3.3 函数的奇偶性与周期性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性与周期性核心考点，以定义、性质结论为基础，按判断、求参、求值、周期性应用等7大题型系统架构知识网络，通过考点梳理、方法提炼、真题训练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义以题型为载体创新教学方法，如题型1通过定义法、图像法、性质法多维判断奇偶性，培养学生数学思维与推理能力。设置高考真题与分层练习，配合方法指导，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§3.3 函数的奇偶性与周期性·复习讲义 目录 题型1：函数奇偶性的判断 4 题型2：已知函数奇偶性求参数 5 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 6 题型4：已知f(x)=奇函数+k 7 题型5：利用奇偶性解不等式 8 题型6：函数的周期性及应用 9 题型7：类周期函数 9 1. 函数的奇偶性 (1) 奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 提醒 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称. (2) 奇偶性的常用结论 ①若奇函数在处有定义，则必有；偶函数必满足； ②奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. ③既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； ④若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. 2. 周期性 (1) 周期函数：如果函数是周期函数，那么能找到一个非零常数，使得对定义域内的任意值都成立，称为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． (3) 重要结论 对定义域内任一自变量的值： ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. ⑤若，则. ⑥有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由 得，∴ ⑦如果函数的周期为，则函数的周期为； ⑧若为周期函数，则复合函数也是周期函数. 3. 类周期函数 (1) 若为非零常数), 则． (2) 若为非零常数), 则． (3) 若为非零常数)， 则 (4) 若 则 或 (5) 类周期函数图像作法 我们往往知道其在（或）上的解析式，先作出函数在上的图像，并将此图像通过伸缩/平移变换得到，各个区间上的图像. 例： 题型1：函数奇偶性的判断 方法提炼 判断函数奇偶性的三种方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 【例1.1.】 （2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【例1.2.】 以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2：已知函数奇偶性求参数 方法提炼 (1) 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，对于在处有定义的奇函数，可考虑列等式求解. (2) 在解决选择题、填空题时，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【例2.1.】 （2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【例2.2.】 已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【例2.3.】 已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2.4.】 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 方法提炼 (1) 求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出的解析式，或充分利用奇偶性构造关于的方程式（组），从而得到的解析式. (2) 求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 【例3.1.】 （2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【例3.2.】 设是奇函数，且，则______． 【例3.3.】 已知是偶函数，且当时，，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 【例3.4.】 已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 题型4：已知f(x)=奇函数+k 方法提炼 已知(为常数)，则 (1) . (2) . 【例4.1.】 若对，有，求的最大值与最小值之和是 A．4 B．6 C．8 D．10 【例4.2.】 已知函数，（），若，则_________． 【例4.3.】 已知，．求______． 【例4.4.】 已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则__________. 【例4.5.】 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型5：利用奇偶性解不等式 方法提炼 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用，将问题转化到区间上求解. 【例5.1.】 已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【例5.2.】 已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【例5.3.】 已知函数，则不等式的解集为__________. 【例5.4.】 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【例5.5.】 设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 题型6：函数的周期性及应用 【例6.1.】 （2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【例6.2.】 （2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【例6.5.】 已知定义在上的函数满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【例6.6.】 已知函数的定义域为，且，，则（） A．1 B．0 C． D． 题型7：类周期函数 【例7.1.】 定义在上的函数满足，，，且当时，，则______． 【例7.2.】 定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为__________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.3 函数的奇偶性与周期性·复习讲义 目录 题型1：函数奇偶性的判断 4 题型2：已知函数奇偶性求参数 7 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 10 题型4：已知f(x)=奇函数+k 16 题型5：利用奇偶性解不等式 19 题型6：函数的周期性及应用 24 题型7：类周期函数 28 1. 函数的奇偶性 (1) 奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 提醒 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称. (2) 奇偶性的常用结论 ①若奇函数在处有定义，则必有；偶函数必满足； ②奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. ③既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； ④若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. 2. 周期性 (1) 周期函数：如果函数是周期函数，那么能找到一个非零常数，使得对定义域内的任意值都成立，称为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． (3) 重要结论 对定义域内任一自变量的值： ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. ⑤若，则. ⑥有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由 得，∴ ⑦如果函数的周期为，则函数的周期为； ⑧若为周期函数，则复合函数也是周期函数. 3. 类周期函数 (1) 若为非零常数), 则． (2) 若为非零常数), 则． (3) 若为非零常数)， 则 (4) 若 则 或 (5) 类周期函数图像作法 我们往往知道其在（或）上的解析式，先作出函数在上的图像，并将此图像通过伸缩/平移变换得到，各个区间上的图像. 例： 题型1：函数奇偶性的判断 方法提炼 判断函数奇偶性的三种方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 【例1.1.】 （2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 【例1.2.】 以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 【例1.3.】 下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】对于A选项，，定义域关于原点对称，，为偶函数，故A选项错误； 对于B选项，，，为非奇非偶函数，故B选项错误； 对于C选项，为偶函数，故C选项错误； 对于D选项，为奇函数，故D选项正确. 【例1.4.】 已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 题型2：已知函数奇偶性求参数 方法提炼 (1) 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，对于在处有定义的奇函数，可考虑列等式求解. (2) 在解决选择题、填空题时，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【例2.1.】 （2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 【例2.2.】 已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 【例2.3.】 已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 【例2.4.】 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 方法提炼 (1) 求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出的解析式，或充分利用奇偶性构造关于的方程式（组），从而得到的解析式. (2) 求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 【例3.1.】 （2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【难度】0.15 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、函数新定义 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 【例3.2.】 设是奇函数，且，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【详解】因为是奇函数，且， 所以，即. 【例3.3.】 已知是偶函数，且当时，，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】先利用偶函数的性质求出时的表达式，再将求和式转化为对数的和，利用对数运算性质化简. 【详解】设，则，由是偶函数， 得. 即时，. 则. 【例3.4.】 已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】由条件结合偶函数定义证明为偶函数，设，结合奇函数性质求，由此可得结论. 【详解】 已知， 令，则， 原式可化为，因此是偶函数， 设，由题知是奇函数， 故，即 ，又， 所以 代入得： . 题型4：已知f(x)=奇函数+k 方法提炼 已知(为常数)，则 (1) . (2) . 【例4.1.】 若对，有，求的最大值与最小值之和是 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、函数的最值 【分析】先求出的值,再根据函数对称性的定义判断出函数图象关于点对称,即最大值与最小值也关于对称,从而最大值与最小值的和为;再根据函数的奇偶性的定义判断出为奇函数,即函数图象关于点对称,即最大值与最小值也关于对称,从而最大值与最小值的和为得出选项. 【详解】令,则,,即为奇函数,图象关于原点对称,因此最大值与最小值的和为;令,可得,令则,可得,即函数图象关于点对称,故最大值与最小值的和为,综上所述,函数的最大值与最小值之和为,故选B. 【例4.2.】 已知函数，（），若，则_________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】设函数，得出为奇函数，利用奇函数的性质即可求解． 【详解】设函数，定义域为， 因为， 所以为上奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：1． 【例4.3.】 已知，．求______． 【答案】 【难度】0.71 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性即可求解. 【详解】令， 因为恒成立，所以的定义域为， 且， 故为奇函数， 从而， 即，因为， 所以． 【例4.4.】 已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则__________. 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】分离常数，易得关于对称，即可求解 【详解】.因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4. 故答案为：4. 【例4.5.】 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得转化为，进而解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，函数 设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即函数为奇函数， 设，则， ，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数， 又为增函数，所以在区间上为增函数， 不等式即为， 也即， 所以，解得. 故选：A. 题型5：利用奇偶性解不等式 方法提炼 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用，将问题转化到区间上求解. 【例5.1.】 已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 【例5.2.】 已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性求参数值 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 【例5.3.】 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 【例5.4.】 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 【例5.5.】 设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】先利用奇偶函数的性质，结合已知条件求出和的表达式，再代入不等式化简求解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：. 化简可得，即，即， 解得：. 所以不等式的解集为. 故选：D 【例5.6.】 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.53 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 题型6：函数的周期性及应用 【例6.1.】 （2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【例6.2.】 （2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 【例6.3.】 已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、对数的运算、由奇偶性求函数解析式 【分析】由题意知得出函数周期，由奇函数的性质得出时的解析式，结合对数恒等式即可求解． 【详解】由题意得，，对称轴为直线，则， 所以，所以， 所以，则的周期， 因为，所以， 又当时，，函数是定义在上的奇函数， 所以时，， 所以， 故选：A． 【例6.4.】 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的应用 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且， 由题意知，即，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为当时，，且 所以. 故选：C. 【例6.5.】 已知定义在上的函数满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性 【分析】根据得到函数的周期，结合周期函数求值即可. 【详解】由得，， 所以， 所以，因此函数的周期为6. 所以. 【例6.6.】 已知函数的定义域为，且，，则（） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数周期性的应用 【分析】利用已知条件变换先计算周期，算出一个周期内的值，然后根据周期性求结果即可. 【详解】因为，由， 令，则， 即①， 所以②， ①②相加得：， 所以， 所以函数的一个周期为6， 令，则， 令，则， 又， 所以， ， 所以 所以由周期性得： ， 故选：D. 题型7：类周期函数 【例7.1.】 定义在上的函数满足，，，且当时，，则______． 【答案】/0.25 【难度】0.15 【知识点】函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】解法一：应用赋值法得出，再结合已知得出函数值；解法二：直接根据等比阶梯函数图象解题. 【详解】解法一：根据题意，函数满足， 令可得，即， 又由，令可得， 再令可得； 在中，令可得，即， 又因为，令可得， 则有，又由且当时，，则． 所以. 解法二：函数以为对称中心，横坐标每缩小，纵坐标缩小， 直接根据等比阶梯函数图象如图， 由，则． 故答案为：． 【例7.2.】 定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、函数基本性质的综合应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    【例7.3.】 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、解分段函数不等式、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围. 【详解】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 【例7.4.】 已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解. 【详解】当时，则， 所以，即， 当时，则， 所以，即， 则， 当时，则， 所以，即， 画出的图象如下：      由图象可知，当时，方程在区间内有实数解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $