专题06直线与圆的位置关系暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题06直线与圆的位置关系暑假预习讲义 1.知识层面：掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，能依靠圆心到直线距离d与半径r的大小关系双向判定；熟记切线性质、判定定理，理解切线长定理；掌握三角形内切圆、内心概念，清晰区分内心与外心。 2.解题层面：牢记证明切线的两种辅助线方法，看到切线可连接圆心构造垂直；能运用切线长定理完成线段、角度计算；结合勾股、圆周角等旧知解决切线综合计算题与证明题，学会将切线问题转化为直角三角形求解。 3.思维层面：借助d与r的数量关系体会数形结合思想，归纳切线类固定解题模型，养成看图找垂直、找等线段的做题习惯。 4.分层学习：基础学生识别三种位置图形、背诵核心定理；中等学生独立完成常规计算与基础证明；优等生可处理多条件融合的切线综合压轴题型。 5.预习与教学：自主整理内心外心、切线判定与性质等易混淆知识点，标记疑难题型；课堂重点纠正证切线步骤遗漏、内外心概念混用等高频错误，夯实中考圆几何核心考点。 预习必备 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 2.切线的核心两大定理 3.三角形的内切圆与内心 4.经典解题模型 5.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.判断直线和圆的位置关系 2.线圆位置求半径取值 3.线圆位置求圆心距 4.直线平移相切求移动距离 5.圆平移相切求圆心路程 6.切线的应用 7.有关切线的概念辨析 8.判定补全切线成立条件 9.证明某直线是圆的切线 10.切线的性质定理 11.切线性质和判定的综合应用 12.应用切线长定理求解 13.应用切线长定理求证 14.直角三角形内切圆半径边角关系 15.三角形内心有关应用 16.三角形内切圆半径边角关系 17.三角形内切圆与外接圆综合 18.过圆外一点作圆的切线 19.圆内知识综合 20.圆与三角形综合 21.圆与四边形综合 22.圆与函数综合 加强题型 解答题13题 知识点01:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 位置关系 公共点个数 d与r大小关系 图形特征 直线名称 相离 0 个 d>r 直线完全在圆外侧，无交点 割线无 相切 1 个 d=r 直线与圆仅有唯一公共点 切线，公共点叫切点 相交 2 个 d<r 直线穿过圆内部，两点相交 割线，两点为交点 核心逻辑：图形位置（形）⇔距离半径大小（数），数形结合双向互判。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 类别 使用条件 核心作用 推理方向 切线性质 已知切线 推导垂直关系 切线→垂直半径 切线判定 证切线 证明直线是切线 垂直半径且过半径外端→切线 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点03:三角形的内切圆与内心 1. 基础概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆； 内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点； 核心性质：内心到三角形三条边的距离相等，距离长度为内切圆半径r。 2. 内心与外心完整对比（高频易混，课堂必讲） 名称 交点来源 到图形距离特征 位置规律 适用考点 外心 三边垂直平分线交点 到三个顶点距离相等（外接圆半径） 锐角内、直角斜边中点、钝角外 圆周角、外接圆 内心 三条角平分线交点 到三条边距离相等（内切圆半径） 永远在三角形内部 切线、内切圆计算 3. 直角三角形内切圆半径公式 设 Rt△两直角边a、b，斜边c，面积S，周长C 通用公式：r= 直角三角形简化公式：r= 4. 三角形内切圆尺规作图步骤 (1)任意作三角形两个内角的角平分线； (2)两条角平分线交点即为内心； (3)过内心向任意一边作垂线段，垂线段长为半径画圆，即为内切圆。 知识点04:本节经典解题模型 1.切线直角模型：切线 + 切点半径，直接出现直角三角形，搭配勾股定理求边长； 2.双切线全等模型：圆外一点引两条切线，形成一对全等直角三角形，用于转化等线段、等角； 3.内心倒角模型：利用角平分线性质，推导三角形内角与内心夹角关系。 知识点05:全节高频易错点（课堂纠错重点，减少学生失分） 1.判定切线时遗漏关键条件：只证垂直，未说明直线过半径外端；或只说过端点，缺少垂直； 2.混淆内心、外心定义，记错二者距离性质与作图平分线； 3.直线与圆位置判断搞反大小关系：相交记成d>r，相离记成d<r； 4.切线长定理只记住线段相等，忽略连线平分夹角、垂直平分切点弦的衍生结论； 5.使用内切圆半径公式不分题型，直接套用直角三角形简化公式到普通三角形。 题型1.判断直线和圆的位置关系 【典例】已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 【跟踪专练1】已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【跟踪专练2】已知平面内有和点．若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为___________． 【答案】相交或相切 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据点A和点B到圆心O的距离与半径的比较，判断点A和点B与圆的位置关系，从而推断直线与圆的位置关系． 【详解】∵的半径为，线段，线段， ∴点A在以O为圆心长为半径的圆上，点B在以O为圆心长为半径的上 当时，如图1所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如图2所示，过点O作于点D，则，所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切． 故答案为：相交或相切． 【跟踪专练3】中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 题型2.线圆位置求半径取值 【典例】已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 【跟踪专练3】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 题型3.线圆位置求圆心距 【典例】已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 【跟踪专练1】已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 【跟踪专练3】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案． 【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4 ∴OB=3；OA=4 由勾股定理得， ∵C（0，1） ∴ ∴BC=OB+OC=3+1=4 过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图， 则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC， ∴5×CM=16， ∴CM=， ∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ， ∴△PAB面积的最小值是 ×5×=， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离． 题型4.直线平移相切求移动距离 【典例】已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【跟踪专练2】如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 【跟踪专练3】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 题型5.圆平移相切求圆心路程 【典例】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． . 【跟踪专练2】如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 题型6.切线的应用 【典例】如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 【答案】或/或 【分析】分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：∵直线，为直线上一动点， ∴与直线相切时，切点为， ∴， 当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示： （）； 当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示： （）； ∴与直线相切，OP的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是切线的性质，熟练掌握切线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 题型7.有关切线的概念辨析 【典例】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 【跟踪专练1】如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 【跟踪专练3】如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 题型8.判定补全切线成立条件 【典例】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 题型9.证明某直线是圆的切线 【典例】如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴直线和的位置关系是相切． 故答案为：相切 【跟踪专练1】如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线，即直线与的位置关系为相切． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 题型10.切线的性质定理 【典例】如图，已知的半径为1，点P是外一点，且．若是的切线，T为切点，连接，则_____． 【答案】 【分析】根据圆的切线性质可得出为直角三角形，再利用勾股定理求得长度． 【详解】解：∵是的切线，T为切点， ∴， 在中，，， ∴． 【跟踪专练1】如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 【跟踪专练2】如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得，可知，根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ． ， ， ． 【跟踪专练3】如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质得，由得，由直径的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 题型11.切线性质和判定的综合应用 【典例】如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为___________． 【答案】/20度 【分析】因为点为的切点，连接，得，，可知的度数，根据是的外角，又因为，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点为的切点， ∴是的切点，即有，，且， ∴， 连接，得， ∴，且， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，理解切线的性质，即切点到圆心的连线垂直与切线，垂直为切点，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 题型12.应用切线长定理求解 【典例】如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 【详解】解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 【跟踪专练2】如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 【答案】65 【分析】连接，利用切线的性质求出的度数，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵是切线， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 题型13.应用切线长定理求证 【典例】如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 【跟踪专练1】如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据切线长定理，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵ 别切⊙O于点A，B， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故选B． 【跟踪专练2】如图，△ABC中 ， ∠ACB=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b ，则三角形的内切圆半径为_________． 【答案】(a+b-c) 【分析】设内切圆的圆心为O，半径为r，且与△ABC相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，根据切线性质可证得四边形ODCE是正方形，边长为r，再根据切线长定理即可求解． 【详解】解：如图，设内切圆半径为r，且与△ABC相切于D、E、F，连接OD、OE、OF， 则有OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ODCE是正方形， ∴CD=CE=r， ∴AD=b﹣r，BE=a﹣r， 由切线长定理得：AF=AD=b﹣r，BF=BE=a﹣r， ∵AF+BF=AB=c， ∴b﹣r+a﹣r=c， ∴r=(a+b-c)， 故答案为：(a+b-c)． 【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆、圆的切线性质、切线长定理，理解三角形的内切圆定义，熟练掌握切线长定理是解答的关键． 【跟踪专练3】如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型14.直角三角形内切圆半径边角关系 【典例】在中，，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】1 【分析】本题考查勾股定理和三角形的内切圆的定义，掌握三角形的内切圆的定义是解题关键． 先利用勾股定理求出斜边的长，通过三角形的面积列方程求解即可． 【详解】解：如图，作示意图如下， 由三角形的内切圆的定义可知，内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，等于半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】A 【分析】根据是的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理，再根据，设半径为，得到解方程即可 ． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∴四边形是矩形． 设半径为，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为1． 【跟踪专练2】如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． . A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 题型15.三角形内心有关应用 【典例】如图，点O既是的内心，也是的外心，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内心、外心的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内心、外心的定义和等边三角形的性质是解题的关键．先根据点是内心和外心，得出三角形的性质，再利用三角形内角和及相关角度关系求解． 【详解】解：∵，在中，． 又∵点是内心，、分别平分、， ∴． 在中，． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义及其性质，根据三角形内心的定义及其性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形两内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意； B、三角形的内心到三角形三个顶点的距离不一定相等，故原说法错误，符合题意； C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故原说法正确，不符合题意； D、三角形的内心是三角形内切圆的圆心，故原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 【跟踪专练3】如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 题型16.三角形内切圆半径边角关系 【典例】已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为__________． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 【跟踪专练2】已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练3】是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键． 如图所示，连接， ， ，，，，由三角形内切圆性质得到，，，，然后求出，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，， ∵是的内切圆且半径为2， ∴，，， ∵的周长为26， ∴ ． 故选：C． 题型17.三角形内切圆与外接圆综合 【典例】在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 【跟踪专练2】已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时，_________ 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接，先证明，得到，由直角三角形的性质求出，再根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，进而求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接， 则， ∵线段过圆心O，长为2，即是的直径， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 题型18.过圆外一点作圆的切线 【典例】已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【跟踪专练1】以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 【跟踪专练2】如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 题型19.圆内知识综合 【典例】如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    【答案】4 【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题． 【详解】当AC是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴AB＝BC＝8， ∴AC＝=8， ∵AE＝EB，BD＝DC， ∴DE＝AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 【跟踪专练2】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 题型20.圆与三角形综合 【典例】如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取最小值时点P的位置． 连接，先得出要使取最小值，则需取得最小值，再连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，过点作于点H，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】连接， ， ， 点A，点B关于原点O对称， ， ， 要使取最小值，则需取得最小值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，过点作于点H，如图所示， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接， ∵ ， ∴． ∵为的中点， ∴ ． 又∵点与点关于对称， ∴ ， ∴． 又∵ ， 根据勾股定理得，即的最小值为． 故选：B. 【跟踪专练2】如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 题型21.圆与四边形综合 【典例】如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是_____．    【答案】 【分析】可求，，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 四边形是内接四边形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，掌握性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 题型22.圆与函数综合 【典例】如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 解答题 1．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，直线为， ∵直线与圆相离需满足， ∴， 两边平方得，即， ∴， 解得：． 故k的取值范围为． 2．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 3．作一个圆，使它经过已知点和，并且圆心在已知直线上．   （1）当直线和相交时，可作几个？ （2）当直线和垂直但不经过的中点时，可作出几个？ （3）你还能提出不同于（1），（2）的问题吗？ 【答案】（1）可作个圆；可作个；可作无数个圆；（2）可作个；（3）可作个圆． 【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，分类讨论：若不垂直可作个圆；若垂直但不经过的中点，可作个；垂直且经过的中点时，可作无数个圆． （2）在（1）中第二种情况已解答； （3）可以设与平行，则线段的中垂线与必有一个交点，则可作个圆． 【详解】（1）当直线和相交，若不垂直可作个圆；若垂直但不经过的中点，可作个；垂直且经过的中点时，可作无数个圆． （2）当直线和垂直但不经过的中点时，可作个； （3）当直线和平行时，可作个圆． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 5．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析，的最大值为 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质， 对于（1），设，则，可得，再根据勾股定理列出方程求出解即可； 对于（2），连接，作，，再根据“角角边”证明，可得，然后证明，可得，最后根据角平分线性质的逆定理得出答案； 过C作的平行线，可得，作，可得四边形为矩形，进而得出，再说明，然后根据圆心O到直线的距离半径，即，，可知当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，此时的最大值为，最后根据等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ， 为直径， ， ， 即， 解得， ； （2）证明：连接，作，垂足为H，，交延长线于点I， ， ． 又，， ， ． 为直径， ． ，， ， ， ， 平分 ； 过C作的平行线，交延长线于M，则， 作于N，交于P， 则，四边形为矩形， ，为中点， ， ． ∵直线与必有交点C， ∴圆心O到直线的距离半径，即，， ∴当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5， 的最大值为． ， ∴在等腰直角三角形中，， 的最大值为． 6．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 7．已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由垂径定理推论可得，求出，即可求出，再利用圆周角定理可得，进而可得； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合证得四边形是菱形，得到，连接，推出是等边三角形，得到， 根据切线的性质可得，进而得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴，， ∴，， ∴，． 8．如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 9．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． . (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 10．如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，或，． 【分析】（1）根据切线长定理得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算，证明结论； （2）过点作，垂足为，根据勾股定理列式计算，得到答案； （3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据函数关系式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：、是的两条切线， ， 同理可得，， 为的直径，和是的两条切线， ∴， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 则四边形为矩形， ，， 切、、于、、， ，， ，， 在中，，即， ， ． （3）解：、是方程的两个根， ，即， 整理得，， 解得，，， 则，， ，或，． 【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、矩形的性质、求函数关系式、一元二次方程根与系数的关系，掌握切线长定理、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11．已知四边形是菱形，连接，点E是菱形外一点，满足，连接BE． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，分别交于点G，O，取的中点F，连接，试判断这三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先证明与也是等边三角形，在中，求出，得到，过B作的延长线于H，推导出，则，由勾股定理，得到，则．由勾股定理，得，即可解答； （2）在上截取，连接， ，先证明是等边三角形，推导出，则，继而证明，即，得到，即可解答； （3）当E与C重合时，F是中点(记为)，当E与A重合时，F是中点(记为)，连接交于M，得出点F在以M为圆心，为半径的圆上运动，即当点F在上时，取得最小值，继而推导出点F到．边的距离相等，设为h．则，即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ． ， 是等边三角形，同理也是等边三角形． ． ， ． 在中，，． ． ． ． ． 过B作的延长线于H，如图 ， ∴． 在中，， ∴． 由勾股定理， ∴． 在中，由勾股定理，得． （2）解：，理由如下： 在上截取，连接，，如图 ， 是等边三角形． ． ， ． ． 在和中 ， ． ． ∵四边形是菱形，F是中点， ∴O是中点． ，即． ． （3）解：是中点，当点E运动时： ∴当E与C重合时，F是中点（记为）； 当E与A重合时，F是中点（记为）， 连接交于M， 为中点， 是的外心，内心． ，． 连接， ， 点A、C、D、E四点共圆．取的外心；连接，． ，，同理可得．． 是等边三角形． ，． ，是的中位线． 点F在以M为圆心、为半径的圆上运动，如图 即当点F在上时，取得最小值． 当取最小值时， ∵，点为中点， ，即点F到，边的距离相等，设为h， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查萎形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，含度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 12．如图，已知是的直径，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)证明：连接，如下图 ，， 垂直平分， ， 又， ， ， ， ， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先证明垂直平分，再证明，得到，由，得到，进而证明是的切线； （2）由，得到，根据勾股定理求出，设，，运用勾股定理求出，即为的半径． 【详解】（1）略 （2）解：，即， ， 在中，， 设半径，则， 在中，，即， 解得， 的半径长为． 13．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有． (2)如图，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆； ②证明∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等； ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确； （2）解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾， ∴四边形无内切圆， 又∵该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06直线与圆的位置关系暑假预习讲义 1.知识层面：掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，能依靠圆心到直线距离d与半径r的大小关系双向判定；熟记切线性质、判定定理，理解切线长定理；掌握三角形内切圆、内心概念，清晰区分内心与外心。 2.解题层面：牢记证明切线的两种辅助线方法，看到切线可连接圆心构造垂直；能运用切线长定理完成线段、角度计算；结合勾股、圆周角等旧知解决切线综合计算题与证明题，学会将切线问题转化为直角三角形求解。 3.思维层面：借助d与r的数量关系体会数形结合思想，归纳切线类固定解题模型，养成看图找垂直、找等线段的做题习惯。 4.分层学习：基础学生识别三种位置图形、背诵核心定理；中等学生独立完成常规计算与基础证明；优等生可处理多条件融合的切线综合压轴题型。 5.预习与教学：自主整理内心外心、切线判定与性质等易混淆知识点，标记疑难题型；课堂重点纠正证切线步骤遗漏、内外心概念混用等高频错误，夯实中考圆几何核心考点。 预习必备 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 2.切线的核心两大定理 3.三角形的内切圆与内心 4.经典解题模型 5.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.判断直线和圆的位置关系 2.线圆位置求半径取值 3.线圆位置求圆心距 4.直线平移相切求移动距离 5.圆平移相切求圆心路程 6.切线的应用 7.有关切线的概念辨析 8.判定补全切线成立条件 9.证明某直线是圆的切线 10.切线的性质定理 11.切线性质和判定的综合应用 12.应用切线长定理求解 13.应用切线长定理求证 14.直角三角形内切圆半径边角关系 15.三角形内心有关应用 16.三角形内切圆半径边角关系 17.三角形内切圆与外接圆综合 18.过圆外一点作圆的切线 19.圆内知识综合 20.圆与三角形综合 21.圆与四边形综合 22.圆与函数综合 加强题型 解答题13题 知识点01:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 位置关系 公共点个数 d与r大小关系 图形特征 直线名称 相离 0 个 d>r 直线完全在圆外侧，无交点 割线无 相切 1 个 d=r 直线与圆仅有唯一公共点 切线，公共点叫切点 相交 2 个 d<r 直线穿过圆内部，两点相交 割线，两点为交点 核心逻辑：图形位置（形）⇔距离半径大小（数），数形结合双向互判。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 类别 使用条件 核心作用 推理方向 切线性质 已知切线 推导垂直关系 切线→垂直半径 切线判定 证切线 证明直线是切线 垂直半径且过半径外端→切线 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点03:三角形的内切圆与内心 1. 基础概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆； 内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点； 核心性质：内心到三角形三条边的距离相等，距离长度为内切圆半径r。 2. 内心与外心完整对比（高频易混，课堂必讲） 名称 交点来源 到图形距离特征 位置规律 适用考点 外心 三边垂直平分线交点 到三个顶点距离相等（外接圆半径） 锐角内、直角斜边中点、钝角外 圆周角、外接圆 内心 三条角平分线交点 到三条边距离相等（内切圆半径） 永远在三角形内部 切线、内切圆计算 3. 直角三角形内切圆半径公式 设 Rt△两直角边a、b，斜边c，面积S，周长C 通用公式：r= 直角三角形简化公式：r= 4. 三角形内切圆尺规作图步骤 (1)任意作三角形两个内角的角平分线； (2)两条角平分线交点即为内心； (3)过内心向任意一边作垂线段，垂线段长为半径画圆，即为内切圆。 知识点04:本节经典解题模型 1.切线直角模型：切线 + 切点半径，直接出现直角三角形，搭配勾股定理求边长； 2.双切线全等模型：圆外一点引两条切线，形成一对全等直角三角形，用于转化等线段、等角； 3.内心倒角模型：利用角平分线性质，推导三角形内角与内心夹角关系。 知识点05:全节高频易错点（课堂纠错重点，减少学生失分） 1.判定切线时遗漏关键条件：只证垂直，未说明直线过半径外端；或只说过端点，缺少垂直； 2.混淆内心、外心定义，记错二者距离性质与作图平分线； 3.直线与圆位置判断搞反大小关系：相交记成d>r，相离记成d<r； 4.切线长定理只记住线段相等，忽略连线平分夹角、垂直平分切点弦的衍生结论； 5.使用内切圆半径公式不分题型，直接套用直角三角形简化公式到普通三角形。 题型1.判断直线和圆的位置关系 【典例】已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【跟踪专练1】已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【跟踪专练2】已知平面内有和点．若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为___________． 【跟踪专练3】中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 题型2.线圆位置求半径取值 【典例】已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【跟踪专练1】如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 题型3.线圆位置求圆心距 【典例】已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【跟踪专练1】已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 【跟踪专练3】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 题型4.直线平移相切求移动距离 【典例】已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【跟踪专练2】如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【跟踪专练3】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5.圆平移相切求圆心路程 【典例】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒．    【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【跟踪专练2】如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 题型6.切线的应用 【典例】如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【跟踪专练1】如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 题型7.有关切线的概念辨析 【典例】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____． 【跟踪专练1】如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【跟踪专练2】如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【跟踪专练3】如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 题型8.判定补全切线成立条件 【典例】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【跟踪专练1】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【跟踪专练2】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 【跟踪专练3】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 题型9.证明某直线是圆的切线 【典例】如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【跟踪专练1】如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【跟踪专练3】对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 题型10.切线的性质定理 【典例】如图，已知的半径为1，点P是外一点，且．若是的切线，T为切点，连接，则_____． 【跟踪专练1】如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为_______． 【跟踪专练3】如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型11.切线性质和判定的综合应用 【典例】如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为___________． 【跟踪专练1】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【跟踪专练2】如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【跟踪专练3】如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型12.应用切线长定理求解 【典例】如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【跟踪专练1】如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 【跟踪专练3】如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型13.应用切线长定理求证 【典例】如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【跟踪专练1】如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【跟踪专练2】如图，△ABC中 ， ∠ACB=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b ，则三角形的内切圆半径为_________． 【跟踪专练3】如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 题型14.直角三角形内切圆半径边角关系 【典例】在中，，，，则的内切圆的半径为________． 【跟踪专练1】如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【跟踪专练2】如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【跟踪专练3】如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． . A．1 B．2 C．3 D．4 题型15.三角形内心有关应用 【典例】如图，点O既是的内心，也是的外心，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 【跟踪专练2】如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【跟踪专练3】如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型16.三角形内切圆半径边角关系 【典例】已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为__________． 【跟踪专练1】如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【跟踪专练2】已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【跟踪专练3】是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 题型17.三角形内切圆与外接圆综合 【典例】在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差___________． 【跟踪专练1】如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【跟踪专练2】已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时，_________ 【跟踪专练3】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型18.过圆外一点作圆的切线 【典例】已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【跟踪专练1】以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    【跟踪专练2】如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 题型19.圆内知识综合 【典例】如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    【跟踪专练1】已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型20.圆与三角形综合 【典例】如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为_________． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练2】如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【跟踪专练3】如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型21.圆与四边形综合 【典例】如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是_____．    【跟踪专练1】如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【跟踪专练2】如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型22.圆与函数综合 【典例】如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【跟踪专练1】如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 解答题 1．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 2．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 3．作一个圆，使它经过已知点和，并且圆心在已知直线上．   （1）当直线和相交时，可作几个？ （2）当直线和垂直但不经过的中点时，可作出几个？ （3）你还能提出不同于（1），（2）的问题吗？ 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 5．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 6．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 7．已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 8．如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 9．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． . (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 10．如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． (1)求证：； (2)求与的函数关系式？ (3)若、是方程的两个根，求、的值． 11．已知四边形是菱形，连接，点E是菱形外一点，满足，连接BE． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，分别交于点G，O，取的中点F，连接，试判断这三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，请直接写出的值． 12．如图，已知是的直径，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 13．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有． (2)如图，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $