湖北武汉市第十二中学2026届高三下学期考前模拟数学试卷

**基本信息** 高三冲刺模拟卷整合文化传承（如《算数书》圆锥体积）、新定义（期待数列）及跨学科情境（医学概率），通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、函数性质、数列、立体几何|结合《算数书》考查圆锥体积公式推导，体现文化传承| |多选题|3题|复数、立体几何、新定义数列|以“期待数列”考查逻辑推理，融合等差等比性质| |填空题|3题|导数切线、向量运算、函数单调性|注重数学运算与几何直观的基础应用| |解答题|5题|三角函数、立体几何、数列与函数、解析几何、概率统计|跨学科设计医学细菌扩散模型（第19题），综合考查数学建模与数据分析；空间几何题（第16题）融合体积计算与二面角求解，体现空间观念|

高三冲刺模拟试卷2026.05.09 一、单选题 1．已知集合，,则（ ） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则 A． B． C． D． 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为 A． B． C． D． 5．设函数．若存在的最值点满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足： ①； ②对所有，且，有. 若对所有，，则k的最小值为 A． B． C． D． 8．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（） 若    A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 二、多选题 9．已知复数，则下列说法正确的有（    ） A．的虚部为 B． C． D． 10．如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 11．设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②；则下列说法正确的是（    ） A．若等比数列为的“期待数列”，则公比 B．若等差数列既是的“期待数列”又是递增数列，则公差 C．记阶“期待数列”的前项和为，则 D．若存在，使得阶“期待数列”的前项和，则数列总不能为阶“期待数列” 三、填空题 12．设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____． 13.已知向量，则 。 14．若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______. 四、解答题 15．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 -5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值并写出取得最小值时函数的单调增区间. 16．如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为． (1)证明：为的中点； (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小． 17．设是等比数列的各项和，其中，，. (1)求的解析式； (2)证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且； (3)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明. 18．已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，. （Ⅰ）求直线的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围. 19．医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为. (1)若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列. (2)医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射.第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为（为常数，且）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗.在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比. （i）若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求； （ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三冲刺模拟试卷2026.05.09 一、单选题 1．已知集合，,则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由已知得， 因为， 所以，故选A． 2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 3．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、判断数列的增减性 【详解】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C. 考点：1.等差数列的概念；2.递减数列. 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间几何体 【详解】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，， 所以，即的近似值为，故选B. 考点：《算数书》中的近似计算，容易题. 5．设函数．若存在的最值点满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据为函数的最值点，得出，，，再将存在性条件转化为求的最小值，最后解不等式即可. 【详解】因为为函数的最值点， 所以，，，. 有， 若存在的最值点满足， 则，， 解得或. 故实数的取值范围为. 故选：B. 6．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、基本（均值）不等式的应用 【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为. 7．已知定义在上的函数满足： ①； ②对所有，且，有. 若对所有，，则k的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用 【详解】试题分析：不妨令，则 法一： ， 即得， 另一方面，当时，，符合题意， 当时，， 故 法二：当时，， 当时， ， 故 考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式. 8．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（） 若    A． 是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断等差数列 【详解】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半， 即，由题目中条件可知的长度为定值， 那么我们需要知道的关系式， 由于和两个垂足构成了直角梯形， 那么， 其中为两条线的夹角，即为定值， 那么， ， 作差后：，都为定值，所以为定值．故选A． 二、多选题 9．已知复数，则下列说法正确的有（    ） A．的虚部为 B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【详解】，的虚部为，则选项A错误；，则选项B错误； ，则选项C正确；，则选项D正确. 10．如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.55 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、正棱柱及其有关计算 【分析】由球表面积求得，由几何关系，正三棱柱的性质，三棱柱的体积公式及基本不等式结合选项分别判断即可求解． 【详解】由已知球表面积为得半径， 对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确； 对于B，由几何关系得，即， 代入，得，故B正确； 对于C，若，则，体积，故C错误； 对于D，由得， 侧面积， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，故D正确． 11．设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②；则下列说法正确的是（    ） A．若等比数列为的“期待数列”，则公比 B．若等差数列既是的“期待数列”又是递增数列，则公差 C．记阶“期待数列”的前项和为，则 D．若存在，使得阶“期待数列”的前项和，则数列总不能为阶“期待数列” 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】求等比数列前n项和、数列新定义、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由阶“期待数列”定义，当，结合已知条件①求得等比数列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以，判断A；设出等差数列的公差，结合①②求出公差，再由前项和为求出首项，则等差数列的通项公式，判断B；由阶“期待数列”前项中所有的和为0，所有项的绝对值之和为1，求得所有非负项的和为，所有负项的和为，判断C；借助于C中结论知，数列的前项和为，且满足，再由，得到，从而说明与不能同时成立，判断D． 【详解】对于A，若，则由①， 由，所以，得， 由②得或,满足题意， 若，由①得,，得，与选项为等比数列矛盾， 综上所述，故A正确； 对于B，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 因为，所以由，得， 由题中的①、②得，， 两式相减得, 即，故B错误； 对于C，记中非负项和为,负项和为， 则，得， 因为，所以，故C正确； 对于D，若存在，使，由前面的证明过程知： ，且， 记数列的前项和为，若为阶“期待数列”， 则由C知，，所以， 因为，所以， 所以，， 又, 则， 所以， 所以与不能同时成立， 所以对于有穷数列,若存在，使， 则数列不能为阶“期待数列”，故D正确． 三、填空题 12．设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知切线（斜率）求参数 【详解】设. 对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义． 13.已知向量，则 。 解略 14．若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【详解】解法一：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，． 解法二：由， 令， 则， 因为函数在区间内是减函数， 所以在递减， 又的对称轴为，且开口向下， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题 15．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 -5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值并写出取得最小值时函数的单调增区间. 【答案】（1）表格见详解，；（2）， 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、相位变换及解析式特征、由图象确定正（余）弦型函数解析式、利用正弦函数的对称性求参数 【解析】（1）根据表中已知数据可得：，，从而解得，即可得解； （2）求出，令，可求出，根据，可求得最小值．再令，解出即可得的单调增区间. 【详解】解：（1）根据表中已知数据可得：，， 解得．数据补全如下表： 0 x 0 5 0 -5 0 且函数表达式为； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度， 得， 又图象的一个对称中心为， ，解得， ，则当时，取得最小值且为， 此时， 令， 解得， 函数的单调增区间为. 【点睛】本题主要考查了由的部分点确定其解析式，考查正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查. 16．如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为． (1)证明：为的中点； (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行、求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用面面平行，证明线线平行，进而得到，进而证明为的中点； （2）连接，四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，分别求出和，可得答案； （3）在中，作，垂足为，连接，为平面与底面所成二面角的平面角，然后，计算可得，进而得到. 【详解】（1）证明：四棱柱中，四边形为梯形，， 平面平面， 平面与面和平面的交线平行， ， ， 为的中点； （2） 解：连接，设， 梯形的高为， 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为， 设，则， ， ， 棱柱， 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积之比 （3）解：在中，作，垂足为，连接， 则平面， ， 为平面与底面所成二面角的平面角， ， ， 梯形的面积为， ， ， ， 平面与底面所成二面角的大小为． 17．设是等比数列的各项和，其中，，. (1)求的解析式； (2)证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且； (3)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析，证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、零点存在性定理的应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）分类讨论与且两种情况讨论，再由等比数列的前项和公式即可求得； （2）由，结合零点存在定理及的单调性，再将零点代入即可得证. （3）先根据题意写出， 法一：构造函数，再结合导数放缩，研究函数单调性，推导出大小关系，得出结论；法二：运用数学归纳法进行推导验证，得出结论；法三：逐项构造差值函数，再分类分析差值的单调性，最后汇总差值和的符号，得出结论. 【详解】（1）若，则， 若且，则. 综上，. （2），则， 由（1）可知，， ， 所以在内至少存在一个零点. ， 又，故在内单调递增， 所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点， 所以，即，得，整理得. （3）由题可知，等比数列的首项为，末项为，项数为，故等差数列的各项和. 法一：由题可知，， 设. 当时，， 当时，. 若，则，当且仅当时取等号，因此有： . 若，同理可得. 所以在上递增，在上递减， 所以当时，，即，即. 综上所述，当时，；当时，. 法二：由题可知，，，. 当时，； 当时，用数学归纳法可以证明. 当时，，所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，. 又， 令（）， 则， 所以当，在上递减； 当，，在上递增. 所以，从而， 故.即，不等式也成立， 所以，对于一切的整数，都有. 综上所述，当时，；当时，. 法三：由已知，记等差数列为，等比数列为，. 则，， 所以，， 令，，. 当时，，所以； 当时，， 而，所以，. 若，，， 当，，， 从而在上递减，在上递增. 所以，所以当且时，， 又，，故 综上所述，当时，；当时，. 18．已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，. （Ⅰ）求直线的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围 【详解】（Ⅰ） 由已知有，又由，可得，， 设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有 ，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得 ，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为 （Ⅲ）设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得 或， 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得. ①当时，有，因此，于是，得 ②当时，有，因此，于是，得 综上，直线的斜率的取值范围是 考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 19．医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为. (1)若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列. (2)医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射.第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为（为常数，且）.细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗.在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比. （i）若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求； （ii）若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.3 【知识点】独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （2）（i）对为奇数和偶数进行分类讨论，分析细菌移动到原点时向左、右、上、下移动的次数，结合独立重复试验的概率公式可得出的表达式； （ii）求出的表达式，设函数，分析函数的单调性，可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合，可得出的取值范围. 【详解】（1）随机变量的可能取值为、、， ，，， 所以的分布列为 （2）（i）细菌在奇数次移动后不可能回到原点，所以. 若，且细菌在次移动后要到达原点， 则分别向左、右移动次，分别向上、下移动次. 因为 ， （对于的证明如下：现有一个装有个白球和个黑球的盒子里， 从这个盒子里抽取个球，所有的情况有：个黑球、个白球个黑球、 个白球个黑球、、个白球，所以.） 所以. 综上，. （ii）由题意得. 因为，所以， 所以. 设函数. 由 ， ， 即， 得， 则， 所以是减函数，. 当，即时，，得，不符合题意. 当，即时，，， 得，即，故的取值范围为. 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $