专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理与方程思想的融合应用，通过实际问题、折叠问题、两次勾股定理三大题型构建系统性解题方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|典例1+10变式|已知一边及两边数量关系时，设未知数表示两边，用勾股定理列方程|从直接应用勾股定理到结合方程思想解决实际问题，体现数学建模过程| |题型02|典例2+12变式|利用折叠性质得对应边相等，设未知线段，在直角三角形中列方程|结合折叠性质深化方程思想，培养空间观念与推理意识| |题型03|典例3+3变式|在双直角三角形中表示公共边或等线段，建立方程求解|通过两次勾股定理关联线段关系，提升综合运用知识的能力|

专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 【典例1】 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，，即． 故选：C． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为x米，则，， 在中，由勾股定理得即 解得： ∴旗杆的高度为17米． 故选：D．    【变式1-3】 【答案】树高为12米． 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在中，，则满足，米，米，米，根据两只猴子经过的路程一样可得解方程组可以求的值，即可计算树高． 【详解】解：中，， 设（米，米，米， 则米． （米，米， 又在中，由勾股定理得：， ， 解得，，即（米) （米) 答：树高为12米． 【变式1-4】 【答案】B 【分析】设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【变式1-5】 【答案】B 【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可． 【详解】解: 设水深为h尺，则芦苇高为尺， 由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺， 根据勾股定理得：， 解得， 即水深为12尺， 故选：B． 【变式1-6】 【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2． 【变式1-7】 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意解题即可． 【详解】解：设木杆的长为尺， 则木杆低端C离墙的距离尺， 在中， ∵ ∴， 解得： 故答案为：． 【变式1-8】 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹梢到折断处的长度为尺，则折断处到竹子的根部为尺．利用勾股定理列式即可． 【详解】如图，， 设竹梢到折断处的长度为尺，即斜边， 则， 依题意得：， 即：， 故答案为：，    【变式1-9】 【答案】(1)；(2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【变式1-10】 【答案】(1)12尺；(2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． ▌题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 【典例2】 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 【变式2-1】 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 【变式2-2】 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 【变式2-3】 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 【变式2-4】 【答案】B 【分析】根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，，再中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵翻折后与完全重合， ∴， 设，则，， ∵在中，， 即， 解得，， ∴． 故选：B 【变式2-5】 【答案】C 【分析】将△ABC折叠，使点B与点A重合，得到BD=AD，要求CD的长，设出未知数后，再表示出BD，再利用勾股定理求出x，从而得出答案． 【详解】设CD长为xcm，则BD=（8-x）cm， ∵将△ABC折叠，使点B与点A重合， ∴AD=BD=（8-x）cm， 在Rt△ACD中，AC2+DC2=AD2， ∴62+x2=（8-x）2， 解得：x=． 故选C． 【变式2-6】 【答案】 【分析】作于M，设，则，根据勾股定理得：，建立方程，解方程求得，即可求得，勾股定理即可求解 【详解】作于M，如图所示： 则，，根据题意得：，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 故答案为：. 【变式2-7】 【答案】（1）；（2）的面积为25 【分析】（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，由矩形得BC=AD=8，由勾股定理算出CF=6，从而算出DF=4； （2）由翻折知：△BEF和△BEA全等，在中求，设EF=x，依据勾股定理列方程解出，而AB=10，求出直角△BEA的面积，即为所求. 【详解】解：（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA， 由矩形得BC=AD=8，CD=AB=10，, ∵在中，，BF=10，BC=8， ∴ ∴DF=CD-CF=10-6=4， （2）设EF=EA=x，则DE=8-x， ∵在中，，DE=8-x，DF=4，EF=x， ∴42+(8-x)2= ∴x=5. ∴直角△BEA的面积为， 又∵由翻折知：△BEF和△BEA全等， ∴△BEF的面积为25. 【变式2-8】 【答案】10 【分析】利用折叠的性质可得出AF，CF的值及∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACF，进而可得出AE＝CE，设AE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出△ACE的面积． 【详解】由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB． ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴∠CAD＝∠ACF， ∴AE＝CE． 设AE＝x，则EF＝8﹣x． 在Rt△AEF中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°， ∴42+（8﹣x）2＝x2， ∴x＝5， ∴S△ACE＝AE•AB＝×5×4＝10． 故答案为10． 【变式2-9】 【答案】 【分析】由矩形和翻折的性质可知：，，，从而可利用“AAS”证明，得出．设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】解：由矩形和翻折的性质可知：，，． ∴， ∴在和中 ， ∴()， ∴ 设，则． 在中，． 所以，解得：． 即：． 【变式2-10】 【答案】或5 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示，连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=5，可计算出CB′=8，设BE=a，则EB′=a，CE=12-a，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出a．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图1所示， 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=5，BC=12， ∴AC==13， ∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即将△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，设：，则，， ， 由勾股定理得：， 解得：； ②当点B′落在AD边上时，如图2所示， 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=5， 综上所述，BE的长为或5， 故答案为或5． 【变式2-11】 【答案】C 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF＋FG＝3＋x， 在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2， 即32＋（6−x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 【变式2-12】 【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE， ∴△DHE≌△EGD， ∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x， ∵=， ∴， ∴， ∴， ∴BE=2EH=， 故选：C. ▌题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 【典例3】 【答案】84 【分析】求三角形的面积，需要先求出高，故作AD丄BC，得到两个直角三角形，以AD为等量关系，利用勾股定理列出方程，即可求解。 【详解】过点A作AD丄BC，则△ABD和△ACD为直角三角形，设BD=x，则CD=14-x，由勾股定理得，AD2=AB2-BD2=132-x2，AD2=AC2-CD2=152-(14-x)2，所以132-x2=152-(14-x)2，解得x=5，所以AD=12，△ABC的面积=×14×12=84。 【变式3-1】 【答案】1 【分析】由图可以看出，DF不在直角三角形中，需要构造直角三角形，利用勾股定理进行解题，先连接AF，然后根据轴对称的性质，A'F=AF，因此连接A'F，根据勾股定理分别表示AF和A'F，得到方程，进而解决问题 【详解】连接AF、A'F，设DF=x，则CF=8-x，在Rt△ADF中，AF2=82+x2，在Rt△A'CF中，A'F2=42+(8-x)2，因为A'F=AF，所以82+x2=42+(8-x)2，解得x=1，故DF=1 【变式3-2】 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【变式3-3】 【答案】(1)； (2)P点的位置见解析，的距离为16千米； 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 ▌题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 根据勾股定理我们知道，在一个直角三角形中，如果已知两边，可以根据勾股定理得到第三条边的长度。但实际应用中，有时我们只知道一条边的长度，就没法直接利用勾股定理进行计算，此时，如果两条未知边的数量关系已知的话，可以通过设未知数，表示出两条边，利用勾股定理列出方程，进行求解。 如图，Rt△ABC中，BC=3，若已知AB+AC=9，我们可以设AB=x，则AC=9-x，根据勾股定理列出方程32+x2=(9-x)2，若已知AC-AB=1，则设AB=x，AC=x+1，根据勾股定理列出方程32+x2=(x+1)2，这样就可以求出所有边的长度了。 【典例1】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，，即． 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为x米，则，， 在中，由勾股定理得即 解得： ∴旗杆的高度为17米． 故选：D．    【变式1-3】如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 【答案】树高为12米． 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在中，，则满足，米，米，米，根据两只猴子经过的路程一样可得解方程组可以求的值，即可计算树高． 【详解】解：中，， 设（米，米，米， 则米． （米，米， 又在中，由勾股定理得：， ， 解得，，即（米) （米) 答：树高为12米． 【变式1-4】（25-26八年级上·河南开封·期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A．x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82 C．（x+3）-x2=82 D．（x-3）2-x2=82 【答案】B 【分析】设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【变式1-5】（25-26八年级上·广西桂林·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】B 【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可． 【详解】解: 设水深为h尺，则芦苇高为尺， 由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺， 根据勾股定理得：， 解得， 即水深为12尺， 故选：B． 【变式1-6】《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2． 【变式1-7】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈（1丈10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处，则木棒长 尺．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意解题即可． 【详解】解：设木杆的长为尺， 则木杆低端C离墙的距离尺， 在中， ∵ ∴， 解得： 故答案为：． 【变式1-8】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”    译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺） 如果设竹梢到折断处的长度为尺，那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．    【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹梢到折断处的长度为尺，则折断处到竹子的根部为尺．利用勾股定理列式即可． 【详解】如图，， 设竹梢到折断处的长度为尺，即斜边， 则， 依题意得：， 即：， 故答案为：，    【变式1-9】体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大PK比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【答案】(1)；(2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【变式1-10】如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺；(2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． ▌题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 1.折叠的性质：对应边相等，对应角相等（角平分线），对应点连线被折痕垂直平分。 2.在折叠问题中，常会出现一条已知边被分成两部分，此时我们可以设其中一部分为x，则另一部分也可以用x表示，在图中找到可以利用的直角三角形，即可列方程进行求解。 【典例2】如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 【变式2-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 【变式2-2】如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 【变式2-4】（25-26八年级上·河南许昌·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，，再中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵翻折后与完全重合， ∴， 设，则，， ∵在中，， 即， 解得，， ∴． 故选：B 【变式2-5】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ）cm． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将△ABC折叠，使点B与点A重合，得到BD=AD，要求CD的长，设出未知数后，再表示出BD，再利用勾股定理求出x，从而得出答案． 【详解】设CD长为xcm，则BD=（8-x）cm， ∵将△ABC折叠，使点B与点A重合， ∴AD=BD=（8-x）cm， 在Rt△ACD中，AC2+DC2=AD2， ∴62+x2=（8-x）2， 解得：x=． 故选C． 【变式2-6】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知矩形ABCD的长，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕EF的长是 ． 【答案】 【分析】作于M，设，则，根据勾股定理得：，建立方程，解方程求得，即可求得，勾股定理即可求解 【详解】作于M，如图所示： 则，，根据题意得：，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 故答案为：. 【变式2-7】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，点E在AD边上，将△ABE沿BE折叠后，点A正好落在CD边上的点F处． （1）求DF的长； （2）求△BEF的面积． 【答案】（1）；（2）的面积为25 【分析】（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，由矩形得BC=AD=8，由勾股定理算出CF=6，从而算出DF=4； （2）由翻折知：△BEF和△BEA全等，在中求，设EF=x，依据勾股定理列方程解出，而AB=10，求出直角△BEA的面积，即为所求. 【详解】解：（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA， 由矩形得BC=AD=8，CD=AB=10，, ∵在中，，BF=10，BC=8， ∴ ∴DF=CD-CF=10-6=4， （2）设EF=EA=x，则DE=8-x， ∵在中，，DE=8-x，DF=4，EF=x， ∴42+(8-x)2= ∴x=5. ∴直角△BEA的面积为， 又∵由翻折知：△BEF和△BEA全等， ∴△BEF的面积为25. 【变式2-8】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E，若AB=4，BC＝8，则△ACE的面积为 ． 【答案】10 【分析】利用折叠的性质可得出AF，CF的值及∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACF，进而可得出AE＝CE，设AE＝x，则EF＝8﹣x，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出△ACE的面积． 【详解】由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB． ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴∠CAD＝∠ACF， ∴AE＝CE． 设AE＝x，则EF＝8﹣x． 在Rt△AEF中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°， ∴42+（8﹣x）2＝x2， ∴x＝5， ∴S△ACE＝AE•AB＝×5×4＝10． 故答案为10． 【变式2-9】如图，长方形中，，点在上，且，连结将长方形沿翻折，点恰好落在上的点处，求的长度． 【答案】 【分析】由矩形和翻折的性质可知：，，，从而可利用“AAS”证明，得出．设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】解：由矩形和翻折的性质可知：，，． ∴， ∴在和中 ， ∴()， ∴ 设，则． 在中，． 所以，解得：． 即：． 【变式2-10】如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时， ． 【答案】或5 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示，连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=5，可计算出CB′=8，设BE=a，则EB′=a，CE=12-a，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出a．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图1所示， 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=5，BC=12， ∴AC==13， ∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即将△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，设：，则，， ， 由勾股定理得：， 解得：； ②当点B′落在AD边上时，如图2所示， 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=5， 综上所述，BE的长为或5， 故答案为或5． 【变式2-11】如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF＋FG＝3＋x， 在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2， 即32＋（6−x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 【变式2-12】在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE， ∴△DHE≌△EGD， ∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x， ∵=， ∴， ∴， ∴， ∴BE=2EH=， 故选：C. ▌题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 1.在使用勾股定理时，我们还可以进行线段的表示，比如：在Rt△ABC中，∠B=90゜，已知AB=5，BC=x，则AC2=52+x2。 2.在实际问题中，常常存在公共边，或存在两条边的等量关系，此时，可以先在两个不同的直角三角形中表示出两条边，再利用这种等量关系进行列方程，即可求解。 【典例3】如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC的面积。 【答案】84 【分析】求三角形的面积，需要先求出高，故作AD丄BC，得到两个直角三角形，以AD为等量关系，利用勾股定理列出方程，即可求解。 【详解】过点A作AD丄BC，则△ABD和△ACD为直角三角形，设BD=x，则CD=14-x，由勾股定理得，AD2=AB2-BD2=132-x2，AD2=AC2-CD2=152-(14-x)2，所以132-x2=152-(14-x)2，解得x=5，所以AD=12，△ABC的面积=×14×12=84。 【变式3-1】正方形ABCD中，边长为8，沿EF对折，使点A落在BC中点A'处，求FD的长 【答案】1 【分析】由图可以看出，DF不在直角三角形中，需要构造直角三角形，利用勾股定理进行解题，先连接AF，然后根据轴对称的性质，A'F=AF，因此连接A'F，根据勾股定理分别表示AF和A'F，得到方程，进而解决问题 【详解】连接AF、A'F，设DF=x，则CF=8-x，在Rt△ADF中，AF2=82+x2，在Rt△A'CF中，A'F2=42+(8-x)2，因为A'F=AF，所以82+x2=42+(8-x)2，解得x=1，故DF=1 【变式3-2】 “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． 【答案】(1)； (2)P点的位置见解析，的距离为16千米； 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 ▌题型01 利用勾股定理和方程思想解决实际问题 根据勾股定理我们知道，在一个直角三角形中，如果已知两边，可以根据勾股定理得到第三条边的长度。但实际应用中，有时我们只知道一条边的长度，就没法直接利用勾股定理进行计算，此时，如果两条未知边的数量关系已知的话，可以通过设未知数，表示出两条边，利用勾股定理列出方程，进行求解。 如图，Rt△ABC中，BC=3，若已知AB+AC=9，我们可以设AB=x，则AC=9-x，根据勾股定理列出方程32+x2=(9-x)2，若已知AC-AB=1，则设AB=x，AC=x+1，根据勾股定理列出方程32+x2=(x+1)2，这样就可以求出所有边的长度了。 【典例1】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 【变式1-4】（25-26八年级上·河南开封·期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何? ”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺着木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少? ”示意图如图所示，设绳索 AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A．x2-（x+3）2=82 B．x2-（x-3）2=82 C．（x+3）-x2=82 D．（x-3）2-x2=82 【变式1-5】（25-26八年级上·广西桂林·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【变式1-6】《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为 ． 【变式1-7】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈（1丈10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处，则木棒长 尺．    【变式1-8】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”    译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺） 如果设竹梢到折断处的长度为尺，那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．    【变式1-9】体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大PK比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【变式1-10】如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． ▌题型02 利用勾股定理和方程思想解决折叠问题 1.折叠的性质：对应边相等，对应角相等（角平分线），对应点连线被折痕垂直平分。 2.在折叠问题中，常会出现一条已知边被分成两部分，此时我们可以设其中一部分为x，则另一部分也可以用x表示，在图中找到可以利用的直角三角形，即可列方程进行求解。 【典例2】如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【变式2-3】如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【变式2-4】（25-26八年级上·河南许昌·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-5】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ）cm． A． B． C． D． 【变式2-6】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知矩形ABCD的长，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕EF的长是 ． 【变式2-7】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，点E在AD边上，将△ABE沿BE折叠后，点A正好落在CD边上的点F处． （1）求DF的长； （2）求△BEF的面积． 【变式2-8】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E，若AB=4，BC＝8，则△ACE的面积为 ． 【变式2-9】如图，长方形中，，点在上，且，连结将长方形沿翻折，点恰好落在上的点处，求的长度． 【变式2-10】如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时， ． 【变式2-11】如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【变式2-12】在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． ▌题型03 两次利用勾股定理得到方程求长度 1.在使用勾股定理时，我们还可以进行线段的表示，比如：在Rt△ABC中，∠B=90゜，已知AB=5，BC=x，则AC2=52+x2。 2.在实际问题中，常常存在公共边，或存在两条边的等量关系，此时，可以先在两个不同的直角三角形中表示出两条边，再利用这种等量关系进行列方程，即可求解。 【典例3】如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC的面积。 【变式3-1】正方形ABCD中，边长为8，沿EF对折，使点A落在BC中点A'处，求FD的长 【变式3-2】 “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $