微突破19 带电粒子在电场中运动的综合问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在电场中运动的综合问题，涵盖等效重力场中的圆周运动、力学三大观点处理综合运动两大核心考点，按考情分析、知识框架、考点拆解、真题训练的逻辑展开，通过考点梳理、方法指导、分层练习帮助学生构建系统思维，突破高考难点。 讲义创新采用等效思维建模与力学观点融合策略，如将重力与电场力合力视为等效重力，迁移圆周运动规律，培养科学思维与模型建构能力。设置易错辨析、热点考向破译及分层变式训练，确保高效突破，助力学生提升综合应用能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

微突破19 带电粒子在电场中运动的综合问题 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在等效重力场中的圆周运动 热点考向·破译 考向1 倾斜电场中的等效重力场问题 例1 【答案】D 【变式训练1-1】同【答案】C 【变式训练1-2】【答案】C 考向2 水平电场中的等效重力场问题 例2【答案】D 【变式训练2-1】【答案】D 【变式训练2-2】【答案】D 考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 热点考向·破译 考向1 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的直线运动 例1【答案】CD 【变式训练1-1·变考法】【答案】AD 【变式训练1-2·变考法】【答案】BCD 考向2 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的曲线运动 例2【答案】BCD 【变式训练2-1】【答案】BD 【变式训练2-2】【答案】AC 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．【答案】(1)， (2)(3) 2．【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 3．【答案】BD 5 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破19 带电粒子在电场中运动的综合问题 内容导航 对标素养，研判高考命题趋势 201 命题透视·考情前瞻 搭建知识框架，构建系统思维 302 思维建模·脉络梳理 拆解核心考点，归纳解题范式 403 考点精讲·靶向突破脉络梳理 考点一 带电粒子在等效重力场中的圆周运动 4 核心知识·解构 4 一、方法概述 4 二、方法应用 4 易错辨析·AI命题 4 热点考向·破译 4 考向1 倾斜电场中的等效重力场问题 4 考向2 水平电场中的等效重力场问题 6 考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 8 核心知识·解构 8 一、力电综合问题的处理流程 8 二、电场中的功能关系 8 易错辨析·AI命题 8 热点考向·破译 8 考向1 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的直线运动 8 考向2 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的曲线运动 10 溯源真题逻辑，感知高考考向 1204 真题溯源·考向感知 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等效重力场中 的圆周运动 —— —— 2024•浙江 2024•河北 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 2024•贵州 2024•广东 2025•黑吉辽蒙 2025•福建 2024•福建 2024•江西 考情分析 题型与考向：高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，这类题目大多出现在综合性的计算题中，涉及知识面广，对考生的物理思维和数学运算能力要求较高，因此整体题目难度较大。这类问题常通过牛顿第二定理、功能关系和动量守恒定律三大观点与磁场、力学等内容相结合，构成复杂的物理情境，需要学生综合运用多个知识点进行分析与求解。 情境与立意：此类题目在命题时，常将经典力学中重力场下的典型物理模型，如板块、传送带、弹簧等，巧妙地迁移并置入一个匀强电场环境中。其核心考察点在于，要求学生在原有力学分析的基础上，进一步综合电场力的作用，从而全面考查学生对受力分析、运动过程以及能量转化等综合物理规律的理解与应用能力。这种命题方式既保留了原始模型的动力学框架，又通过引入电场这一新要素，提升了问题的复杂性和综合性。 复习目标 会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 带电粒子在电场中运动的综合问题 等效重力场中 的圆周运动 方法概述 等效思维方法的应用 方法应用 重力和电场力合力视为等效重力 二者合力对应加速度作为等效重力加速度 运动规律迁移至等效重力场分析 力学三大观点处理带电粒子在电场中运动 力电综合问题的处理流程 电场中的功能关系 平衡状态：平衡条件 非平衡状态：牛顿第二定律+运动学公式+功能关系 (1)WAB＝qUAB(普遍适用) (2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场) (3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解) (4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解) 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在等效重力场中的圆周运动 核心知识·解构 一、方法概述 等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。 二、方法应用 先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效 ,将a=视为等效 。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效 场中分析求解即可。 易错辨析·AI命题 1.等效重力场的等效重力加速度只由重力、电场力大小决定，与二者夹角无关。（ ） 2.等效最高点是粒子做圆周运动动能最小、电势能+重力势能总和最大的位置。（ ） 3.若粒子带负电，匀强电场竖直向上，等效重力方向一定竖直向下。（ ） 热点考向·破译 考向1 倾斜电场中的等效重力场问题 例1 如图所示，竖直平面内有与水平方向夹角为的匀强电场，电场中有一长为L的绝缘轻绳，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，电荷量大小为q。小球静止时轻绳与竖直方向夹角为θ=60°，此时给小球一垂直轻绳的瞬时冲量，使小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．匀强电场的场强大小为 C．瞬时冲量大小为 D．小球从初始位置运动到动能最小处过程中机械能损失mgL 【变式训练1-1】竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为。一个电荷量为、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（    ） A．小球到达圆周上N点时的速率最小 B．小球在M点的电势能最大、机械能最小 C．小球在K点的电势能与动能之和最大 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【变式训练1-2】如图，足够大的空间内存在与水平方向夹角的匀强电场，长度为、不可伸长的轻绳一端系于点，另一端系一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点），点距水平地面的高度为，其正下方处固定一刀片，、间距离小于。当小球处于静止状态时，轻绳与竖直方向的夹角为。现将小球拉至点右侧等高位置（轻绳刚好拉直）静止释放，运动至点正下方时轻绳被刀片割断，最终小球落到水平地面上。已知重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．小球运动至点正下方时的速度大小为 C．轻绳与刀片接触前瞬间的拉力大小为 D．小球落地点与点的水平距离为 考向2 水平电场中的等效重力场问题 例2如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知A点电势为0，OM与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。则（    ） A．电场强度E的大小为 B．小球电势能最大值为 C．小球在M点初速度为 D．小球运动到B点时突然剪断细线后，小球运动过程中速度的最小值为 【变式训练2-1】如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道和，点所在的半径与竖直直径成角。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）从点由静止释放，分别沿弦轨道和到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道和，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化，重力加速度为，下列说法正确的是（    A．小球经过点时对轨道的压力为零 B．匀强电场的电场强度大小为 C．小球做圆周运动经过点时动能最大 D．小球做圆周运动过程中对环的压力的最大值为 【变式训练2-2】如图所示，一光滑绝缘半圆轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于点，半圆轨道半径为，整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为。一带正电小球质量为、电荷量为，从点以一定的初速度向点运动，经过点后恰能运动到轨道的最高点，小球从轨道最高点飞出后落到水平面上的点（图中未标出）。已知重力加速度为，，，则有（　　） A．小球在点速度最小 B．小球在点的速度大小为 C．小球从轨道最高点飞出后恰好能落回点 D．点与点的水平距离为 考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 核心知识·解构 一、力电综合问题的处理流程 二、电场中的功能关系 1．电场中的功能关系 (1)若只有静电力做功电势能与 之和保持不变。 (2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、 之和保持不变。 (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体 的变化。 (4)所有外力对物体所做的功等于物体 的变化。 2．电场力做功的计算方法 (1)WAB＝qUAB(普遍适用) (2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场) (3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解) (4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解) 易错辨析·AI命题 1.能量守恒观点处理电场问题时，只需考虑动能、重力势能、电势能三者总和不变，不用考虑摩擦力。（ ） 2.动量定理适用于匀强电场、交变电场中任意带电粒子运动，不需要恒力条件。（ ） 3.带电粒子在匀强电场中类平抛运动，优先用动能定理求末速度，比牛顿定律分解计算更简便。（ ） 热点考向·破译 考向1 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的直线运动 例1（多选）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在的中点处的速度大小为 D．的长度为 【变式训练1-1·变考法】（多选）如图所示，空间中存在竖直向上的匀强电场，绝缘带电小球A质量电荷量，绝缘不带电B小球质量，A在B的竖直正上方某处，一劲度系数的轻质绝缘弹簧上端与A相连，下端与B相连。现将两小球由静止释放，开始时弹簧处于原长状态。对A、B以及弹簧组成的系统，正确的说法是（物体运动过程中弹簧不超过其弹性限度：弹簧弹性势能与形变量的关系：；重力加速度）（　　） A．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，系统机械能增加 B．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，电场力对A做功1J C．整个运动过程中，弹簧的最大弹性势能 D．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，A运动的最大速度为 【变式训练1-2·变考法】（多选）如图所示，倾角为30°的足够长光滑绝缘斜面固定在水平面上，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度。小球A的电荷量为+q，小球B不带电，质量均为m，两球用劲度系数为k的轻质绝缘弹簧连接，弹簧处于原长并锁定。现解除锁定释放两球并开始计时，t0时刻两球第一次速度相等，速度大小为v0，此时弹簧形变量为x0，在整个运动过程中弹簧均在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．两球每次速度相同时弹簧形变量均为x0 B．两球每次加速度相同时弹簧的形变量均为 C．在t=t0时，小球A的电势能增加了 D．在t=2t0时，两球和弹簧系统机械能减少了 考向2 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的曲线运动 例2（多选）如图所示，竖直平面内存在方向未知的匀强电场，一质量为，电荷量为的带电小球，由点以初速度沿水平方向抛出。小球先运动至点，速度大小为，方向竖直向下，接着运动至点，、两点在同一条竖直线上。不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力的最小值为 B．小球在点的电势能一定小于在点的电势能 C．小球从点运动至点，合外力冲量为 D．点到点的竖直距离与点到点的竖直距离之比一定是 【变式训练2-1】（多选）如图所示，质量，电荷量为的带电小球，从A点以竖直向上进入方向水平向右的匀强电场，它经过B点的速度为，已知小球从A到B经历的时间为，。下列说法中正确的是（　　） A．A、B两点间的高度差 B．A、B两点间的电势差 C．匀强电场的场强E大小 D．小球从A至B运动过程中速度最小值为 【变式训练2-2】（多选）如图所示，放置在竖直平面内的足够长粗糙直线轨道、与光滑四分之一圆弧轨道相切于点和点，圆弧轨道圆心为，半径为，和与竖直方向夹角都为，整个轨道处于电场强度大小、方向水平向左的匀强电场中。现有一个质量为、带电荷量为的小物块从点以的初速度沿方向运动，已知，小物块与、之间的动摩擦因数，重力加速度大小为，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块在点的加速度大小为 B．小物块第一次通过点前后瞬间对轨道的压力大小之比为 C．小物块速度第一次为0时的位置距点距离为 D．小物块最终将在轨道上做往复运动 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·贵州·高考真题）在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 2．（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 3．（2024·江西·高考真题）（多选）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　） A．最低点的位置 B．速率达到最大值时的位置 C．最后停留位置x的区间是 D．若在最低点能返回，则初始电势能 5 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破19 带电粒子在电场中运动的综合问题 内容导航 对标素养，研判高考命题趋势 201 命题透视·考情前瞻 搭建知识框架，构建系统思维 302 思维建模·脉络梳理 拆解核心考点，归纳解题范式 403 考点精讲·靶向突破脉络梳理 考点一 带电粒子在等效重力场中的圆周运动 4 核心知识·解构 4 一、方法概述 4 二、方法应用 4 易错辨析·AI命题 4 热点考向·破译 4 考向1 倾斜电场中的等效重力场问题 4 考向2 水平电场中的等效重力场问题 8 考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 11 核心知识·解构 11 一、力电综合问题的处理流程 11 二、电场中的功能关系 11 易错辨析·AI命题 12 热点考向·破译 12 考向1 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的直线运动 12 考向2 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的曲线运动 15 溯源真题逻辑，感知高考考向 1904 真题溯源·考向感知 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等效重力场中 的圆周运动 —— —— 2024•浙江 2024•河北 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 2024•贵州 2024•广东 2025•黑吉辽蒙 2025•福建 2024•福建 2024•江西 考情分析 题型与考向：高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，这类题目大多出现在综合性的计算题中，涉及知识面广，对考生的物理思维和数学运算能力要求较高，因此整体题目难度较大。这类问题常通过牛顿第二定理、功能关系和动量守恒定律三大观点与磁场、力学等内容相结合，构成复杂的物理情境，需要学生综合运用多个知识点进行分析与求解。 情境与立意：此类题目在命题时，常将经典力学中重力场下的典型物理模型，如板块、传送带、弹簧等，巧妙地迁移并置入一个匀强电场环境中。其核心考察点在于，要求学生在原有力学分析的基础上，进一步综合电场力的作用，从而全面考查学生对受力分析、运动过程以及能量转化等综合物理规律的理解与应用能力。这种命题方式既保留了原始模型的动力学框架，又通过引入电场这一新要素，提升了问题的复杂性和综合性。 复习目标 会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 带电粒子在电场中运动的综合问题 等效重力场中 的圆周运动 方法概述 等效思维方法的应用 方法应用 重力和电场力合力视为等效重力 二者合力对应加速度作为等效重力加速度 运动规律迁移至等效重力场分析 力学三大观点处理带电粒子在电场中运动 力电综合问题的处理流程 电场中的功能关系 平衡状态：平衡条件 非平衡状态：牛顿第二定律+运动学公式+功能关系 (1)WAB＝qUAB(普遍适用) (2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场) (3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解) (4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解) 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在等效重力场中的圆周运动 核心知识·解构 一、方法概述 等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。 二、方法应用 先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效重力,将a=视为等效重力加速度。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 易错辨析·AI命题 1.等效重力场的等效重力加速度只由重力、电场力大小决定，与二者夹角无关。（×） 2.等效最高点是粒子做圆周运动动能最小、电势能+重力势能总和最大的位置。（√） 3.若粒子带负电，匀强电场竖直向上，等效重力方向一定竖直向下。（×） 热点考向·破译 考向1 倾斜电场中的等效重力场问题 例1 如图所示，竖直平面内有与水平方向夹角为的匀强电场，电场中有一长为L的绝缘轻绳，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，电荷量大小为q。小球静止时轻绳与竖直方向夹角为θ=60°，此时给小球一垂直轻绳的瞬时冲量，使小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．匀强电场的场强大小为 C．瞬时冲量大小为 D．小球从初始位置运动到动能最小处过程中机械能损失mgL 【答案】D 【详解】A．小球静止在O点右下方，轻绳对小球的拉力有向左的分量，由平衡条件可知，电场力需要有向右的分量。电场方向斜向右上，因此电场力方向沿电场方向，则小球带正电，故A错误； B．对静止小球的受力正交分解（x水平向右，y竖直向上），由平衡条件，在x方向有 解得 在y方向有代入，得解得，故B错误； C．将重力和电场力的合力作为等效重力，大小等于轻绳拉力，即 方向沿绳向外，小球恰能做圆周运动时，等效最高点为平衡位置关于O的对称点，满足等效重力提供向心力，有 解得 对初始位置到等效最高点，由动能定理，得 代入，解得 冲量，故C错误； D．小球在等效最高点动能最小，机械能变化等于电场力做功。初始位置到等效最高点，电场力做功 电场力做功，说明机械能损失，故D正确。 故选D。 【变式训练1-1】竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为。一个电荷量为、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（    ） A．小球到达圆周上N点时的速率最小 B．小球在M点的电势能最大、机械能最小 C．小球在K点的电势能与动能之和最大 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【答案】C 【详解】A．对小球受力分析： 重力竖直向下，电场力 方向斜向右上。将电场力分解，水平分量（向右） 竖直分量（向上），与竖直向下的重力抵消。因此总合力为水平向右的恒力，加速度水平向右。 根据动能定理，初动能相同，合外力做功越少，动能越小、速率越小。合外力水平向右，点是圆周最右端，从到合外力做正功最多，动能最大、速率最大，故A错误； B．正电荷电势能，沿电场线方向电势降低，电场方向斜向右上，点沿电场方向最远，电势最低，因此正电荷在点电势能最小；机械能变化等于电场力做功，电场力对做功最多，因此点机械能最大，故B错误； C．总能量守恒（恒量） 因此 （向上为正） 点在圆周最底端，最小，最小，因此最大，故C正确； D．小球加速度仅水平向右，竖直方向加速度为0，竖直方向做匀速直线运动 结合初速率大小不变，可推得：同一时间可对应两个不同位置（同一，两个相反的），因此存在到达不同位置的时间相同的情况，故D错误。故选C。 【变式训练1-2】如图，足够大的空间内存在与水平方向夹角的匀强电场，长度为、不可伸长的轻绳一端系于点，另一端系一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点），点距水平地面的高度为，其正下方处固定一刀片，、间距离小于。当小球处于静止状态时，轻绳与竖直方向的夹角为。现将小球拉至点右侧等高位置（轻绳刚好拉直）静止释放，运动至点正下方时轻绳被刀片割断，最终小球落到水平地面上。已知重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．小球运动至点正下方时的速度大小为 C．轻绳与刀片接触前瞬间的拉力大小为 D．小球落地点与点的水平距离为 【答案】C 【详解】A．对处于静止状态的小球进行受力分析，沿轻绳方向和垂直于轻绳方向分解，垂直于轻绳方向得到 解得，故A错误； B．小球所受重力与电场力的合力大小为（恒力，可作为等效重力），方向为向右斜向下，与重力方向成,小球做圆周运动，合力做功等于动能的变化量，有 计算得，故B错误； C．沿轻绳方向的合力提供向心力，有 计算得，故C正确； D．水平方向，有位移 竖直方向，有位移 联立解得，故D错误。 故选C。 考向2 水平电场中的等效重力场问题 例2如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知A点电势为0，OM与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。则（    ） A．电场强度E的大小为 B．小球电势能最大值为 C．小球在M点初速度为 D．小球运动到B点时突然剪断细线后，小球运动过程中速度的最小值为 【答案】D 【详解】A．小球静止在点，受力分析如图，可知小球带正电。由平衡条件有 解得，故A错误。 B．带电小球运动到最右侧的时候电势能最大，此时带电小球距离点沿电场方向的距离为，所以带电小球的电势能为，即，故B错误。 C．带电小球恰能完成完整的圆周运动，则在等效最高点有 从点到等效最高点过程，根据动能定理有 代入解得，故C错误。 D．剪断细线后，小球相对于合力方向做类斜抛运动，当小球在合力方向上的分速度为0时，合速度最小。从到，由动能定理有 解得 剪断细线后，当速度与合外力垂直时速度最小，则最小速度，故D正确。 故选D。 【变式训练2-1】如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道和，点所在的半径与竖直直径成角。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）从点由静止释放，分别沿弦轨道和到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道和，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化，重力加速度为，下列说法正确的是（    A．小球经过点时对轨道的压力为零 B．匀强电场的电场强度大小为 C．小球做圆周运动经过点时动能最大 D．小球做圆周运动过程中对环的压力的最大值为 【答案】D 【详解】ABC．图甲结合等时圆知识，重力与电场力合力必须指向AO，根据合成与分解知识 解得 等效最高点在A点，压力最小为零；等效最低点在AO延长线与圆轨道交点，等效最低点速度最大，动能最大，故ABC错误； D．因为重力与电场力均为恒力，所以二者的合力大小为 小球做圆周运动，则在其等效最高点，有小球从等效最高点至等效最低点过程中，由动能定理得在等效最低点小球对圆环压力最大，由牛顿第二定律得代入数据解得由牛顿第三定律可知小球做圆周运动的过程中对环的最大压力是，故D正确。故选D。 【变式训练2-2】如图所示，一光滑绝缘半圆轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于点，半圆轨道半径为，整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为。一带正电小球质量为、电荷量为，从点以一定的初速度向点运动，经过点后恰能运动到轨道的最高点，小球从轨道最高点飞出后落到水平面上的点（图中未标出）。已知重力加速度为，，，则有（　　） A．小球在点速度最小 B．小球在点的速度大小为 C．小球从轨道最高点飞出后恰好能落回点 D．点与点的水平距离为 【答案】D 【详解】A．小球在半圆轨道上运动时，当小球所受重力，电场力的合力方向与速度方向垂直时，如图中点，小球速度最小，故A错误； B．小球所受电场力为 则小球在点所受合力大小为 设小球在点的速度为，由于小球恰好能运动到轨道的最高点，则在点时此合力恰好能提供小球做圆周运动所需的向心力，由牛顿第二定律得 解得 设点小球所受合力与竖直方向的夹角为，由图可知 则，小球从点到点由动能定理得 解得，故B错误； C．因为图中A、B两点距离未知，故无法确定小球从轨道最高点飞出后能否落回点，故C错误； D．当小球离开点后，在竖直方向上做自由落体运动，水平方向上在电场力的作用下做匀加速直线运动，设小球从点到点的运动时间为，水平方向的加速度为，点到点的水平距离为 则在水平方向有，竖直方向有联立解得，故D正确。 故选D。 考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 核心知识·解构 一、力电综合问题的处理流程 二、电场中的功能关系 1．电场中的功能关系 (1)若只有静电力做功电势能与动能之和保持不变。 (2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、动能之和保持不变。 (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。 (4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。 2．电场力做功的计算方法 (1)WAB＝qUAB(普遍适用) (2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场) (3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解) (4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解) 易错辨析·AI命题 1.能量守恒观点处理电场问题时，只需考虑动能、重力势能、电势能三者总和不变，不用考虑摩擦力。（×） 2.动量定理适用于匀强电场、交变电场中任意带电粒子运动，不需要恒力条件。（√） 3.带电粒子在匀强电场中类平抛运动，优先用动能定理求末速度，比牛顿定律分解计算更简便。（√） 热点考向·破译 考向1 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的直线运动 例1（多选）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在的中点处的速度大小为 D．的长度为 【答案】CD 【详解】A．对物块受力分析，垂直斜面方向，根据平衡条件有 结合可得 可见滑动摩擦力为一定值，故A错误； B．设物块沿斜面方向移动的距离为，由牛顿第二定律有 整理可得 故B错误； CD．作出图像，可知物块从到的过程，图线的面积乘以质量即为合力做功，根据对称性可知，解得。设物块在的中点处的速度为，根据动能定理可得，解得，故C，D正确。 故选CD。 【变式训练1-1·变考法】（多选）如图所示，空间中存在竖直向上的匀强电场，绝缘带电小球A质量电荷量，绝缘不带电B小球质量，A在B的竖直正上方某处，一劲度系数的轻质绝缘弹簧上端与A相连，下端与B相连。现将两小球由静止释放，开始时弹簧处于原长状态。对A、B以及弹簧组成的系统，正确的说法是（物体运动过程中弹簧不超过其弹性限度：弹簧弹性势能与形变量的关系：；重力加速度）（　　） A．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，系统机械能增加 B．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，电场力对A做功1J C．整个运动过程中，弹簧的最大弹性势能 D．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，A运动的最大速度为 【答案】AD 【详解】A．从开始运动，到弹簧被拉到最长的过程中，因除重力和弹力以外的电场力做正功，则系统机械能增加，A正确； BC．因A球受向上的电场力和向下的重力，合力为，方向竖直向上；即弹簧的上端受向上的10N的恒力，下端受向下的mg=10N=F的恒力，弹簧被拉的最长时两物体的速度均为零，则 解得弹簧的伸长量为 即弹簧的最大弹性势能为 设开始运动到弹簧拉到最长的过程中，A、B球的位移大小分别为xA、xB，由动量守恒有 且解得此过程中电场力对A做功，则BC错误； D．当A的速度最大时因对系统受合外力为零，则系统动量守恒，则 由能量关系可知解得A的最大速度，D正确。故选AD。 【变式训练1-2·变考法】（多选）如图所示，倾角为30°的足够长光滑绝缘斜面固定在水平面上，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度。小球A的电荷量为+q，小球B不带电，质量均为m，两球用劲度系数为k的轻质绝缘弹簧连接，弹簧处于原长并锁定。现解除锁定释放两球并开始计时，t0时刻两球第一次速度相等，速度大小为v0，此时弹簧形变量为x0，在整个运动过程中弹簧均在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．两球每次速度相同时弹簧形变量均为x0 B．两球每次加速度相同时弹簧的形变量均为 C．在t=t0时，小球A的电势能增加了 D．在t=2t0时，两球和弹簧系统机械能减少了 【答案】BCD 【详解】B．当两球加速度相同时，对AB整体有 对B有联立解得故B正确； C．作出两球的v-t图线，如图所示 t0时刻两球第一次速度相等，速度大小为v0，此时弹簧形变量为x0，即 结合图像可得所以在t=t0时，小球A的电势能增加了 故C正确； D．由图可知，在t0~2t0内，有所以在t=2t0时，弹簧恢复原长，且 根据能量守恒定律可知，两球和弹簧系统机械能减少量等于电势能增加量，即 故D正确； A．由以上分析可知，t0时两球速度相等，弹簧伸长量为x0，2t0时两球速度再次达到相等，但弹簧处于原长，故A错误。故选BCD。 考向2 用力学三大观点处理带电粒子在电场中的曲线运动 例2（多选）如图所示，竖直平面内存在方向未知的匀强电场，一质量为，电荷量为的带电小球，由点以初速度沿水平方向抛出。小球先运动至点，速度大小为，方向竖直向下，接着运动至点，、两点在同一条竖直线上。不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力的最小值为 B．小球在点的电势能一定小于在点的电势能 C．小球从点运动至点，合外力冲量为 D．点到点的竖直距离与点到点的竖直距离之比一定是 【答案】BCD 【详解】A．设水平向右为轴、竖直向下为轴，将运动沿、轴分解，由过程，初速度，，末速度，，设运动时间为，由匀变速直线运动速度与时间的关系，可得加速度大小分别为，则 水平方向仅受电场力水平分量作用，由牛顿第二定律，得 竖直方向受重力和电场力竖直分量作用，由牛顿第二定律，得整理得 由矢量合成法则，得电场力大小 设由一元二次函数求最值，可得的最小值为，则的最小值为，不是，故A错误； B．过程初、末动能相等，有由动能定理，得 小球的运动有竖直向下分量，重力做正功，则因此 电场力做负功，电势能一定增大，故B正确； C．从到，根据矢量合成可知，动量变化量大小 由动量定理，合外力冲量，故C正确。 D．小球从到过程，水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀加速运动。在点速度竖直向下，说明水平分速度减为，竖直分速度为。小球从到，在正下方，说明水平位移大小与相等，方向相反。点水平速度为，加速度不变，故时间与相等。竖直方向根据初速度为零匀加速运动相等时间位移比为1：3，点到点的竖直距离与点到点的竖直距离之比一定是，故D正确；故选BCD。 【变式训练2-1】（多选）如图所示，质量，电荷量为的带电小球，从A点以竖直向上进入方向水平向右的匀强电场，它经过B点的速度为，已知小球从A到B经历的时间为，。下列说法中正确的是（　　） A．A、B两点间的高度差 B．A、B两点间的电势差 C．匀强电场的场强E大小 D．小球从A至B运动过程中速度最小值为 【答案】BD 【详解】A．小球从A到B经历的时间为，竖直方向，粒子受重力，做竖直上抛运动，有 解得，故A错误； B．根据动能定理可得 解得，故B正确； C．小球经过点的速度为，竖直方向，有 解得 又 可得水平分量为 水平方向，小球做匀加速直线运动，有 解得匀强电场的场强大小，故C错误； D．小球水平方向受电场力为，竖直方向受重力为，如图所示 二者合力为恒力，合力的方向与水平方向夹角的正切值可得当速度方向与等效重力方向垂直时，速度最小，等于垂直方向的分速度‍，故D正确。故选BD。 【变式训练2-2】（多选）如图所示，放置在竖直平面内的足够长粗糙直线轨道、与光滑四分之一圆弧轨道相切于点和点，圆弧轨道圆心为，半径为，和与竖直方向夹角都为，整个轨道处于电场强度大小、方向水平向左的匀强电场中。现有一个质量为、带电荷量为的小物块从点以的初速度沿方向运动，已知，小物块与、之间的动摩擦因数，重力加速度大小为，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块在点的加速度大小为 B．小物块第一次通过点前后瞬间对轨道的压力大小之比为 C．小物块速度第一次为0时的位置距点距离为 D．小物块最终将在轨道上做往复运动 【答案】AC 【详解】A．将重力、电场力分解到沿和垂直方向：沿方向：重力分量向下，电场力分量向上，大小抵消，合力仅为摩擦力，方向沿轨道向上。 垂直方向： 摩擦力。加速度大小为，故A正确。 B．从到由动能定理有代入得 通过点前，压力 通过点后，圆周运动向心力 得 比值，故B错误； C．从到动能定理 得 设沿向上运动后速度为0，由于垂直方向上有 可知，小物块与面之间无压力，则没有摩擦力，小物块所受合力为 方向沿面向下，由动能定理有 联立解得 ，故C正确； D．结合上述分析可知，由于小物块在上运动不受摩擦力，则小物块再次滑上减速到零之后，停止在斜面上，故D错误。故选AC。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·贵州·高考真题）在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 【答案】(1)， (2)(3) 【详解】（1）小球第一次达到最大速率时，受力平衡，根据平衡条件有 解得小球的质量为 小球再次到达最大速率时，受力平衡，小球到达M点上方N点，速度方向竖直向上，则空气阻力竖直向下，根据力的平衡条件有 解得电场强度大小为 （2）对小球从P点运动到M点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，从M点运动到最低点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的减速运动，小球从最低点运动到N点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，小球从静止释放时加速度为g，小球运动到M点加恒定匀强电场时有 解得 则小球的最大加速度大小为。 （3）对小球从M点运动到N点的过程，由动能定理有 其中 联立解得M、N两点间的电势差为 2．（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 3．（2024·江西·高考真题）（多选）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　） A．最低点的位置 B．速率达到最大值时的位置 C．最后停留位置x的区间是 D．若在最低点能返回，则初始电势能 【答案】BD 【详解】A．全过程，根据动能定理 解得故A错误； B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有解得故B正确； C．小球甲最后停留时，满足解得位置x的区间故C错误； D．若在最低点能返回，即在最低点满足结合动能定理又联立可得故D正确。故选BD。 5 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $