湖北省沙市中学2025-2026学年高三上学期第三次周练数学试卷

2025—2026学年度上学期2023级 第三次周练数学试卷 命题人：刘芳 审题人：肖述友 考试时间：2025年11月7日 祝考试顺利！ 一、单选题 1.已知集合M={xl2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N= A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.0 2.已知复数z满足i·z+2=2i,则川=上 A.√2 B.22 C.4 D.8 3.Q+x)”展开式中二项式系数最大的是C,则n不可能是 A.8 B.9 C.10 D.11 1+sin 20 4.已知tan6=3,则2co90+9m20 A.1 B.2 C.3 D.4 5,己如等差数列a的公差为号，集合N.若S=红.以则 A.-1 B.-1 2 C.0 D.1 6.己知直线，12的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为%，02，则c0s(1-2)>0是k,k>0” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.三棱锥P-ABC的底面△ABC是等边三角形，AP⊥PC,二面角P-AC-B的大小为150， 若三棱锥P-ABC外接球的表面积为84π，则该三棱锥P-ABC体积的最大值等于 A.95 B.9√5 D.27V5 2 2 8若双曲线若若-1a0b>0)不有在以a,2如%中点的弦，则该双信线高心条的 取值范围为 「525 23 D. 二、多选题 9.Sn是等比数列{a}的前n项和，若存在a,b,c∈R,使得Sn=ab”+c,则 A.a+c=0 B.b是数列{a}的公比 C.ac<0 D.{a}可能为常数列 10.己知心0，圆C:(c-a)2+y-lna)2=1,则 A.存在3个不同的α，使得圆C与x轴或y轴相切 B.存在2个不同的α，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等 C.存在2个不同的α，使得圆C过坐标原点 D.存在唯一的a,使得圆C的面积被直线y=平分 11.己知函数f()=a-a,a>1,则下列说法正确的有 A.对任意的a>1,f(c)均有两个零点 B.若方程f(x)=m有两实根，则m∈(-o,1] C.若正实数5，t满足f(S)+f(t)=0,则s+t≥2 D.若s+t=0,则f(s)+f(t)20 三、填空题 2.已知函数)Q-,osr是奇函数，则实数Q中 13.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆 为偶数，求集合中元素个数的最大值 4。已知aeR,若存在peR,使得对于mEN,都有血(+Psa,则a的最小值 为 四、解答题 15.(13分) 如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， E ∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD,EA∥BF,AB=AE=2BF=2 (1)证明：平面EAC⊥平面EFC: (2)在棱EC上有一点M,使得平面MBD与平面ABCD 的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离. 16.(15分) 记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab(a2+b2-c2)=44C.BC. (1)求b: (2)若sin2A+sin2B+sin2C=2+cos Acos B,求△ABC的面积. 17.(15分) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前 抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者 下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人 被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方 获胜的概率都为 (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率， 18.(17分) 如图，在平面直角坐标系x0中，椭圆文十1Q>6>0)的左、右焦点分别入 V F1(-c,0),F2(c,0).已知(1，e)和(e,一)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. 2 (1)求椭圆的方程： (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF与 直线BF,平行，AF与BF交于点P. B ①若A-迟，6，求直线AR的斜率 (ii)求证：P+PF,是定值. 19.(17分) h(1+x) 己知函数f(x)的定义域是(-1，+o),f(0)=0,导函数f《x)= ，设是曲线y=f(x) 1+x 在点A(a,f(a)(a≠0)处的切线. (1)求"(x)的最大值： (2)当-1<a<0时，证明：除切点A外，曲线y=f(x)在直线的上方： (3)设过点A的直线l2与直线1垂直，1,12与x轴交点的横坐标分别是x1,x2,若a>0, 求2a-,的取值范围。 X2-X1 高三第三次周练数学答案 1 3 7 8 0 10 D B A B B B A C ABC ACD 11 AC 12. 1 13. 329 √6+√2 14. 7.【详解】设AC=a,三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则4πR2=84π，解得R=√21， 设Rt△APC的外心为O,该点是棱AC的中点，设等边△ABC的外心为O2, 过点O作平面APC的垂线，过点O,作平面ABC的垂线，两 垂线交于点O, 即为三棱锥P-ABC外接球的球心. 因为二面角P-AC-B的大小为150°，所以∠0OO2=60°， 于是aa-9gga8-号誓，oa=aa-, 36 233 因为00+0，B2=0B2=21, =21,解得a=6,即AC=6, 因为AP⊥PC,所以当AP=PC时，点P到平面ABC的距离最大， 其最大距滨为6×}×m(180-150）-子 所以三棱锥P-ABC体积的最大值等于上x5x x3_93 34 22 【详解】由题意得点(a,2a在双曲线外部或在双曲线上，则-名，得久s 假设存在以(a2a为中点的弦，设弦与双曲线交于点A3,y),B(5,,,则古十=a, 2 4+2=2a, 由点A(,),B(x2,y2)在双曲线上，得 a2 b2 至=1 两式作差得出+)-y_(伍+x)s-x) 所以k。=y-=a(5+)_d2aa2 5-5b(3+5)b2.4a2b1 1 b.1 因为不存在该中点弦，所以直线4B与双曲线至多一个交点，则k。三办≤6，也即。之】 所以是ss,则e= 52W3 4≤≤3 3 10.【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为(a,lna),即圆心在曲线y=lnx 上运动.对于A,当a=l时，圆C与y轴相切，当ha=l,即a=e或二时，圆C与x轴 e 相切，所以满足要求的α有3个，A正确： 对于B,若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到 x轴和y轴的距离相等，故圆心在y=±r上，又圆心在y=lx上， 作图可知曲线y=nx与y=x没有公共点，与y=-x有一个交点， 所以满足要求的α仅有一个，B错误： 对于C,若圆C过坐标原点，则a2+(nd=1,如下图可知， 曲线y=lnw与x2+y2=1有两个交点，所以满足要求的a有2个， C正确： x+V 对于D,若圆C的面积被直线y=平分，则直线y=经过 e 圆心(a,lha),计算可知曲线y=lnx在x=e处的切线恰好为y= 即满足要求的a仅有一个，故D正确. 11.【详解】对于A,f)=0三d=a,即x=1,A正确； 1 1 对于B,'()= a+a血a,由a>1,故f'>0,所以f)在(-m,0)和(0，+) 上单调递增，注意x趋近于-…时，f(x)趋近于-1，x从小于0一侧趋近于0时，f(x)趋近 于1，x从大于0一侧趋近于0时，f(x)趋近于-o,x趋近于+o时，f(x)趋近于+0， 故若方程f(x)=m有两实根，m∈(-1,1)，B错误； 对于c,由f+f a-a+a-a=0,又f)在(0，+o)上单调递增，如果t≠ nN 则)则+00子盾。故有1，故s+1=十之2，当仅当1时取 等号，C正确； 2 对D.令0.0+0=阳*=re 由于g0=t+在(1，+0)上单调递增， 当：ea时1st<f0-0-8a)80, 当S=1时，f(s)+ft)=0,D错误， 14.【详解】由周期性，可把图像上的点在单位圆上呈现，共分为12个区域， 以初相位P对应的点为第一个点，每个区域内3个点， 当第三个点对应的纵坐标等于第四个点对应的纵坐标时， VA In-2 n=1 n-0 7n=0 sim(匹+p)） sin(n匹+p） 6 此时sin 取最大值时，a=2减m=3,即经如及+牙-645，即2之6+ ,则a的最小 12 (64 4 4 值为y6+5 4 15.(13分) (1)证明：取EC的中点G,连接BD交AC于N,连接GN,GF, 因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD,且N是AC的中点， 所以GWAE且GN=AB,又AEBF,AE=2BF=2, 所以GNIIBF且GW=BF,所以四边形BNGF是平行四边形， G 所以GF∥IBN, 又EA⊥平面ABCD,BNC平面ABCD,所以EA⊥BN, 又因为AC∩EA=A,AC,EAC平面EAC,所以NBI平面EAC, H 所以GF⊥平面EAC, 又GFC平面EFC,所以平面EFC⊥平面EAC: 3 (2)解：取CD的中点H,由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，则∠ADC=60°， △ADC是正三角形，.AH⊥CD,AH⊥AB,又AE⊥平面ABCD, 所以以A为原点，AH,AB,AE为坐标轴建立空间直角坐标系， 设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°， 则D(V5,-1,0）,B(0,2,0),C(51,0),E(0,0,2),F(0,2,1),A(0,0,0), 则设M=C=(N5,1-2=(N5元，元，-2入，M(N5,,2-2n, 所以DM=(N3-5,1+1,2-2,BM=(3,元-2,2-2，BC=-(N3,-1,0,BF=(0,0,1), 设平面DBM的一个法向量为元=(x,y,=), 则丘则=0，即5A-5x+加+2-2：=0，令x-N5,-=l. 即 i.BM=0 V5x+(2-2)y+2-220z=0 得=(51 2元-1 平面A8CD的法向量可以为m=(0,01）,cos<元，元m 2-1 2-1 2, 1/4+ -1 解得元=，所以M 3531 V511 442 则cM= 4’42 i.BC=0 设平面BCF的一个法向量为u=(a,b,c),则 即 「N5a-b=0 a.BF=0' c=0 取a=1,得u=(1,V5,0),所以点M到平面BCF的距离d i.CM 3 4 16.(15分) (1)由ab(a+b2-c2)=4AC.BC可得ab2 abcosC=4AC·BC=4 bacosC, 故2 ab cos C=4cosC,由于△ABC为锐角三角形，所以c0sC≠0，故2ab=4,故ab=2 (2)由a2+b2-c2=2 ab cosC可得sin2A+sin2B-sin2C=2 sin Asin B cosC, sin2A+sin2 B+sin2 C=2sin Asin BcosC+2sin2C=2sin Asin B cosC+2-2cos2C =2cosC(sin Asin B-cosC)+2=2cosC(sin Asin B+cos(A+B))+2=2cosC cosAcosB+2, 结合sin2A+sin2B+sin2C=2+cos Acos B,故2cosC=1, 由于△MC为悦角三角，形故C-号所以8 -abrimC=×2x5-日 2 2 22 4 17.(15分) (1)记事件M:甲连胜四场，则P(M)= (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为 P=P(ABAB)P(ACAC)+P(BCBC)+P(BAB4)-4* 所以，需要进行第五场比赛的概率为P=1-P- (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M:甲赢，记事件W:丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、 BCBAC, 所以，甲赢的概率为P(M) 2) 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为P(N)=1-2× 97 3216 18.(17分) 解：(1)由题设知，a2=b2+c2!e-C,由点(L,e)在椭圆上，得 12.e2 aB:=1= +→b2+c2-b→a-b→b'1,c-d-l. 1c2 V3 由点(e, )在椭圆上，得 2 6) c2 =1→ =1→ b2 a d-1+3=13a-4d+40d=2 a+4 椭圆的方程为 2+2=1. (2)由(1)得F(-1,0),EQ,0),又~AFIBE2, 设A耳、BE的方程分别为=x+1I=x-1,A()!B(x2y2）%>0y2>0. 2+gmr2+22-2m-10→ym+V2m2+2 m2+2 y1+1 所以A-G+旷+-0，广+-m1.m+2r2.5m++mNm1.@ m2+2 m2+2 5 同理，BE,= 2(m2+1)-mWm+1 ② m2+2 )①@得，AR-BR-2m㎡1.解2㎡-5得N-2. m2+2 m2+22 ~注意到m>0,÷m=√2. 直线A的斜率为1-2 m 2 面明：AI现，即15+BP8+PA9R+A8 PE AF PF AF P耳= ARBF. AF+BF 由点B在椭圆上知，8照+B识=2反，P4R反-8R). AF+BF 肉，P呢时 BE(2反-AR. --A-2-器 .PR+PR AF+BF: AF+BF 由①②得，AF+BF= 25(m+,ABn-m+ 1m2+2 m2+2 :PR+PR-2-3 22 PF+PF是定值. 19.(17分) (1)设g()=f(y,g(x)=1+ 10+x)-血1+)1-h0+, (1+x) (1+x) 由g(x)=0可得x=e-1,当x∈(-l,e-1)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈(e-1,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以了的发大位为了e-)日 (2》因为f@-血1+a,所以直线的方程为y-f(网+a 1+a _na+a(x-a,即 y-m@(x-a)+J(a). 1+a =-。:foo--ro-r 1+x1+a 61 高三第三次周练数学答案 2 3 4 6 7 8 0 10 D B A B 心 B A C ABC ACD 11 AC 12 1 13. 329 14. √6+2 4 7.【详解】设AC=a,三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则4πR2=84π，解得R=√21， 设Rt△APC的外心为O,该点是棱AC的中点，设等边△ABC的外心为O, 过点O作平面APC的垂线，过点O作平面ABC的垂线，两 垂线交于点O, 即为三棱锥P-ABC外接球的球心. 因为二面角P-AC-B的大小为150°，所以∠00,0，=60°， f是00E91Ba,0BE3a2a,00,B00号 ax36 -a 23 3 因为00+0，B2=0B2=21, =21,解得a=6,即AC=6, 因为AP⊥PC,所以当AP=PC时，点P到平面ABC的距离最大， 3 其最大距离为6×2×sin180-150）= 所以三棱锥P-ABC体积的最大值等于'xV5x 6x39V5 34 22 ⑧【译解】由题意待点20在双曲线外叹仁双或上'二2s1,得、】 a" 31 假设存在以a,2a为中点的弦，设弦与双曲线交于点Ax,y),B(x2,y2),则 +=a,上+业=2a, 2 2 由点Ax,,B(x2y2在双曲线上，得 a2 b2 a2 b2 两式作差得少+-2_(5+x(x-x 所以0-当-业-a+-a2,2a_a x-x2 b2(y+y2)b2.4a 2b2' 1 因为不存在该中点弦，所以百线B5双曲线车多一个交点，则上S也D b、1 a21 ,b「523 、∈ a 2’3 l0.【详解】由条件可知，圆C的半径为l,圆心坐标为(a,na),即圆心在曲线y=lnx 上运动.对于A,当a=1时，圆C与y轴相切，当lna=±1，即a=e或二时，圆C与x轴 e 相切，所以满足要求的α有3个，A正确： 对于B,若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到 x轴和y轴的距离相等，故圆心在y=±r上，又圆心在y=lnx上， 作图可知曲线y=lnx与y=x没有公共点，与y=-x有一个交点， 所以满足要求的α仅有一个，B错误； 对于C,若圆C过坐标原点，则a2+(lna=1,如下图可知， 曲线y=nx与x2+y2=1有两个交点，所以满足要求的a有2个， C正确： x2+2- 对于D,若圆C的面积被直线y=平分，则直线y=经过 圆心(a,na),计算可知曲线y=lnx在x=e处的切线恰好为 y=,即满足要求的a仅有一个，故D正确. 11.【详解】对于A,f(x)=0→a=a,即x=1，A正确： 对于 lna,由a>1,故f'(x)>0,所以f(x)在(-o0o,0)和(0，+o) 上单调递增，注意x趋近于-0时，f(x)趋近于-1，x从小于0一侧趋近于0时，f(x)趋近 于1，x从大于0一侧趋近于0时，f(x)趋近于-0，x趋近于+o时，f(x)趋近于+0， 故若方程f(x)=m有两实根，m∈(-1,1)，B错误； 对于c,由o+ =a-a+as-a=0,又f(x)在(0，+oo)上单调递增，如果 1， 则0日 则f)+f0≠0矛盾，故有1=1，故s+1=s+1≥2，当且仅当 s=1时取等号，C正确； 时FD0,*0=0-。-w-e+ 由于g(0)=t+在(L,+0)上单调递增， 当e@0时1<g<g-0=8a)-g@k0, 当e+n)时，1<+0=->o 当s=1时，f()+f()=0,D错误， 14.【详解】由周期性，可把图像上的点在单位圆上呈现，共分为12个区域， 以初相位？对应的点为第一个点，每个区域内3个点， 当第三个点对应的纵坐标等于第四个点对应的纵坐标时， n-2 /n=1 n=1 n=0 n=0 sin(匹+p) sin(n匹+p) 0 6 此时sin +p最大值的最小值sin 6 6 （6 取最大值时，a=2或=3，即s如证=如(+到-64，即a之6：巨，则的最小 12 “气(64 4 4 值为6+V 4 15.(13分) (I)证明：取EC的中点G,连接BD交AC于N,连接GN, GF, 因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD,且N是AC的中点， 所以GNAE且GN=，AE,又AEIBF，AE=2BF=2, 2 G 所以 且 ,所以四边形BNGF是平行四边形， 所以 又EA⊥平面ABCD,BNC平面ABCD,所以EALBN, B 又因为AC∩EA=A,AC,EAc平面EAC,所以NB⊥平面 D EAC,所以GF⊥平面EAC, 1 又GFc平面EFC,所以平面EFC⊥平面； (2)解：取CD的中点H,由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，则∠ADC=60°， :△ADC是正三角形，.AH⊥CD,·AH⊥AB,又AE⊥平面ABCD, 所以以A为原点，AH,AB,AE为坐标轴建立空间直角坐标系， 设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°， 则D(V5,-1,0，B(0,2,0),C51,0,E(0,0,2),F(0,2,1,A0,0,0), 则设EM=EC=N5,1,-2=（V5元，元，-2元)，∴M(32,入，2-22)， 所以DM=(V3-5,2+1,2-2),BM=(3,元-2,2-22，BC=V5,-1,0, BF=(0,0,1, 设平面DBM的一个法向量为i=(x,y,z), 则 DM=0-3*+(+Dy+-20y=1 nBM=0 即 V32x+(2-2)y+(2-22)z=0 得（经别 22-1 平面4BCD的法向量可以为m=(00,1,cos<元m汁历 元-1 |m 2， 架-子所以则a V311 -442 i·BC=0 [3a-b=0 设平面BCF的一个法向量为w=(a,b,c,则 即 u.BF=0’ c=0 取a=1,得4=1,5,0，所以点M到平面BCF的距离d= i.CM3 4 16.(15分) (1)由ab(a2+b2-c2)=4AC.BC可得ab.2 abcos C=4AC.BC=4 bacos C, 故2abc0sC=4cosC,由于△ABC为锐角三角形，所以c0sC≠0，故2ab=4,故 (2)由a2+b2-c2=2 abcosC可得sin2A+sin2B-sin2C=2 sin Asin BcosC, sin2 4+sin2 B+sin2 C=2sin Asin BcosC+2sin2 C=2sin Asin B cos C+2-2cos2 C =2cos C(sin Asin B-cos C)+2=2cosC(sin Asin B+cos(A+B))+2=2cos C cos Acos B+2, 2 结合sin2A+sin2B+sin2C=2+cos Acos B,故2cosC=1, 电于△ABC为锐角三角形，故C所以Sc三)absin C=T x2x5v5 2 2 2 17.(15分) (1)记事件M:甲连胜四场，则P(M）= (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为 1)4 P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4x 1 =4 所以，需要进行第五场比赛的概率为P=1-P'=4: 3 (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M:甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、 BCABC、BCBAC, 所以，甲赢的概率为P(M 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 97 所以丙赢的概率为P(N)=1-2× 3216 18.(17分) 解：(1)由题设知，a2=b2+c2,e=c,由点(l,e)在椭圆上，得 12e2 a LE是+SB+caB>a=aB→6，Ca V3 由点(e, 在椭圆上，得 2 3 2 c2,（2 23× =1→ =1→ b2 1 1+1>a-4a2+4-0→a2=2 令椭圆的方程为+y=1, (2)由(1)得F(-1,0),E1,0),又：AEI, .设AE、BE的方程分别为my=x+1,my=x-1,Ax,),B(x2:2),>0,2>0 :2+-1m+22-2m-10→片m+v2m+2 m2+2 my=x +1 所以优-+1P+以-0F-产+=+1.+m+2_(m++mm+.① m2+2 m2+2 同理，B5,=】 2(m2+1-mNm2+1 .② m2+2 D由02得，A-BR,=2mm.解2mN㎡打_6得m2. m2+2 m2+22 :注意到m>0,m=√2. ·直线A的斜率为上-2 m 2 :4R上PaPF水+H AF PF AF AF :PF-AF +BF BE 由点B在椭圆上知，BR,+BF,=2V5,:PF=5E22-B那，). AF+BF, 同理.PF= B,(22-AR. AF+BF .PE+PE=- Fi-6小a5-j-a5-8股 AF+BF, 由①②得，AE+BF= 22(m+1,4F=m+ m2+2 m2+2 明25-9- PF+PF是定值. 19.(17分) (1)设8)=f"(x刘，g(x=1+x （1+x-ln(1+y_1-n1+d, (1+x (1+x) 由g'(x)=0可得x=e-1,当x∈(-1，e-1)时，g'(x>0,gx)单调递增， 当x∈e-1,+o)时，g'x<0,gx单调递减， 所以四的最大植为f川e-小-日 (2)因为了a-n1t@,所以直线的方程为y-八a=+a 1+a nl+a叫(x-al,即 2 _(tal(x-a)+f(a), 1+a 设h(x)=f(x) mfital(x-a)+f(a),)ma()-(o). 1+a 1+x1+a 由(1)可知，f'(x在x∈(-1，e-1上单调递增，而-1<a<0, 所以，当-1<x<a时，h'(x<0,hx单调递减，当0>x>a时，h'(x>0,hx单 调递增，且f'(a<f'(0)=0, 而当x≥0时，对-血1+之0，所以总有f≥f川a,x)单调递增 1+x 故h(x≥h(a,从而命题得证； )解法-：由题意，直线y=训x-a)+圹a,直线y=0x-a叫+f川ay 所以x=- ata,车=fla)fla]+a,当>0时，=1t到>0，f到在 fa 1+x (0,+o）上单调递增，所以f(a)>f(0)=0,f'(a>0, 2a-[f(af'(a+a]- f(a) +a 所以2a--五= f(a -[f"(a]+1 =-1+ 2 x2-X1 f(a)f"(a)+a- f(a)ra [f']+1[f(a]+i f"(a) 由1可得当a>0断，@)e0,所以 nr-n, 所以 解法二：由f(=血1+可设x=血！++C,又f0)=0,所以C=0,即 1+x 2 fx)=血1+过 2 国为宝德狗方起方-小，，sa, 2 、所以直线的方程为y产hn11+ax-a+白 hi-aolg. (1+a)In(1+a)In(1+a) -n1+a+a.所以2a--= 2 2(1+a_(1+a2-ln2(1+a) x,=21+a叫 x(1+a).(1+a)I(1+a)I2(1+a)+(1+a)2 2(1+a 2 1-(1+a) 1+a-1-ga-1+2 h1+a+11+g(a -1+i+ga由(1)知，当x>0时，8(e0,,所以 (1+a 时u: 2 2025—2026学年度上学期2023级 第三次周练数学试卷 命题人：刘芳 审题人：肖述友 考试时间：2025年11月7日 —————————祝考试顺利！———————— 一、单选题 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则 A． B． C．4 D．8 3．展开式中二项式系数最大的是，则不可能是 A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知等差数列{an}的公差为，集合，若，则 A．－1 B． C．0 D． 6．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，,则“”是“” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为,若三棱锥外接球的表面积为,则该三棱锥体积的最大值等于 A． B． C． D． 8．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的 取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题 9．Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在，使得，则 A． B．是数列{an}的公比 C． D．{an}可能为常数列 10．已知a>0，圆C：，则 A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切 B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等 C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点 D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分 11．已知函数，则下列说法正确的有 A．对任意的均有两个零点 B．若方程有两实根，则 C．若正实数s, t满足，则 D．若，则 三、填空题 12．已知函数是奇函数，则实数 ． 13．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆 为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 14．已知，若存在，使得对于，都有，则的最小值 为 ． 四、解答题 15．（13分） 如图多面体中，四边形是菱形，，平面，， （1）证明：平面平面； （2）在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 16．（15分） 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求ab； （2）若，求的面积． 17．（15分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 18．（17分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线BF2平行，与交于点P． （i）若，求直线的斜率； （ii）求证：是定值． 19．（17分） 已知函数f (x)的定义域是，导函数，设是曲线y = f (x)在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线y = f (x)在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是x1, x2，若，求的取值范围． 4 3 学科网（北京）股份有限公司 8 1 学科网（北京）股份有限公司 $