点三、动能定理与图像的综合运用 【课标要求】掌握动能定理与图像结合问题的分析方法，能从图像中提取关键做功与动能变化信息，解决相关问题。 1. 解决物理图像问题的基本步骤 观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量 根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式 将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量 2. 四类图像围成面积的含义 v-t图像 由公式x=vt，可知，v-t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移 a-t图像 由公式 △v=at，可知，a-t 图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量 F-x图像 由公式 W=Fx，可知，F-x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功 P-t图像 由公式W=Pt可知，P-t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功 【典例破题7】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图甲所示，长为的水平轨道与一粗糙的竖直半圆轨道在处平滑连接，点在点的正上方，有一质量为的滑块在水平外力的作用下从处由静止开始向右运动，水平力的变化与滑块位移的关系图像如图乙所示，滑块到达点时撤去外力。已知滑块与轨道间的动摩擦因数，滑块可视为质点，取，规定水平向右为力的正方向。 (1)求滑块到达点时的速度大小； (2)若滑块进入半圆轨道后恰能运动到半圆轨道的最高点点，已知上滑过程中因摩擦产生的热量为，求半圆轨道的半径大小。 【归纳总结】解决动能定理与图像的综合问题，核心就是先通过图像面积确定对应过程的总功，再结合动能变化列方程求解，只要准确提取图像信息，就能快速理清过程、得到结果。 【巩固提高1】（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）（多选）如图甲所示，质量为8kg的物体受水平推力作用在水平面上由静止开始运动，推力随位移变化的关系如图乙所示，运动10m后撤去推力。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，已知停下时克服摩擦力做的功和推力做功相等，在物体运动的整个过程中（　　） A．推力对物体做的功为480J B．物体的位移为12m C．物体的加速度大小先减小后不变 D．物体在时速度最大 【巩固提高2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图1所示，质量为m的小物块静止于光滑水平面上坐标原点处，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时的动能为（　　） A．0 B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽淮北·期末）有一种地下铁路，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图所示。已知坡高为h，车辆的质量为m，重力加速度为g，车辆与路轨间的摩擦力为Ff，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南湘潭·期末）游乐园的过山车能在轨道上完成“翻滚”、“冲浪”等惊险动作，某游乐园轨道如图所示，一倾角为45°的直轨道AB、半径R=10m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC，C'E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离d=44m，过山车从斜面上的A点由静止释放，恰好经过D点做圆周运动，最后停在G点，已知过山车与AB、EF、FG轨道间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．A点离地面的高度h=40m B．过山车在D点的速度v=1m/s C．斜轨道EF间的长度l=10m D．减速直轨道FG长度x=40m 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图所示，一斜面与水平面平滑连接，斜面与水平面间的夹角为α。一滑块（可视为质点）从斜面上A点由静止释放，最终停止在水平面上的B点。滑块与斜面和水平面间的动摩擦因数均为μ，AB连线与水平面间的夹角为θ，不计空气阻力，则（　　） A．μ=tanθ B．μ=sinθ C．μ =tanα D．μ=sinα 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图所示，水平轨道AB与光滑四分之一圆弧BC平滑连接，圆弧半径R=1m，AB段的动摩擦因数μ与到A点的距离x成μ=0.2x的关系，AB长为L=4m。一质量为m=1kg的小滑块静止在A点，在水平恒定外力F=5N的作用下向右运动，到B点撤去恒力F，g取10m/s2。根据上述条件可判断（　　） A．在恒力F作用下，小滑块在AB段一直做加速直线运动 B．小滑块到B点时，对轨道压力大小为8N C．小滑块能到达C点 D．小滑块最终静止的位置距离B点为（）m 5．（24-25高一下·山东日照·期末）如图所示，一半径为R的半圆形粗糙轨道竖直固定放置，轨道两端等高。质量为m的可视为质点的小球自轨道左侧P点正上方H=1.5R处由静止释放，滑到最低点Q时，对轨道的压力为3mg，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点时的速度为 B．小球恰好能到达右侧圆心等高处 C．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为1.5mgR D．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为0.5mgR 6．（22-23高二下·湖南衡阳·期末）如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数取，则该物体在0~4 m的运动过程中（　　）    A．摩擦力的功率一直增大 B．推力的功率一直增大 C．摩擦力做功为80 J D．推力做功为200 J 7．（2026·河南周口·三模）为了研究一种新型纳米材料在强电场下的特性，科学家设计了一个微观实验装置，该装置的核心由两个固定的、均匀的绝缘带电球壳构成。如图所示，两个球壳的半径分别为和，所带电荷量分别为和（），两球面内切于点，球心和的连线沿水平方向。一根内壁光滑的竖直绝缘细管穿过大球面的球心，与球面相交于、两点。现有一质量为、电荷量为（）的小球（视为质点）从点沿细管由静止开始下落，且会通过点。已知、两点间的距离和、两点间的距离均为，静电力常量为，重力加速度大小为，设无穷远处的电势为零，与电荷量为的点电荷相距为处的电势。下列说法正确的是（　　） A．小球在点的电势能为 B．小球通过点时的动能为 C．小球通过点时的速度大小为 D．小球运动到点正上方处时，小球的加速度大小为 二、多选题 8．（23-24高一下·湖南·阶段检测）某种儿童游戏机的简化示意图如图所示，光滑矩形游戏面板ABCD与水平面所成夹角，宽AB为0.75m，长BC为0.84m，斜面上端固定一个半径的四分之一粗糙圆弧轨道，分别与AB、BC相切于E、F点，弹珠枪位于A点，沿着AB边以初速度发射质量为0.04kg的弹珠，弹珠从E点进入圆弧轨道后恰好可以经过F点。已知重力加速度g取，，，下列说法中正确的是（    ） A．弹珠在F点的速度大小为1.2m/s B．弹珠经F点后恰好过D点 C．弹珠在E点受到圆轨道弹力的大小为1.32N D．弹珠在通过圆弧轨道过程中克服摩擦力做的功为0.2J 9．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图所示，内壁光滑、半径为的四分之三圆弧轨道或细圆管轨道固定在竖直平面内，是水平半径，是竖直半径，质量为的小球（视为质点）从A点正上方的点由静止释放，然后进入圆弧轨道或细圆管轨道，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若小球恰好能到达圆弧轨道的点，则P、B两点间的高度差为0 B．若小球恰好能到达细圆管轨道的点，则P、A两点间的高度差为 C．小球沿圆弧轨道运动并从点离开，此后可能到达A点 D．若小球离开细圆管轨道的点后正好到达A点，则小球在A点的动能为 10．（24-25高一下·辽宁·期末）在无限大的光滑水平面上，竖直固定一个光滑半圆弧，其半径，水平面与半圆弧相切于点，为半圆弧的直径。一个质量为的物块，由点以一定的初动能水平向右运动，滑上圆弧。已知间的距离为，重力加速度取，物块可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．若，则物块能通过最高点 B．若，则物块始终未脱离接触面 C．若物块能返回到出发点，则物块的初动能一定满足 D．若，则物块运动轨迹的最高点距离水平面的高度为 三、解答题 11．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示为一轨道模型图，由水平轨道、固定凹槽（足够长）、半圆轨道（是最高点，是最低点，在的正下方，且和间隙不计）组成，其中半圆轨道的半径大小可调，所有轨道及凹槽均光滑。长度的水平传送带与平滑衔接。质量的平板紧靠凹槽侧壁放置，平板上表面与平面齐平。质量的小滑块（可视为质点）被弹簧弹出后，滑上平板并恰好与平板相对静止一起运动，平板与侧璧CH相撞后将原速弹回。已知平面与水平地面高度差，传送带顺时针传送速度，滑块与平板和传送带之间的动摩擦因数均为，取重力加速度。 (1)调节半圆轨道的半径为，被弹出的滑块恰好能滑过凹槽，且恰好不脱离圆轨道，求： ①小滑块沿圆轨道滑过点时受到的支持力； ②平板的长度及弹簧释放的弹性势能； (2)在保持问（1）中其他条件不变的情形下，仅改变大小，滑块从飞出落至地面，水平位移为，求的最大值。 12．（25-26高一上·河南郑州·期末）如图所示，光滑斜面AB与水平粗糙传送带BC平滑连接，传送带以3m/s的速度顺时针转动，BC长。一物块由静止开始从斜面某处下滑，经过C点后水平抛出。物块落至水平地面D点时的速度大小为5m/s，方向与水平地面夹角53°。已知物块与传送带间的动摩擦因数，，，重力加速度大小g取，求： (1)物块从C点抛出至D点的水平位移大小； (2)当物块在斜面上下滑的高度H变化时，物块仍可以落至D点，求使物块仍落至D点的H的最大值； (3)若将物块在斜面上下滑的高度调整为，求物块落地时速度和水平地面的夹角。 13．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图所示，可视为质点的小滑块静止在水平轨道上的A点，在水平向右的恒定拉力F的作用下，从A点开始向右做匀加速直线运动，当其滑行到AB的中点时撤去拉力，滑块运动到B点后滑上与AB等高的水平传送带，滑块从传送带的最右端C点滑离后继续运动到D点后进入半径为且内壁光滑的竖直固定圆管轨道，滑块刚好能通过圆管轨道的最高点，在圆管轨道上运行一周后从E处的出口出来。已知滑块经过D点受到轨道的支持力大小为20N，传送带紧靠水平轨道且平滑连接，传送带以恒定的速度顺时针转动，水平轨道AB的长度为，CD的长度为，传送带BC的长度为，小滑块与水平轨道AB、水平轨道CD间的动摩擦因数均为，与传送带间的动摩擦因数，重力加速度的大小g取，圆管的内径大小相对于圆轨道半径R可以忽略。求： (1)小滑块的质量m； (2)恒定拉力F的最大值； (3)当恒定拉力F最大时，滑块在传送带上运动的时间t及传送带对滑块做的功W。 14．（25-26高一下·四川南充·期中）如图甲所示为一款轨道车玩具，轨道造型可以自由调节，将轨道简化为图乙所示模型：竖直圆周轨道与水平直轨道AM相切（B、D两切点略微错开），两个半径均为的六分之一圆弧轨道在处平滑连接，它们的圆心、和在一条直线上，现将质量为的小车从点以一定初速度释放，它恰好能通过圆周轨道的最高点，且。轨道MNP段对小车有磁吸力，磁吸力大小为小车重力的0.5倍（磁吸力始终垂直轨道面），忽略一切摩擦阻力，小车可视为质点，重力加速度。求： (1)竖直圆周轨道的半径； (2)小车经过圆周轨道最低点时对轨道的压力； (3)其他条件不变，仅调节MNP段轨道半径，让小车上滑过程不脱离轨道，求应满足的条件；并计算判断该条件下小车是否能够滑到P点。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 动能定理及其应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 动能的概念、表达式与标量特点 2. 动能定理内容、公式、物理意义与适用条件 3. 恒力、变力、多过程问题的动能定理应用 4. 全程法、分段法解题思路辨析 5. 动能定理结合机车启动、曲线运动、多过程综合计算 1. 动能概念、动能变化判断多以选择小题考查，侧重标量特性辨析 2. 动能定理基础计算为高频必考题型，适用范围广、解题简便 3. 变力做功、复杂多过程问题优先考查动能定理，规避复杂加速度分析 4. 常结合平抛、圆周、机车启动模型综合命题，作为解题核心工具 5. 计算题侧重全程整体思维，考查多过程能量变化与做功分析 考情解码：本专题是高中物理能量观的核心工具，承接功与功率，是解决复杂动力学问题的万能方法。动能基础概念难度低；单过程动能定理计算为中档必考；多过程、变力综合应用是试卷拉分重难点。命题场景丰富，涵盖直线运动、曲线运动、机车运动、斜面多过程等，常规避牛顿定律复杂运算，侧重简便解题思维。 脉｜络｜重｜构 考｜点｜精｜讲 知识点一、动能、动能定理的理解 【课标要求】熟记动能定理内容与公式，理解物理本质，明确适用条件。 1. 动能 （1）定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能； （2）表达式： （3）单位：焦耳，简称焦，符号是J （4）动能具有的特点 ①动能是标量，与速度的方向无关，不能合成或分解，且动能只有正值； ②动能具有瞬时性和相对性，这是由速度的瞬时性和相对性决定的，即动能与物体在任意时刻的速度是对应的，是一个状态量；对于同一个物体，在速度不变时，相对于不同的参考系其动能是不-样的。 2. 动能定理 （1）内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量． （2）表达式：W＝mv22－mv12＝Ek2－Ek1 （3）适用条件： ①既适用于直线运动，也适用于曲线运动； ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功； ③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用． （4）应用技巧：若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑． 角度1：应用动能定理的初步应用 【典例破题1】（25-26高一上·北京海淀·期末）功是能量转化的量度，研究力做功有非常重要的物理意义。 (1)如图，质量为m的物体以初速度v0滑上斜面（斜面足够长），上滑到最高点后又沿原路返回。已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h。求物体从开始滑上斜面到滑回到出发点的过程中，重力做功WG和摩擦力做功Wf以及物体返回到出发点时的动能Ek； (2)如图，某个力F作用于半径R的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，求转盘转动一周的过程中力F做的功WF； (3)如图所示，一个质量为m的小球用长为l的轻绳与一定点相连，在水平拉力F的作用下，从最低点A缓慢地移到B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ，求在这个过程中力F所做的功W。 【答案】(1)0，， (2) (3) 【详解】（1）物体的初末位置相同，位移为0，则重力做功 摩擦力做功 整个过程，根据动能定理可得 解得物体返回到出发点时的动能为 （2）根据微元法可得，转盘转动一周的过程中力F做的功 （3）根据动能定理可得， 所以 【归纳总结】解决这类变力做功与恒力做功问题，核心是紧扣功的定义和动能定理，结合不同力的做功特点分析： ① 重力做功只和初末位置的高度差有关，与路径无关，只要初末位置高度差为零，重力做功就为零；滑动摩擦力、空气阻力这类力的方向始终与运动方向相反，做功的大小等于力的大小乘以路程，和运动路径有关； ② 对于方向始终沿运动切线方向、大小不变的力做功，可以用微元法，将整个运动过程分割成无数个微元段，每个微元段内可以把力看作恒力，总功就是每个微元段做功的和，最终可得总功为力乘以总路程； ③ 物体缓慢运动时动能变化为零，拉力这类变力做功可以借助动能定理，结合重力做功的特点进行求解，不需要直接对变力积分计算。 【巩固提高1】（24-25高一下·甘肃武威·期末）（多选）质量为m的物体，以的加速度由静止竖直向上做匀加速直线运动，上升高度为h的过程中，下面说法正确的是（　　） A．物体的重力势能减小了mgh B．物体的机械能增加了 C．物体的动能增加了 D．物体的机械能增加了 【答案】BC 【详解】A．上升高度为h的过程中，物体的重力势能增加了mgh，故A错误； C．根据动能定理可得，物体的动能增加了，故C正确； BD．物体的机械能增加了，故B正确，D错误。 故选BC。 【巩固提高2】游乐场中的过山车是一项富有刺激性的娱乐设施，一种弹射式过山车，其部分过程可抽象成如图所示模型：光滑水平轨道AB与固定在竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点平滑相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间导轨对它的支持力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C。已知重力加速度g。求： (1)物块在B点时的速度大小； (2)物块从B至C克服阻力做的功； (3)物块离开C点后落回水平面时的动能。 【答案】(1) (2)0.5mgR (3)2.5mgR 【详解】（1）设物块在B点时的速度大小为，物块在B点，根据牛顿第二定律有 由题意可知它经过B点进入导轨瞬间导轨对它的支持力 联立解得 （2）设物块从B至C克服阻力做的功为，由于物块恰能到达最高点C，则在C点有 解得 从A到B，由动能定理有 联立解得 （3）设物块离开C点后落回水平面时的动能为，根据动能定理有 联立解得 角度2：应用动能定理求变力做功 【典例破题2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，在倾角为的粗糙斜面上，一轻绳一端固定于点，另一端连接一个质量为的小球，初始时，轻绳水平伸直且没有拉力，小球由静止释放，摆到最低点时速度大小为。已知轻绳的长度为，重力加速度为，空气阻力不计。在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在最低点处受到的合力大小为 B．重力对小球做的功为 C．摩擦力对小球做的功为 D．小球在最低点时，轻绳对小球的拉力大小为 【答案】D 【详解】A．小球在最低点时受力分析可知，由牛顿第二定律沿斜面向上合力 又摩擦力与速度方向相反，故小球所受合力，故A错误； B．由动能定理有 解得，故B错误； C．由动能定理有 解得，故C错误； D．小球在最低点时由牛顿第二定律可知 解得，故D正确。 故选D。 【归纳总结】对于重力做功这类问题，首先找准初末位置的高度差即可直接得到重力做功的大小，再结合动能定理就能方便求解未知力做功，无需对过程中的变力进行复杂分析，当题目涉及圆周运动某点的受力或速度分析时，要结合牛顿第二定律先得到该点的速度，再结合动能定理求解整个过程的功，理清过程、选对定理就能快速解决问题。 【巩固提高1】（24-25高一下·福建泉州·阶段检测）（多选）如图甲，极限铁笼飞车表演是用摩托车进行的特技表演。如图乙，一表演者和摩托车在竖直面内运动的简化图，人与车的总质量为，表演者骑摩托车在半径为的圆形铁笼内以速度大小做匀速圆周运动，设铁笼对摩托车的阻力与车对铁笼的压力成正比，即，重力加速度为，表演者和摩托车可视为质点，则其（　　） A．在最低点对铁笼的压力为 B．从最低点到最高点过程中机械能增加了 C．从最低点到最高点过程中克服阻力做的功为 D．从最低点到最高点过程中摩托车牵引力做的功为 【答案】BC 【详解】A．在最低点，由向心力公式 得 根据牛顿第三定律，对铁笼压力大于，A错误； B．从最低点到最高点，动能不变（匀速），重力势能增加2mgR，机械能增加量等于重力势能增加量，为2mgR，B正确； C．设表演者和摩托车从最低点逆时针做匀速圆周运动，把右边半个圆弧n等分，即每一小段的长为，在右侧圆周下半部分任取一小段圆弧A，如图 则 同理，在右侧圆周上半部分与A对称位置B有 根据对称性可知，在上半圆与下半圆对称点附近很小一段圆弧上的阻力做的功之和为 所以表演者和摩托车从最低点到最高点过程中克服阻力做的功为，C正确； D．根据能量守恒定律可知，从最低点到最高点过程中摩托车牵引力做的功为 可得，D错误。 故选BC。 【巩固提高2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）（多选）如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到水平拉力的作用，A、B间的摩擦力和B与地面间的摩擦力随水平拉力变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量，重力加速度大小，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．前2s内，B所受合外力的冲量大小 B．前6s内，A、B系统所受的合外力冲量大小 C．前6s内，外力做功 D．末，A的速度大小 【答案】BD 【详解】A．当0<F<4N时，根据图像可知，还未到达B与地面间的最大静摩擦力，此时A、B保持静止，B所受合外力的冲量大小I=0，故A错误； B．前6s内，A、B系统所受的合外力为（N） 冲量，故B正确； C．拉力F=12N时，对AB整体，由牛顿第二定律可得 对A有 联立解得，mB=1kg 前6s内，根据动量定理可得 解得 v=4m/s 所以前6s内，根据动能定理可知合力做功为 因为还有摩擦力做负功，所以外力F做功要大于32J，故C错误； D．由C可知，在t=6s末，A的速度大小为vA=4m/s，故D正确。 故选BD。 知识点二、动能定理解决多过程问题 【课标要求】掌握多过程问题的分析方法，能灵活选用分段法、全程法运用动能定理求解相关问题。 1．解题的基本思路 （1）选取研究对象，明确它的运动过程； （2）分析受力情况和各力的做功情况； （3）明确研究对象在过程的初末状态的动能Ek1和Ek2； （4）列动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解． 角度1：应用动能定理解决平抛运动问题 【典例破题3】（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线拴接，使物块静止在O点。水平台面右侧有一圆心角为的光滑圆弧轨道AB和光滑圆形轨道CD，固定在粗糙的水平地面上，半径均为R且两轨道分别与水平面相切于B、C两点。现剪断细线，弹簧恢复原长后与物块脱离，脱离时物块的速度，物块离开水平台面后恰好无碰撞地从A点落入圆弧轨道，运动至B点后（在B点无能量损失）沿粗糙的水平面BC运动，从C点进入光滑竖直圆轨道。已知，BC距离，，，。 (1)求水平台面的高度h； (2)求物块经过B点时对圆弧轨道的压力大小； (3)为了让物块能从C点进入圆轨道且中途不脱离轨道，则B、C间的摩擦因数μ应满足什么条件？ 【答案】(1)0.55m (2)128N (3)或 【详解】（1）剪断细线，物块离开水平台面后恰好无碰撞地从A点落入光滑圆弧轨道上，则有 解得 则台面到A点的高度为 代入数值得 水平台面的高度为 代入数值得 （2）物块从离开水平台面到经过B点过程，根据动能定理可得 解得 物块经过B点时，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知，物块经过B点时对圆轨道的压力大小 （3）设物体刚好能到达C点，从B到C的过程，根据动能定理可得 解得 从B到C后刚好到达圆心等高处，根据动能定理可得 解得 恰好经过最高点D，根据牛顿第二定律 从B到C后刚好到最高点D，根据动能定理可得 联立解得 为了让物块能从C点进入圆轨道且不脱离轨道，则B、C间的摩擦因数应满足或 【归纳总结】解决这类动能定理综合应用问题，首先要明确运动过程，准确分析每个过程的受力和做功情况，优先选择动能定理对初末状态列式计算，涉及圆周轨道上的作用力分析时，要在对应位置结合牛顿第二定律求解，同时注意临界条件的梳理：如不脱离竖直圆轨道有刚好到达圆心等高处和刚好通过最高点两种临界情况，分类讨论后结合动能定理就能得到正确范围。 【巩固提高1】（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，从点以某一水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好沿切线方向进入的固定光滑圆弧轨道，经圆弧轨道后滑上与点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道端的切线水平。已知长木板的质量，、两点距点的高度分别为、、，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，，，。求： (1)小物块在点时的速度大小； (2)小物块滑至点时的速度大小和圆弧轨道对小物块的支持力大小； (3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）从A点到B点，小物块做平抛运动，竖直方向有 解得 则小物块到达B点时竖直分速度为 物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道，则有 解得 小物块在B点时的速度大小 （2）小物块从A点至C点，由动能定理可得 解得 在C点，根据牛顿第二定律得 解得 （3）小物块与长木板间的滑动摩擦力 长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，为 由于，可知小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动，小物块在长木板上做减速运动，加速度大小为 根据运动学公式可得 为了保证小物块不滑出长木板，长木板的长度至少为 【巩固提高2】滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，段的圆心为O点，圆心角为，半径与水平轨道垂直，水平轨道段粗糙且长，一运动员从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道，经轨道后冲上轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为，B、E两点与水平面的竖直高度分别为h和H，且，，。 (1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间； (2)求轨道段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力； (3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如果能，请求出回到B点时的速度大小；如果不能，则最后停在何处？ 【答案】(1)； (2)；，方向竖直向下 (3)不能，停在距离D点左侧处 【详解】（1）由题意根据几何关系可知 代入初速度解得 在B点竖直方向的速度 从A点到B点竖直方向自由落体，则有 解得 （2）由B点到E点，由动能定理可得 代入数据可得 由B点到C点，由动能定理可得 在C点由牛顿第二定律知 由几何知识可得 联立解得 根据牛顿第三定律可得滑板对轨道的压力，方向竖直向下 （3）运动员能到达左侧的最大高度为，从B点到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有 解得 所以第一次返回时，运动员不能回到B点，设运动员从B点运动到停止，在段的总路程为s，由动能定理可得 代入数据解得 因为，所以运动员最后停在距离D点左侧处 角度2：利用动能定理解决圆周运动问题 【典例破题4】（24-25高一下·甘肃平凉·期末）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直于轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m＝0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R＝0.15 m，轨道AB长度lAB＝3 m，，。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放（g＝10 m/s2）。 (1)若释放点距B点的长度l＝0.7 m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小； (2)设释放点距B点的长度为lx，滑块第一次经过F点时的速度v与lx之间的关系式及滑块第一次经过F点时的速度v的取值范围。 【答案】(1)7N (2)（m/s）（）， 【详解】（1）滑块运动到C点过程，由动能定理 经过C点时 解得 （2）从释放点点到F点的过程中，由动能定理 解得（m/s） 而要保证滑块能到达F点，必须保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能定理 解得 则要保证小球能到F点，应使，代入（m/s） 解得 【归纳总结】解决动能定理与圆周运动、板块模型、多过程运动结合的综合问题，核心是分阶段明确受力与运动性质，找准过程的初末状态，优先选择动能定理处理变力做功、多过程的速度关系，再结合牛顿运动定律、运动学公式求解对应问题。分析问题时要注意：一是圆周运动最高点的临界条件，不同轨道类型临界条件不同，轻绳轨道最高点临界速度满足向心力由重力提供，而圆管轨道最高点临界速度可以为零，要注意区分；二是多过程往返运动问题，要利用动能定理处理总过程，简化计算，同时要注意摩擦力做功与路程相关；三是板块问题要先判断板块的运动状态，通过摩擦力大小的比较确认木板是否运动，再结合运动学规律求解相对位移得到板的最小长度。 【巩固提高1】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，在竖直面内，粗糙的斜面轨道的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.2m，现有一个质量m＝0.1kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好能到达斜面上A处。已知DE距离h＝0.6m，物体与斜面间的动摩擦因数。重力加速度。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求： (1)物体第一次到达C点时对轨道的压力大小； (2)斜面上A、B两点间的距离L； (3)物块在斜面上滑行的总路程s。 【答案】(1)9N (2)0.76m (3)1.9m 【详解】（1）设物体到达C点的速度为v，从E到C，由动能定理得 代入数据得v＝4m/s 在C点，有 代入数据得N＝9N 由牛顿第三定律，压力N'＝N，压力N'＝9N。 （2）从C到A，由动能定理得 代入数据得L＝0.76m （3）因为 所以物块到达A点但不能在斜面上静止，在斜面上多次往返，最后在OC左右两侧37°范围内往返运动，即最后B点速度为零，则有全程由能量守恒定律，可得 解得s＝1.9m 【巩固提高2】（24-25高一下·宁夏银川·期末）在学校组织的趣味运动会上，唐中“加速度社”为大家提供了一个游戏。如图所示，将一质量为0.1 kg的钢球放在O点，用弹射装置将其弹出，钢球沿着光滑的半圆形轨道OA和AB运动。BC段为一段长为L＝2.0 m的粗糙平面，DEFG为接球槽。半圆形轨道OA和AB的半径分别为r＝0.2 m、R＝0.4 m，小球与BC段的动摩擦因数为μ＝0.7，C点离接球槽的高度为h＝1.25 m，水平距离为x＝0.5 m，接球槽足够大，g取10 m/s2。求： (1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在A点的速度大小； (2)钢球恰好不脱离轨道时，在B位置对半圆形轨道的压力大小； (3)要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v0至少多大。 【答案】(1)2 m/s (2)6 N (3)m/s 【详解】（1）要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在最高点A时，对钢球分析有 解得vA＝2 m/s （2）钢球从A到B的过程由动能定理得mg·2R＝mvB2－mvA2 在B点有FN－mg＝m 解得FN＝6 N 根据牛顿第三定律，知钢球在B位置对半圆形轨道的压力大小为6 N。 （3）从C到D钢球做平抛运动，要使钢球恰好能落入槽中，则x＝vCt，h＝gt2 解得vC＝1 m/s 假设钢球在A点的速度恰为vA＝2 m/s时，钢球可运动到C点，且速度为vC′，从A到C由动能定理得mg·2R－μmgL＝mvC′2－mvA2 解得vC′2<0 故当钢球在A点的速度恰为vA＝2 m/s时，钢球不可能到达C点，更不可能入槽，要使钢球最终能落入槽中，需要更大的弹射速度，才能使钢球既不脱离轨道，又能落入槽中。当钢球到达C点速度为vC时，v0有最小值，从O到C由动能定理得mgR－μmgL＝mvC2－mv02 解得v0＝m/s 角度3：应用动能定理解决传送带问题 【典例破题5】（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的出入口靠近且相互错开，现将一质量的滑块从AB轨道上距水平轨道高度处由静止释放、经圆轨道、水平轨道、水平传送带，从E点抛出。已知圆轨道半径，水平轨道BD的长度，传送带长度，以恒定速度逆时针转动，滑块与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为，不考虑传送带轮的半径对运动的影响，重力加速度，求滑块： (1)运动至C点时对圆弧轨道压力的大小； (2)从释放到飞出传送带的过程中，摩擦产生的热量Q。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）滑块由释放到C点，据机械能守恒定律 在C点，据牛顿第二定律 解得 据牛顿第三定律，滑块对圆弧轨道的压力 （2）滑块从释放到传送带左端，根据动能定理有 根据牛顿第二定律有 根据速度与位移的关系有 根据平均速度规律有 传送带位移 相对位移 摩擦产生的热量 解得 【归纳总结】滑块在传送带上运动产生热量的计算，核心是明确摩擦力做功过程中产生的热量等于滑动摩擦力大小与滑块和传送带相对路程的乘积，需要注意：一是要先通过运动学公式计算滑块到达传送带时的速度，判断滑块在传送带上的运动性质，确认滑块到达传送带另一端时的速度；二是要注意传送带本身有运动，不是静止的，滑块的位移和传送带的位移都要分别计算，相对位移是两者对地位移的差值，与运动方向有关，计算时注意相对位移一定是路程差，热量计算使用滑动摩擦力乘以相对路程即可。 【巩固提高1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE各部分平滑连接，水平区域FG足够长，圆轨道最低点B处的入、出口靠近但相互错开。现将一质量为m＝0.5kg的滑块从AB轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径R＝0.8m，水平面BD的长度，传送带长度，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道BD和传送带间的动摩擦因数均为，传送带以恒定速度逆时针转动（不考虑传送带轮的半径对运动的影响）。 (1)若h＝1.6m，则滑块运动至B点时对圆弧轨道的压力； (2)若滑块不脱离圆轨道且从E点飞出，求滑块释放点高度h的取值范围； (3)当h＝3.4m时，计算滑块从释放到飞出传送带的过程中，因摩擦产生的热量Q是多少。 【答案】(1)25N，竖直向下 (2) (3)14J 【详解】（1）若h＝1.6m，则滑块运动至B点时，由动能定理可得 由牛顿第二定律可得 解得F＝25N 由牛顿第三定律可知，滑块运动至B点时对圆弧轨道的压力为25N，方向竖直向下。 （2）若滑块恰好能过C点，则C点时有 从A到C，根据动能定理有 解得 要使滑块恰能运动到E点，则滑块到E点的速度，从A到E，根据动能定理有 解得 显然，若滑块不脱离圆弧轨道且从E点飞出，则滑块释放点的高度 （3）从A到D点根据动能定理 解得 从A到E点根据动能定理 可得 又 则t＝1s 根据， 则 由功能关系 解得Q＝14J 【巩固提高2】（24-25高一下·四川广安·期末）如图所示，粗糙斜面固定在水平台面边缘，底端恰好与水平传送带左端平滑连接，传送带右端与光滑的竖直四分之一圆弧轨道在N点平滑相切，并且传送带上表面恰好是切线。斜面的高度为，与水平地面的夹角大小为，圆弧半径，OM是水平半径，ON为竖直半径；传送带始终以速度顺时针运动。现将质量为的物体B静止于斜面的底端，质量为的物体A从斜面顶端由静止开始下滑，到达斜面底端时与物体B发生正碰并粘在一起组成物体C，然后冲上传送带，最后刚好到达圆弧上的P点，且OP与竖直方向的夹角大小为。已知物体A与斜面的动摩擦因数为，物体C与传送带的动摩擦因数为，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度大小，计算中取，，求： (1)物体A到达斜面底端时的速度大小； (2)传送带的长度l； (3)设物体A、B质量之比为。要使物体C在传送带上做减速运动，而且不脱离圆弧轨道，求k的取值范围（计算结果保留3位有效数字）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设斜面的长度为，对物体A在斜面上运动由动能定理得 其中 解得： （2）设物体A与物体B碰后的速度大小为，到达传送带右端时的速度大小为，碰撞过程中由动量守恒定律有 得 从传送带右端到P点过程由机械能守恒定律有 得： 在传送带上运动时由动能定理有 得： （3）①当物体C到达传送带右端时，速度为时不会脱离轨道 由动能定理有 得： 对物体A、B碰撞时由动量守恒定律有 得： ②当物体C刚好能滑到M点时速度为时不会脱离轨道 在圆弧上运动由动能定理有 得： 在传送带上运动有动能定理有 得： 同理： 得： 即： 角度4：应用动能定理解决板块问题 【典例破题6】（24-25高一下·山东德州·期末）某兴趣小组设计了一个游戏装置，如图所示。它由足够长的倾角轨道、水平轨道和、半径的竖直螺旋圆形轨道、上端与轨道相平的6个紧密排列的相同木块组成。圆形轨道上的点与圆心等高，为轨道最高点，轨道和等高平行。一质量的滑块在轨道上某高度处由静止释放，通过水平轨道进入圆形轨道，完成圆周运动后滑上并排的木块。每个木块的质量，宽度，滑块与木块上表面的动摩擦因数，木块下表面与地面的动摩擦因数为。若滑块可看作质点，各轨道均光滑，轨道间平滑连接，不计水平轨道与木块间的间隙，重力加速度。求： (1)若滑块恰好能通过圆形轨道，滑块释放时距水平轨道的高度； (2)若滑块从高度处由静止释放，滑块运动到点时对轨道压力的大小； (3)若滑块恰好能滑到木块5的最右端，则滑块由静止释放时的高度。 【答案】(1)0.25m (2)4N (3)0.41m 【详解】（1）最高点P，由牛顿第二定律满足 根据动能定理 得h=0.25m （2）滑块运动到D点过程根据动能定理 在D点 由牛顿第三定律 （3）木块所受水平向右的摩擦力为 滑块向左的加速度 木块下表面所受水平向左的摩擦力为 滑块在木块1-4滑动时木块保持静止，滑到木块5上时，木块5和6开始向右做匀加速直线运动，此时木块下表面所受水平向左的摩擦力大小为 木块5和6向右的加速度为 滑块滑过第4块木块后速度为，滑块滑上木块5到共速过程时间为，则 ， 联立得， 滑块从滑上木块1开始到滑过木块4的过程根据动能定理 得 滑块从静止释放到滑上木块1的过程根据动能定理 得 【归纳总结】解决圆周运动、碰撞摩擦与传送带结合的动力学问题时，核心是分过程选取合适的物理规律：碰撞过程动量守恒，光滑轨道运动机械能守恒，传送带和粗糙面运动结合动能定理分析做功与速度变化，处理不脱离轨道问题时要注意分类讨论临界情况，抓住临界速度条件求解质量或长度等物理量。 【巩固提高1】（24-25高一下·重庆·期末）如图所示，长为L、质量为的木板A静止放在光滑的水平面上，A的左端紧靠光滑固定曲面，曲面底端切线与A上表面重合，A右端足够远处有一与A等高的平台，平台上MN之间是一个宽度为的特殊区域，只要物体进入MN之间（含边界MN）就会受到一个方向向右、大小为F=mg的作用力，平台除MN之间粗糙外，其余部分光滑，MN的右侧某处安装有一特殊的弹射装置。质量为m的小滑块B从曲面上距底端高为处由静止释放，B滑上A后，先与A达到共速，之后A与平台接触时会立刻被粘住。当B到达弹射装置的速度不小于时可通过弹射装置，速度小于时被反弹，反弹后的动能为反弹前的k倍（0<k<1）。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g。 (1)求B与A相对静止时的速度v； (2)若B滑上平台后在MN间通过的路程为，求B与MN之间的动摩擦因数μ1（μ1<1）的最大值； (3)若B与MN之间的动摩擦因数，试讨论B滑上平台后在MN间通过的路程。 （可能用到的数学知识：一组数列a1，a2⋯⋯an，若从第二项起，每一项与其前一项的比值等于同一常数q（0<q<1），该种数列称为递缩等比数列。n个这样的数求和公式为，当n→∞时， 【答案】(1) (2)0.25 (3)当时，s1=L；当时， 【详解】（1）设B滑到曲面底端时速度为v0，B在曲面上，由动能定理有 B在A上滑动时，由动量守恒定律，有 联立解得 （2）设B与A共速时相对位移为x，由功能关系，有 解得x=L B恰好到A右端时二者共速，即B滑上平台时速度为v。第一次过N点后B恰好能通过弹射装置时μ1有最大值，由动能定理，有 解得μ1=0.25 （3）由可知B在弹射装置处反弹。设B第一次到达N时速度为v1，由动能定理有 解得 反弹后，设k=k1时，B恰好回到M点。B在从N到M过程中，由动能定理有 解得 ①当时，B第一次反弹后从M点左侧离开MN区域，B在MN间通过的路程为s1=L ②当时，B不能从MN左侧离开。设B第1次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为x1，由动能定理，有 解得 由F>μ2mg可知，B不能在MN之间静止。 设B第1次反弹后从N离开的速度为v2，由动能定理，有 设第2次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为x2，由动能定理，有 解得 设第2次反弹后从N离开的速度为v3，由动能定理，有 设第3次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为x3，由动能定理有 解得 由上可知：B第n次反弹后在MN中向左运动的最大位移为 B在MN间路程 【巩固提高2】（24-25高一下·江西·期末）如图为某包裹传送系统的结构简图，质量的包裹(看作质点)从平台 AB 上的右侧B 处以初速度 (大小未知)水平向右抛出，恰好以 的速度从 C 点沿切线方向进入圆心角为α(大小未知)、半径的竖直、固定光滑圆弧轨道内侧做圆周运动，然后从圆弧轨道最低点 D以 的速度水平滑上等高且初始静止在水平地面的长木板上。在长木板未到达等高平台P前，包裹滑到长木板右端时恰好和长木板共速，长木板与平台P 相碰时被立即锁定，包裹滑上平台P。已知长木板的质量 ，长木板与包裹、地面间的动摩擦因数分别是0.5、0.1，重力加速度大小取 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，求： (1)包裹运动到D 点时，对圆弧轨道压力 的大小； (2)圆心角α的余弦值cosα及初速度 的大小； (3)①包裹和长木板间摩擦产生的热量Q； ②为了实现题干中的传送过程，初始时长木板的右端离平台P 左侧的距离s满足什么条件? 【答案】(1)46N (2)0.45；2.25m/s (3)①15J，② 【详解】（1）包裹在D点，由牛顿第二定律 由牛顿第三定律 （2）包裹从C到D过程由动能定理 解得cosα=0.45 包裹离开B点后做平抛运动，在C点根据运动的分解可知 解得 （3）①包裹滑上长木板后，对包裹根据牛顿第二定律 对长木板 设经过时间t1共速，则 共同速度 解得t1=1s，v2=1m/s 设包裹，长木板的位移分别为xm、xM，则， 包裹与长木板摩擦生热 解得Q=15J ②包裹与长木板共速后，一起匀减速运动，则 再根据 解得 为了实现题干中的传递过程，则 即 知识点三、动能定理与图像的综合运用 【课标要求】掌握动能定理与图像结合问题的分析方法，能从图像中提取关键做功与动能变化信息，解决相关问题。 1. 解决物理图像问题的基本步骤 观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量 根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式 将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量 2. 四类图像围成面积的含义 v-t图像 由公式x=vt，可知，v-t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移 a-t图像 由公式 △v=at，可知，a-t 图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量 F-x图像 由公式 W=Fx，可知，F-x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功 P-t图像 由公式W=Pt可知，P-t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功 【典例破题7】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图甲所示，长为的水平轨道与一粗糙的竖直半圆轨道在处平滑连接，点在点的正上方，有一质量为的滑块在水平外力的作用下从处由静止开始向右运动，水平力的变化与滑块位移的关系图像如图乙所示，滑块到达点时撤去外力。已知滑块与轨道间的动摩擦因数，滑块可视为质点，取，规定水平向右为力的正方向。 (1)求滑块到达点时的速度大小； (2)若滑块进入半圆轨道后恰能运动到半圆轨道的最高点点，已知上滑过程中因摩擦产生的热量为，求半圆轨道的半径大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）图像的面积表示力做的功，可得外力做功为 根据动能定理有 解得 （2）恰能运动到半圆轨道的最高点点，根据牛顿第二定律有 对B到C的过程，根据能量守恒有 联立可得 【归纳总结】解决动能定理与图像的综合问题，核心就是先通过图像面积确定对应过程的总功，再结合动能变化列方程求解，只要准确提取图像信息，就能快速理清过程、得到结果。 【巩固提高1】（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）（多选）如图甲所示，质量为8kg的物体受水平推力作用在水平面上由静止开始运动，推力随位移变化的关系如图乙所示，运动10m后撤去推力。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，已知停下时克服摩擦力做的功和推力做功相等，在物体运动的整个过程中（　　） A．推力对物体做的功为480J B．物体的位移为12m C．物体的加速度大小先减小后不变 D．物体在时速度最大 【答案】AB 【详解】A．图乙中四边形的面积表示推力对物体做的功为,故A正确； B．物体受水平推力作用从静止到静止，由动能定理 解得，故B正确； CD．因,当水平推力时，即物体在时，其加速度为零，速度最大，又 知在，加速度恒定；在，加速度减小；在，加速度向左且增大，故CD错误。 故选AB。 【巩固提高2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图1所示，质量为m的小物块静止于光滑水平面上坐标原点处，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时的动能为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由图像与横轴围成的面积表示做功的大小，由图2可知，小物块运动到x0处时，根据动能定理可得 故选C。 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽淮北·期末）有一种地下铁路，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图所示。已知坡高为h，车辆的质量为m，重力加速度为g，车辆与路轨间的摩擦力为Ff，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】车辆从A运动到B的过程中，由动能定理得 解得克服摩擦力做的功为 故选B。 2．（24-25高一下·湖南湘潭·期末）游乐园的过山车能在轨道上完成“翻滚”、“冲浪”等惊险动作，某游乐园轨道如图所示，一倾角为45°的直轨道AB、半径R=10m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC，C'E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离d=44m，过山车从斜面上的A点由静止释放，恰好经过D点做圆周运动，最后停在G点，已知过山车与AB、EF、FG轨道间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．A点离地面的高度h=40m B．过山车在D点的速度v=1m/s C．斜轨道EF间的长度l=10m D．减速直轨道FG长度x=40m 【答案】D 【详解】AB．过山车恰好到达D点，由重力提供向心力可得 解得 从A到D，由动能定理 代入数据可得，故AB错误； CD．过山车从A到达G点，由动能定理可得， 代入数据可得，，故C错误，D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图所示，一斜面与水平面平滑连接，斜面与水平面间的夹角为α。一滑块（可视为质点）从斜面上A点由静止释放，最终停止在水平面上的B点。滑块与斜面和水平面间的动摩擦因数均为μ，AB连线与水平面间的夹角为θ，不计空气阻力，则（　　） A．μ=tanθ B．μ=sinθ C．μ =tanα D．μ=sinα 【答案】A 【详解】设斜面长为，水平面长为，释放点距离水平面高度为h，对滑块，由动能定理有 整理得 几何关系可知 联立解得 故选A。 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图所示，水平轨道AB与光滑四分之一圆弧BC平滑连接，圆弧半径R=1m，AB段的动摩擦因数μ与到A点的距离x成μ=0.2x的关系，AB长为L=4m。一质量为m=1kg的小滑块静止在A点，在水平恒定外力F=5N的作用下向右运动，到B点撤去恒力F，g取10m/s2。根据上述条件可判断（　　） A．在恒力F作用下，小滑块在AB段一直做加速直线运动 B．小滑块到B点时，对轨道压力大小为8N C．小滑块能到达C点 D．小滑块最终静止的位置距离B点为（）m 【答案】D 【详解】A．小滑块在AB段摩擦力，摩擦力最大值为，恒定外力F=5N，故小滑块先加速，后做减速运动，故A错误； B．摩擦力做功， 根据动能定理 解得，故在B点，由向心力公式 故小滑块到B点时，对轨道压力大小为，故B错误； C．因为小于，故小滑块不能到达C点，故C错误； D．设最终静止时，距离A为x，根据动能定理，返回过程克服摩擦力做功等于小滑块损失的动能，即，解得 故距离B点为，故D正确。 故选D。 5．（24-25高一下·山东日照·期末）如图所示，一半径为R的半圆形粗糙轨道竖直固定放置，轨道两端等高。质量为m的可视为质点的小球自轨道左侧P点正上方H=1.5R处由静止释放，滑到最低点Q时，对轨道的压力为3mg，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点时的速度为 B．小球恰好能到达右侧圆心等高处 C．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为1.5mgR D．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为0.5mgR 【答案】C 【详解】A．小球到达Q点时的速度为 解得，A错误； CD．根据动能定理得 解得，C正确，D错误； B．若轨道右侧光滑，根据机械能守恒定律得 解得 若轨道右侧光滑，小球恰好能到达右侧圆心等高处。因为轨道右侧不光滑，小球一定不能到达右侧圆心等高处，B错误。 故选C。 6．（22-23高二下·湖南衡阳·期末）如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数取，则该物体在0~4 m的运动过程中（　　）    A．摩擦力的功率一直增大 B．推力的功率一直增大 C．摩擦力做功为80 J D．推力做功为200 J 【答案】D 【详解】A．滑动摩擦力 当推力大于摩擦力时，物体做加速运动，当推力小于摩擦力时，物体做减速运动，又摩擦力大小恒定，故该物体在的运动过程中，摩擦力的功率先增大后减小，故A错误； B．由题图乙可知，推力大小一直减小，当推力等于摩擦力时，物体速度达到最大，此后物体速度减小，则推力的功率也减小，故B错误； C．摩擦力做功 故C错误； D．图像中图线与x轴所围的面积表示推力做的功，故推力做的功 故D正确。 故选D。 7．（2026·河南周口·三模）为了研究一种新型纳米材料在强电场下的特性，科学家设计了一个微观实验装置，该装置的核心由两个固定的、均匀的绝缘带电球壳构成。如图所示，两个球壳的半径分别为和，所带电荷量分别为和（），两球面内切于点，球心和的连线沿水平方向。一根内壁光滑的竖直绝缘细管穿过大球面的球心，与球面相交于、两点。现有一质量为、电荷量为（）的小球（视为质点）从点沿细管由静止开始下落，且会通过点。已知、两点间的距离和、两点间的距离均为，静电力常量为，重力加速度大小为，设无穷远处的电势为零，与电荷量为的点电荷相距为处的电势。下列说法正确的是（　　） A．小球在点的电势能为 B．小球通过点时的动能为 C．小球通过点时的速度大小为 D．小球运动到点正上方处时，小球的加速度大小为 【答案】B 【详解】A．均匀带电绝缘球壳内部电场强度为0，电势等于球表面电势；球壳外部等效于电荷集中在球心的点电荷。两球内切，由几何关系可得球心距离 A点在O点上方处，A点到点的距离 A点在大球外，则大球在A点的电势 A点在小球外，则小球在A点的电势 总电势 电势能，故A错误； B．O点在大球内部，则 O点在小球外，则 总电势 电场力做功 从A点到O点，由动能定理有 解得，故B正确； C．D点在O点下方处，几何对称得 可得 所以电场力总做功为0，由动能定理有 解得，故C错误； D．设O点正上方处为P点，大球内部电场为0，仅小球产生电场，P点到点的距离 电场大小 竖直分量 正电荷受向下电场力 由牛顿第二定律有 解得，故D错误。 故选B。 二、多选题 8．（23-24高一下·湖南·阶段检测）某种儿童游戏机的简化示意图如图所示，光滑矩形游戏面板ABCD与水平面所成夹角，宽AB为0.75m，长BC为0.84m，斜面上端固定一个半径的四分之一粗糙圆弧轨道，分别与AB、BC相切于E、F点，弹珠枪位于A点，沿着AB边以初速度发射质量为0.04kg的弹珠，弹珠从E点进入圆弧轨道后恰好可以经过F点。已知重力加速度g取，，，下列说法中正确的是（    ） A．弹珠在F点的速度大小为1.2m/s B．弹珠经F点后恰好过D点 C．弹珠在E点受到圆轨道弹力的大小为1.32N D．弹珠在通过圆弧轨道过程中克服摩擦力做的功为0.2J 【答案】AB 【详解】A．弹珠从E点进入圆弧轨道后恰好可以经过F点，可知 解得 选项A正确； B．从F点水平射出回到斜面底端时用时间 则水平位移 可知弹珠经F点后恰好过D点，选项B正确； C．从A点到E点的速度 弹珠在E点受到圆轨道弹力的大小为 解得 FNE=1.65N 选项C错误； D．弹珠在通过圆弧轨道过程中克服摩擦力做的功为 选项D错误。 故选AB。 9．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图所示，内壁光滑、半径为的四分之三圆弧轨道或细圆管轨道固定在竖直平面内，是水平半径，是竖直半径，质量为的小球（视为质点）从A点正上方的点由静止释放，然后进入圆弧轨道或细圆管轨道，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若小球恰好能到达圆弧轨道的点，则P、B两点间的高度差为0 B．若小球恰好能到达细圆管轨道的点，则P、A两点间的高度差为 C．小球沿圆弧轨道运动并从点离开，此后可能到达A点 D．若小球离开细圆管轨道的点后正好到达A点，则小球在A点的动能为 【答案】BD 【详解】A．若小球能到达圆弧轨道的B点，则在B点根据牛顿第二定律有 解得 小球从P到B过程，根据动能定理有 解得，故A错误； B．若小球能到达细圆管轨道的B点，则在B点的速度为0，小球从P到B过程，根据动能定理有 可知，故B正确； C．若小球能离开圆弧轨道的B点，结合上述有 当时，若小球落到OA所在的水平面上，根据平抛运动的规律有， 解得 可知，小球不可能再回到A点，故C错误； D．若小球离开圆管轨道的B点后正好到达A点，设小球在B点的速度为，由平抛运动的规律有， 小球从B到A过程，根据动能定理有 解得，故D正确。 故选BD。 10．（24-25高一下·辽宁·期末）在无限大的光滑水平面上，竖直固定一个光滑半圆弧，其半径，水平面与半圆弧相切于点，为半圆弧的直径。一个质量为的物块，由点以一定的初动能水平向右运动，滑上圆弧。已知间的距离为，重力加速度取，物块可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．若，则物块能通过最高点 B．若，则物块始终未脱离接触面 C．若物块能返回到出发点，则物块的初动能一定满足 D．若，则物块运动轨迹的最高点距离水平面的高度为 【答案】ABD 【详解】A．若物块能够运动到半圆弧的最高点，由重力提供向心力有 解得 物块的机械能守恒，有 解得 则物块的初动能的范围是 A正确； B．若物块始终不脱离接触面，则物块的最高点在与圆心O等高的位置，有 初动能的范围为 B正确； C．根据B项的分析可知，时能够回到A点，若由最高点抛出后能够返回到A点同样满足题意要求，根据平抛运动规律有 水平方向 解得 此时刚好返回A点，C错误； D．若初动能为8J，则物块无法上升到最高点，在上升过程中从某一位置斜抛离开圆弧，设此时速度与水平方向的夹角为、大小为，如图所示 重力的分力提供向心力有 根据机械能守恒有 解得 根据数学知识得 物块将斜抛后达到运动轨迹最高点，将速度分解为竖直和水平方向，竖直方向根据运动学公式有 解得 总高度为 D正确。 故选ABD。 三、解答题 11．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示为一轨道模型图，由水平轨道、固定凹槽（足够长）、半圆轨道（是最高点，是最低点，在的正下方，且和间隙不计）组成，其中半圆轨道的半径大小可调，所有轨道及凹槽均光滑。长度的水平传送带与平滑衔接。质量的平板紧靠凹槽侧壁放置，平板上表面与平面齐平。质量的小滑块（可视为质点）被弹簧弹出后，滑上平板并恰好与平板相对静止一起运动，平板与侧璧CH相撞后将原速弹回。已知平面与水平地面高度差，传送带顺时针传送速度，滑块与平板和传送带之间的动摩擦因数均为，取重力加速度。 (1)调节半圆轨道的半径为，被弹出的滑块恰好能滑过凹槽，且恰好不脱离圆轨道，求： ①小滑块沿圆轨道滑过点时受到的支持力； ②平板的长度及弹簧释放的弹性势能； (2)在保持问（1）中其他条件不变的情形下，仅改变大小，滑块从飞出落至地面，水平位移为，求的最大值。 【答案】(1)①12N；②， (2)1.5m 【详解】（1）①设滑块经过D点的速度为，根据题意可得 解得 D到E过程由动能定理得 解得 在点有 解得 ②到达木板最右端时两物体共速，设木板长度为s，滑块滑上木板时速度为，共速时的速度为，即 由动量守恒定律得 解得 由能量守恒可得弹性势能为 由能量守恒得 解得 （2）在满足（1）条件下滑块在D点的速度为，所以D到F过程由动能定理得 从F点滑出后滑块做平抛运动，则， 联立可得 当时，x有最大值，即 12．（25-26高一上·河南郑州·期末）如图所示，光滑斜面AB与水平粗糙传送带BC平滑连接，传送带以3m/s的速度顺时针转动，BC长。一物块由静止开始从斜面某处下滑，经过C点后水平抛出。物块落至水平地面D点时的速度大小为5m/s，方向与水平地面夹角53°。已知物块与传送带间的动摩擦因数，，，重力加速度大小g取，求： (1)物块从C点抛出至D点的水平位移大小； (2)当物块在斜面上下滑的高度H变化时，物块仍可以落至D点，求使物块仍落至D点的H的最大值； (3)若将物块在斜面上下滑的高度调整为，求物块落地时速度和水平地面的夹角。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从C点抛出至D点的过程中，物块做平抛运动，物块落至水平地面D点时水平分速度大小为 竖直分速度大小为 则平抛的时间为 物块从C点抛出至D点的水平位移大小 （2）物块在C点时，由于 所以，当物块在传送带上一直减速，且物块最终恰好与传送带共速时，H的值最大，此时根据动能定理 解得 （3）若将物块在斜面上下滑的高度调整为 此时根据动能定理 解得 设物块落地时速度和水平地面的夹角为，则 解得 13．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图所示，可视为质点的小滑块静止在水平轨道上的A点，在水平向右的恒定拉力F的作用下，从A点开始向右做匀加速直线运动，当其滑行到AB的中点时撤去拉力，滑块运动到B点后滑上与AB等高的水平传送带，滑块从传送带的最右端C点滑离后继续运动到D点后进入半径为且内壁光滑的竖直固定圆管轨道，滑块刚好能通过圆管轨道的最高点，在圆管轨道上运行一周后从E处的出口出来。已知滑块经过D点受到轨道的支持力大小为20N，传送带紧靠水平轨道且平滑连接，传送带以恒定的速度顺时针转动，水平轨道AB的长度为，CD的长度为，传送带BC的长度为，小滑块与水平轨道AB、水平轨道CD间的动摩擦因数均为，与传送带间的动摩擦因数，重力加速度的大小g取，圆管的内径大小相对于圆轨道半径R可以忽略。求： (1)小滑块的质量m； (2)恒定拉力F的最大值； (3)当恒定拉力F最大时，滑块在传送带上运动的时间t及传送带对滑块做的功W。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）因滑块刚好能通过圆环管道的最高点，所以滑块到圆管道的最高点时速度为零； 滑块由点运动到圆管道最高点的过程，根据动能定理得 在点，根据牛顿第二定律可得 联立得小滑块的质量 （2）滑块由点运动到点的过程，有 解得 根据题意可知恒定拉力最大时，滑块运动到点时速度最大； 点的最大速度满足其在传送带上一直减速，有 解得 滑块由A点运动到B点的过程，根据动能定理得 解得 （3）当恒定拉力F最大时，滑块在传送带上运动的时间 传送带对滑块做的功 14．（25-26高一下·四川南充·期中）如图甲所示为一款轨道车玩具，轨道造型可以自由调节，将轨道简化为图乙所示模型：竖直圆周轨道与水平直轨道AM相切（B、D两切点略微错开），两个半径均为的六分之一圆弧轨道在处平滑连接，它们的圆心、和在一条直线上，现将质量为的小车从点以一定初速度释放，它恰好能通过圆周轨道的最高点，且。轨道MNP段对小车有磁吸力，磁吸力大小为小车重力的0.5倍（磁吸力始终垂直轨道面），忽略一切摩擦阻力，小车可视为质点，重力加速度。求： (1)竖直圆周轨道的半径； (2)小车经过圆周轨道最低点时对轨道的压力； (3)其他条件不变，仅调节MNP段轨道半径，让小车上滑过程不脱离轨道，求应满足的条件；并计算判断该条件下小车是否能够滑到P点。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3)，仅当时小车刚好能到达P点，时小车刚不能到达P点 【详解】（1）小车恰好通过最高点，由牛顿第二定律有     解得 （2）从点到点的过程中，只有重力做功，根据动能定理有     解得 在点由牛顿第二定律     解得 由牛顿第三定律得     方向竖直向下。 （3）小车在点时恰好不脱轨，则     小车由点到点，由动能定理有     其中 解得 所以小车不脱轨，的范围为     假设小车能从点到点，由动能定理得 因，解得 所以仅当时小车刚好能到达P点，时小车刚不能到达P点。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $