2027届高考一轮复习----§3.3 函数的奇偶性与周期性·专项训练

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，以7类题型构建从概念判断到综合应用的递进训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性判断|多题|结合单调性、图像考查奇偶性定义辨析|从奇偶性概念生成到性质识别| |求参数|多题|利用奇偶性定义列方程求解参数|概念应用于定量计算| |求值/解析式|多题|奇函数对称性及解析式补全|性质迁移解决逆向问题| |奇函数+k模型|多题|最值关系与常数项关联|奇偶性与函数最值逻辑推导| |解不等式|多题|奇偶性与单调性综合应用|性质融合构建解题模型| |周期性应用|多题|周期定义及奇偶性周期综合|周期性概念到实际求值| |类周期函数|多题|递推关系与图像变换|周期概念拓展与创新应用|

§3.3 函数的奇偶性与周期性·专项训练 目录 题型1：函数奇偶性的判断 2 题型2：已知函数奇偶性求参数 6 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 8 题型4：已知f(x)=奇函数+k 10 题型5：利用奇偶性解不等式 12 题型6：函数的周期性及应用 16 题型7：类周期函数 19 题型1：函数奇偶性的判断 【例1.1.】 下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，单调性即可求解. 【详解】对于A，为指数函数， 是非奇非偶函数且在定义域内单调递减，故A选项错误； 对于B，，故为偶函数， 当时，， 由对数函数性质可知在内单调递增，故B选项正确； 对于C，为正切函数，是奇函数， 由正切函数性质可知在区间上单调递增，但在定义域内不具有单调性， 如，，但，故C选项错误； 对于D选项，，， 因为，所以为奇函数， 根据幂函数的相关性质得在定义域内单调递增，故D选项错误. 【例1.2.】 若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 【例1.3.】 下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 【例1.4.】 已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 【例1.5.】 已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 题型2：已知函数奇偶性求参数 【例2.1.】 已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】求函数值、指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 【例2.2.】 已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【难度】0.72 【知识点】由奇偶性求参数、对数的运算性质的应用 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数，再验证该参数下． 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 【例2.3.】 已知函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由题意可得对均成立，计算可求得实数的值. 【详解】若，则，函数无意义，故， 由，解得，所以函数的定义域为 因为函数是奇函数，所以对均成立， 即对均成立， 所以对均成立， 所以对均成立， 所以对均成立， 因为，所以对均成立，所以. 故选：D. 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 【例3.1.】 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 【例3.2.】 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的应用 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 【例3.3.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据题意，由函数是定义在上的奇函数，得到，求得当时，的解析式，进而求得的解析式，得到答案. 【详解】设，可得， 因为当时，，可得， 又因为是定义在上的奇函数，则， 所以当时，可得， 所以在上的解析式为 故答案为：. 【例3.4.】 已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 题型4：已知f(x)=奇函数+k 【例4.1.】 若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【难度】0.78 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】根据关于对称即可求解. 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 【例4.2.】 已知函数且，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用 【详解】函数且， 所以，即, 所以 【例4.3.】 已知函数，且，则________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的应用 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】令， 则，所以， 因为， 所以， 所以. 【例4.4.】 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为： 题型5：利用奇偶性解不等式 【例5.1.】 已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先利用奇函数定义域含时及求出参数，再将函数变形判断单调性，最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，解得． 【例5.2.】 定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围． 【详解】当时，，， 又是定义在上的偶函数，所以， 所以，如图所示， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是． 【例5.3.】 已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.57 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】求解的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，. 【例5.4.】 已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、对数的运算性质的应用 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 【例5.5.】 已知定义域为的偶函数，则的解集为_______． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】由题可知，解得，所以的定义域为， 又，所以， 即在上恒成立，所以， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，解得或， 所以的解集为. 题型6：函数的周期性及应用 【例6.1.】 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】因为是周期为2的偶函数，所以， 因为当时，，所以. 【例6.2.】 已知定义在R上的函数满足，且，则 ______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值 【分析】利用条件可得，由此可得函数是周期为8的函数，故转化为，利用求解可得. 【详解】由可得， 所以， 所以， 所以是周期为8的函数，所以， 又，故. 【例6.3.】 已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 【例6.4.】 已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】∵为偶函数，∴， 又是定义域为的奇函数，∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个周期为20的周期函数， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【例6.5.】 已知函数的定义域为，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用 【分析】先判断函数的奇偶性，然后研究函数的周期性，再结合赋值法表示出，利用周期性即可得到问题的答案. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令代，可得， 联立，可得， 所以是定义在奇函数，所以， 由，令代， 可得， 因为，所以， 令代，，则， 令代，则， 所以函数是周期为6的周期函数. 由， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 所以， ， 所以. 故选：B. 题型7：类周期函数 【例7.1.】 设函数的定义域为，满足，且当时，．______；若对任意，都有，则的取值范围是______． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数与方程的综合应用 【分析】结合函数满足的性质以及当时，，即可求得；利用函数的性质推得其解析式，作出其大致图象，数形结合，求解不等式，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故由得， 由此作出函数的大致图象如图：    当时，令，解得或， 结合图象解不等式，可得或， 由于对任意，都有，故， 故答案为：， 【例7.2.】 定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、函数不等式恒成立问题、函数图象的应用 【分析】由，根据，可得依此类推，作出函数的图象，结合图象即可求解． 【详解】因为当时，，所以， 因为，当时，即时， 由，所以， 同理可得 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：当时，令，则， 对任意，都有，则 故的取值范围为， 故答案为： 【例7.3.】 已知函数如果函数恰有2个不同的零点，那么实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【解析】根据题意，分析函数的解析式，作出其在区间，上的图象，而的函数图象是过定点的直线；若函数恰有2个不同的零点，则函数与直线有2个交点，结合图象分析可得答案． 【详解】解：根据题意， 由函数的解析式， 在区间，上， ； 当时， ，， 则区间，上， ； 当时，，，则区间，上， ； 当时，，，则区间，上， ； 当时，，，则区间，上， ， 在区间，，， 其图象如图： 的函数图象是过定点的直线， 若函数恰有2个不同的零点， 则函数与直线有2个交点， 当直线经过点，可得， 即有，满足题意； 当直线经过点，可得； 当直线经过点，可得， 即有，满足题意． 综上可得的范围是． 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.3 函数的奇偶性与周期性·专项训练 目录 题型1：函数奇偶性的判断 2 题型2：已知函数奇偶性求参数 3 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 3 题型4：已知f(x)=奇函数+k 4 题型5：利用奇偶性解不等式 4 题型6：函数的周期性及应用 5 题型7：类周期函数 5 题型1：函数奇偶性的判断 【例1.1.】 下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【例1.2.】 若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 题型2：已知函数奇偶性求参数 【例2.1.】 已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【例2.2.】 已知函数为偶函数，则________． 【例2.3.】 已知函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型3：根据函数奇偶性求值（解析式） 【例3.1.】 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【例3.2.】 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【例3.3.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为______ 【例3.4.】 已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 题型4：已知f(x)=奇函数+k 【例4.1.】 若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【例4.2.】 已知函数且，则的值为______． 【例4.3.】 已知函数，且，则________． 【例4.4.】 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 题型5：利用奇偶性解不等式 【例5.1.】 已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知定义域为的偶函数，则的解集为_______． 题型6：函数的周期性及应用 【例6.1.】 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 【例6.2.】 已知定义在R上的函数满足，且，则 ______. 【例6.3.】 已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【例6.4.】 已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 【例6.5.】 已知函数的定义域为，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型7：类周期函数 【例7.1.】 设函数的定义域为，满足，且当时，．______；若对任意，都有，则的取值范围是______． 【例7.2.】 定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________． 【例7.3.】 已知函数如果函数恰有2个不同的零点，那么实数的取值范围是________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $