2.3 函数的奇偶性、周期性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数奇偶性、周期性核心考点，依据课标要求构建从概念几何意义到性质应用的知识体系，通过考点梳理（如奇偶性判定方法、周期性公式）、方法指导（性质综合应用策略）、真题训练（分考点例题与练习题）的教学流程，帮助学生系统突破高考热点难点。 讲义采用多维探究与分层练习设计，如在奇偶性应用中通过求值、解不等式角度培养逻辑推理能力，结合函数图象分析强化直观想象。设置基础、能力、拓广三级练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2．3　函数的奇偶性、周期性 课标要求 考情分析 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用．函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点，常以选择题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 1．(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ C．y＝|ln x| D．y＝2|x| 解析　A选项，f(x)为奇函数，C选项，f(x)的定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数．故选BD. 答案　BD 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选B. 答案　B 3．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 解析　偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，得f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).对照选项，A正确． 答案　A 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________． 解析　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝. 答案　 5．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________． 解析　由题意知f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝－1. 答案　－1 考点一　函数奇偶性的判断　重难考点　师生共研 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ [解析]　(1)由 得－2＜x＜2， 即函数f(x)的定义域是{x|－2＜x＜2}，关于原点对称． 因此f(x)＝＝lg (4－x2)， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数． (2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)方法一(定义法)　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 方法二(图象法)　如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 判定函数奇偶性的两种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln |1＋x| 解析　对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝tan (－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数． 答案　AC 2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析　由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2， 故f(0)＝－2. 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2， 故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]. 故f(x)＋2为奇函数． 答案　奇 考点二　函数的奇偶性的应用　多维探究　发散思维 角度1　利用奇偶性求值(解析式) (1)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝(　　) A．－＋2 B．1 C．＋2 D．3 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2－x＋1，则函数f(x)的解析式为________________． [解析]　(1)∵函数f(x)是偶函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，∴f＝f＝2sin ＝.又∵当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x， ∴f(4)＝log24＝2，∴f＋f(4)＝＋2. (2)当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋x＋1＝x2＋x＋1，因为f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋x＋1， 所以f(x)＝－x2－x－1，综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝ [答案]　(1)C　(2)f(x)＝ 角度2　利用奇偶性解不等式 若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(2，5) B．(－∞，－1)∪(0，5) C．(－1，0)∪(2，5) D．(－1，0)∪(5，＋∞) [解析]　因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0， 所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)<0， 当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0， 所以由xf(x－2)<0， 可得或 解得－1<x<0或2<x<5， 即x的取值范围为(－1，0)∪(2，5). [答案]　C 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解 析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函 数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参 数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不 等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解 1．已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝________． 解析　因为f(x)＋g(x)＝2·3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2·3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2·3－x，则两式相加得，2f(x)＝2·3x＋2·3－x，所以f(x)＝3x＋3－x. 答案　3x＋3－x 3．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是________． 解析　f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1.又f(x)是增函数，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3. 答案　[－1，3] 考点三　函数的周期性　重难考点　师生共研 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________． [解析]　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2025＝6×337＋3，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝337×1＋1＋2－1＝339. [答案]　339 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2027)＝0 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 解析　f(2027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误．故选AB. 答案　AB 2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m＝________． 解析　因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝ 所以f＝f＝＋2×＋m＝－＋m， f＝＝，所以＝－＋m⇒m＝1. 答案　1 A级　基础过关 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝3x 解析　对于A，因为sin (－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于B，因为cos (－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于C，因为(－x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确．综上所述，选B. 答案　B 2．已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则f(2025)＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析　由f(x＋3)＝得f(x)的周期T＝6，f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝. 答案　B 3．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x对称 解析　由题意知 f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 答案　B 4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．1 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4. 答案　A 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析　由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log24＝2. 答案　C 6．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1) C．f(2)＜f(－1)＜f(1) D．f(－1)＜f(2)＜f(1) 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)＜f(2)＜f(1). 答案　D 7．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝________． 解析　因为f(x)为偶函数， 所以所以 解得经检验，符合题意， 所以2a＋b＝. 答案　 8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________． 解析　令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，依题意，g(x)＝f(x)＋8，而g(－3)＋g(3)＝0，则 f(－3)＋8＋f(3)＋8＝0，又f(－3)＝5，所以f(3)＝－21. 答案　－21 B级　能力提升 9．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　) A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5) C．f(x＋3)＝f(x－1) D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1 解析　因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A、B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，所以C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，故f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确． 答案　ABC 10．函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A．e B． C．2 D．2 解析　由题意可得解得f(x)＝，因为f(x)＝≥＝，当且仅当ex＝5e－x，即x＝ln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B. 答案　B 11．(2025·菏泽模拟)已知f(x)＝xh(x)，其中h(x)是奇函数且在R上为增函数，则(　　) 解析　由于h(x)是奇函数且在R上为增函数，故h(0)＝0， 当x>0时，h(x)>h(0)＝0，且f(x)＝xh(x)为偶函数，且f(x)＝xh(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 答案　C 12．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2024)＝1 C．当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0，2023]内有1011个零点 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的一个周期为4，故A正确；f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝1，故B正确；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2021)＝f(2023)＝0，于是函数f(x)在[0，2023]内有1012个零点，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 13．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)＞0的解集是________． 解析　因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)＞f(1－ln x)，也即ln x＞1－ln x，整理得ln x＞，解得x＞，故不等式的解集为(，＋∞). 答案　(，＋∞) 14．已知函数f(x)＝在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________． 解析　f(x)＝＝＝＋1，令g(x)＝f(x)－1＝，则g(－x)＝－＝－g(x)，所以函数g(x)在[－3，3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，所以M＋N＝2. 答案　2 C级　拓广探索 15．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析　因为f(1)＝1， 所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)， 所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，① 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).② 由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 故f(x＋3)＋f(x)＝0， 所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2. 令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1. 由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A． 答案　A 16．设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)都成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 解析　(1)因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P. 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝cos x对于任意x∈R， f(x＋T)＝Af(x)成立， 所以y＝cos x具有性质P. (2)设x∈(－π，0]，则x＋π∈(0，π]， 由题意得，f(x＋π)＝2f(x)＝sin (x＋π)， 所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]， 由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)， 得f(－π)＝f(π)＝0， 所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x， 所以当x＝－时，f(x)在[－π，0]上有最大值f＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．3　函数的奇偶性、周期性 课标要求 考情分析 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用．函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点，常以选择题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 1．(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ C．y＝|ln x| D．y＝2|x| 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 3．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________． 5．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________． 考点一　函数奇偶性的判断　重难考点　师生共研 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 判定函数奇偶性的两种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln |1＋x| 2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 考点二　函数的奇偶性的应用　多维探究　发散思维 角度1　利用奇偶性求值(解析式) (1)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝(　　) A．－＋2 B．1 C．＋2 D．3 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2－x＋1，则函数f(x)的解析式为________________． 角度2　利用奇偶性解不等式 若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(2，5) B．(－∞，－1)∪(0，5) C．(－1，0)∪(2，5) D．(－1，0)∪(5，＋∞) 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解 析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函 数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参 数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不 等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解 1．已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝________． 3．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是________． 考点三　函数的周期性　重难考点　师生共研 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________． 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2027)＝0 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m＝________． A级　基础过关 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝3x 2．已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则f(2025)＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 3．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x对称 4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－.若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．1 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 6．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1) C．f(2)＜f(－1)＜f(1) D．f(－1)＜f(2)＜f(1) 7．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝________． 8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________． B级　能力提升 9．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　) A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5) 10．函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A．e B． C．2 D．2 11．已知f(x)＝xh(x)，其中h(x)是奇函数且在R上为增函数，则(　　) 12．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2024)＝1 C．当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0，2023]内有1011个零点 13．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)＞0的解集是________． 14．已知函数f(x)＝在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________． C级　拓广探索 15．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 16．设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)都成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $