第二章 课时3 函数的奇偶性与周期性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的奇偶性与周期性核心考点，按概念内涵、性质应用、抽象拓展的逻辑层次梳理知识，通过知识梳理构建体系，基础回顾夯实根基，考点扫描（含例析与对点训练）突破重难点，形成系统性复习路径。 讲义突出数学抽象与逻辑推理素养培养，如奇偶性判断中结合定义辨析与运算性质归纳，周期性应用中通过周期结论推导强化推理能力。设置分层练习与真题演练（含2026模拟题及新高考真题），助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰框架，提升学生应考能力。

课时3 函数的奇偶性与周期性 一、课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用． 二、知识梳理 1．偶函数、奇函数的概念 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数就叫作偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数就叫作奇函数． 2．奇、偶函数的图象特点 偶函数的图象关于 对称，奇函数的图象关于 对称． 3．函数的周期性 （1）对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫作周期函数，T叫作这个函数的周期． （2）如果在周期函数f(x)的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作的 正周期． 【拓展知识】 1． 函数奇偶性的常用结论： （1）如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有. （2）如果函数是偶函数，那么． （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （4）运算性质 ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． 2．函数周期性的常用结论： 对的定义域内任一自变量x的值 (1) 若，则； (2) 若，则； (3) 若，则． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若是定义在上的奇函数，则. （ ） （2）对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝f(2)，则函数y＝f(x)是偶函数． （ ） （3）函数既是奇函数又是偶函数. （ ） （4）若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.（ ） 2．四个函数，，，中，奇函数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（多选题）下列函数的图象关于轴对称的有 （ ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，___________． 四、考点扫描 考点一 函数奇偶性的判断 例1 （1）(2026·安徽合肥市调研)设函数的定义域均为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 （2）(多选题) (2026·浙江衢州市联考)下列函数是奇函数的有(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D． 规律方法： 对点训练 (1)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． （2）(多选题)下列命题正确的有(　　) A.图象过坐标原点的函数是奇函数 B.函数y＝xsin x是偶函数 C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D.函数y＝是奇函数 考点二 函数奇偶性的应用 考向1 利用奇偶性求值 例2 （1） (2026·广东一模)已知定义在R上的奇函数f(x)= 则g(－1)=　　　　.  （2）已知函数f(x)=x7－ax5+bx3+cx+2.若f(－3)=－3，则f(3)=　　　　.  对点训练 （1）(2026·四川成都市蓉城联盟联考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，+∞)时，f(x)=则f(f(－2))=　　　　.  （2）(2026·广东广州市质检)已知y=f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x2+ax，且f(3)=6，则a的值为　　　　　　，f(－2)=　　　　.  考向2 奇偶性与单调性 例3 (1) 已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A.(1，3) B.(3，＋∞) C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞) （2）已知奇函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=3，则满足－3≤f(1－x)≤3的x的取值范围是(　　) A.[0，2] B.[－1，3] C.[－2，0] D.[－1，5] 规律方法： 对点训练 （1）(2026·福建龙岩市模拟)已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0成立.若a＝f()，b＝f(－1)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 考点三 函数的周期性及应用 例4 （1）已知函数f(x)满足f(2+x)=－f(x)，且当2≤x≤3时，f(x)=x2－x，则f(2 026)=(　　) A.0 B.2 C.6 D.20 （2）(多选题)已知非常数函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则有(　　) A．f(2)＝0 B．f(x＋4)为偶函数 C．f(x)为周期函数 D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称 规律方法： 对点训练 (1)（2026·新高考Ⅰ卷）设是定义在R上且周期为2的偶函数，且当时，，则　　 A． B． C． D． (2)(2026·广东深圳市模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 拓展与延伸3 抽象函数的对称性与周期性 一、考情分析 高考中通过对抽象函数的性质的应用，考查直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 二、知识梳理 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性． (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f －f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f . (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)； ②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或； ③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或； ④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f ＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)； ⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝，来源于sin 2α－sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； ⑥余弦函数f(x)＝cos x，对应f(x)＋f(y)＝2f  f ，来源于cos α＋cos β＝2cos ·cos ； ⑦正切函数f(x)＝tan x，对应，来源于tan(α±β)＝. 三、考点扫描 考点一 抽象函数的对称性 例1 (2026·河南洛阳市高三期中)已知函数y=f(x)的图象过点P(1，－2)，则函数y=－f(－x)的图象必过点　　　　.  考点二 抽象函数的周期性 例2 （2026·陕西渭南市模拟）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点三 抽象函数与不等式 例3 (2024·新课标I卷)已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、巩固提升 1.(2026·广东广州市调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 026)=(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 2.设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f ＝(　 　) A． B． C．－ D．－ 3. 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 4. (多选题)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数.下列叙述正确的有(　　) A.f(1)=0 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(3)=0 5. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(x)在[2，+∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为　　　　　　　　.  课时3 函数的奇偶性与周期性参考答案 二、知识梳理 1．(1) (2) 2．y轴 原点 3．(1) 非零常数 (2) 最小 三、基础回顾 1． （1）√ 【解析】正确. （2）× 【解析】如f(x)＝x(x+2)(x－2)不是偶函数. （3）× 【解析】定义域不关于原点对称. （4）√ 【解析】正确. 2．C 【解析】 由奇函数的定义可知，为奇函数.故选C. 3．BC 【解析】 由题意，可得图象关于轴对称的函数为偶函数．，定义域为，不关于原点对称，A不具奇偶性；为幂函数，显然B为偶函数；，定义域为，，则C为偶函数；，定义域为，不关于原点对称，D不具奇偶性．故选BC. 4. 【解析】 因为为奇函数，当时，， 所以当时，， ，即时，． 四、考点扫描 例1（1）C 【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为R； 因为是奇函数，是偶函数，所以. 对于选项A，，故是奇函数，即A错误； 对于选项B，，故是偶函数，即B错误； 对于选项C，，故是奇函数，即C正确； 对于选项D，，故是偶函数，即D错误. 故选C. （2）ACD 【解析】对于选项A，函数的定义域为，关于原点对称， 且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数； 对于选项B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数； 对于选项C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数； 对于选项D，对任意的，，则，所以函数的定义域为， 对任意的，， 所以， 所以，故函数为奇函数.故选ACD. 对点训练（1） B 【解析】对于选项A，函数的定义域为R，且满足， 所以其为偶函数，在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意； 对于选项B，设，函数的定义域为R， 且满足，所以函数为偶函数， 当时，为单调递增函数，故B符合题意； 对于选项C，函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意； 对于选项D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又函数在上单调递减，故D不符合题意.故选B. （2）BC 【解析】对于选项A，函数f(x)＝x2的图象过坐标原点，但不是奇函数，所以A不正确； 对于选项B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)， 所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于选项C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R， 且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)， 所以函数为奇函数，所以C正确； 对于选项D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1， 所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确.故选BC. 例2 （1） 　－2 【解析】　由题意知f(x)为R上的奇函数， 所以g(－1)=f(－1)=－f(1)=－1－1=－2. （2）　7 【解析】　令g(x)=x7－ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数， 所以f(－3)=g(－3)+2=－g(3)+2. 又f(－3)=－3，所以g(3)=5. 又f(3)=g(3)+2，所以f(3)=5+2=7. 对点训练 （1）　1 【解析】　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)=f(2)=0，所以f(f(－2))=f(0)=1. （2）　5；－6 【解析】　因为f(x)是奇函数，所以f(－3)=－f(3)=－6， 所以(－3)2+a(－3)=－6，解得a=5.f(－2)=(－2)2+5×(－2)=－6. 例3（1）D 【解析】偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增. 因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)， 所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞). 当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)， 所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集. 综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞).故选D. （2）　B 【解析】　由f(x)为奇函数，得f(－2)=－f(2)=－3，且f(0)=0， 所以不等式－3≤f(1－x)≤3等价于f(－2)≤f(1－x)≤f(2). 根据已知f(x)在[0，+∞)上单调递增，以及奇函数的对称性， 可知f(x)在R上单调递增， 所以－2≤1－x≤2，解得－1≤x≤3.故选B. 对点训练 （1） D 【解析】因为函数为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于直线对称. 又因为函数定义域为，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增， 所以由得，，解得.故选D. （2）B 【解析】由题意得，偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. b＝f(－1)＝f(1)，()6＝8，＝e2 .因为8>e2，所以>， 又>1，所以f()<f()<f(－1)，所以a<c<b.故选B. 例4 （1）　B 【解析】　因为f(x+4)=－f(x+2)=f(x)， 所以f(x)的一个周期为4， 所以f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=22－2=2.故选B. （2）ACD 【解析】因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确； 又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确； 又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确； 因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确．故选ACD. 对点训练 （1） A 【解析】根据题意可得．故选A． （2）D 【解析】因为f(x)的周期为3， f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1. 又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2. 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.故选D. 拓展与延伸3 抽象函数的对称性与周期性 三、考点扫描 例1 　(－1，2) 【解析】　y=f(x)与y=－f(－x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象过点P(1，－2)， 则函数y=－f(－x)的图象必过点(－1，2). 例2 C 【解析】因为，所以，所以的周期为6. 又因为为奇函数，所以，即，即，令，则，即 所以，故选C. 例3 B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确.故选B. 四、巩固提升 1.　B 【解析】　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0. 又f(x+2)=f(x)，所以2是f(x)的一个周期，所以f(2 026)=f(0)=0.故选B. 2. B 【解析】由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0 ①. 由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②. 根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4， 所以f ＝f ＝－f ＝2×－2＝.故选B. 3.　A 【解析】　设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y=f(4－x)的图象上. 而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x=1对称， 所以函数y=f(x+2)与y=f(4－x)的图象关于直线x=1对称.故选A. 4.　ACD 【解析】　因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)=－f(－x+1)，则可推出f(x)的图象关于点(1，0)对称，即f(1)=0，故A正确，B错误；因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(－x+2)，则f(x)的图象关于直线x=2对称，故C正确；由f(1)=0且f(x)的图象关于直线x=2对称知，f(3)=f(1)=0，故D正确.故选ACD. 5. (－1，1) 【解析】　因为f(x+2)是偶函数， 所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称. 又f(x)在[2，+∞)上单调递减， 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增. 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， 所以－x2>－1，即x2<1，所以－1<x<1， 所以原不等式的解集为(－1，1). . 学科网（北京）股份有限公司 $