第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，以定义为根基，通过判定、性质应用及综合计算构建方法体系，逻辑链清晰，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1-5题|定义法判定奇偶性、周期推导公式|从奇偶性定义（f(-x)与f(x)关系）到周期性判定（f(x+T)递推）| |性质应用|6-8题|奇偶性与单调性结合、参数求解技巧|性质推导（定义域对称、f(0)=0）到参数计算（a,b值求解）| |综合计算|9-14题|周期证明、区间转化求解析式|综合应用（跨区间解析式、零点求和），体现概念→性质→应用逻辑链|

课时分层测评9　函数的奇偶性、周期性 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.已知函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案：B 解析：f(x)的定义域是{x｜x≠0}，f(－x)＝－(x3－)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，当x＞0时，y＝x3单调递增，y＝－单调递增.故函数f(x)＝x3－在x＞0时单调递增.故选B. 2.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则f(2 025)＝(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案：B 解析：由f(x＋3)＝得f(x)的周期T＝6，f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝.故选B. 3.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝x3－2 026sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案：A 解析：由题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A. 4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3) 答案：A 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选A. 5.(多选)已知f(x)＝cos 2 027x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为(　　) A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x)＝＋ D.g(x)＝ln 答案：BD 解析：因为f(x)＝cos 2 027x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域是(－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域是R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；对于C，定义域是R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln，而g(－x)＋g(x)＝ln＋ln＝0，符合题意.故选BD. 6.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 026)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 027]内有1 013个零点 答案：AC 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A正确；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 025)＝f(2 027)＝0，于是函数f(x)在[0，2 027]内有1 014个零点，故D错误.故选AC. 7.(多题同解)(1)若f(x)＝(＋1)x2 027为偶函数，则a＝　　　　. (2)(一题多解)若函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则a＝　　　　. 答案：(1)1　(2) 解析：(1)函数f(x)＝(＋1)x2 027的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为偶函数，则g(x)＝＋1是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即(＋1)＋(＋1)＝－＋2＝0，所以a＋1＝2，解得a＝1. (2)法一：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，即＝，所以＝＝，即x－ax＝ax，解得a＝. 法二：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＝－，整理解得a＝.经验证，当a＝时，f(x)是奇函数. 法三：f(x)＝＝＝.因为y＝sin x是奇函数，又f(x)是奇函数，所以函数y＝e－ax＋e(1－a)x是偶函数，所以－a＋(1－a)＝0，解得a＝. 8.已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝　　　　. 答案：8 解析：因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8. 9.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026). 解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， 所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4) ＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0， f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.若函数f(x)＝m(ex－e－x)＋nln(x＋)＋1(m，n为常数)在[1，3]上有最大值7，则函数f(x)在[－3，－1]上(　　) A.有最小值－5 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值－7 答案：A 解析：设g(x)＝f(x)－1＝m(ex－e－x)＋nln(x＋)，因为＞＝｜x｜，所以x＋＞0恒成立，所以g(x)的定义域是R，关于原点对称.又g(－x)＝m(－ex)＋nln(－x＋)＝－m(ex－)＋nln ＝－[m(ex－)＋nln(x＋)]＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.因为f(x)在[1，3]上有最大值7，所以g(x)在[1，3]上有最大值6，所以g(x)在[－3，－1]上有最小值－6，所以f(x)在[－3，－1]上有最小值－5.故选A. 11.(多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足(　　) A.f(0)＝0 B.y＝f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x－1)＋f(x2－1)＞0的解集为{x｜－2＜x＜1} 答案：AD 解析：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数，故B错误；对于C，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2).因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，所以f(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)＞0，可得f(x－1)＞－f(x2－1)＝f(1－x2).又函数f(x)在R上单调递减，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f(x－1)＋f(x2－1)＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.故选AD. 12.(15分)已知f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f(x)＝. (1)求函数f(x)的表达式； (2)判断并证明函数f(x)在区间[0，1]上的单调性； (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0. 解：(1)当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，因为f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－，因此f(x)＝ (2)函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 证明如下：设x1，x2是[0，1]上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，易知当x∈[0，1]时，f(x)＝－， 于是f(x1)－f(x2)＝－－(－)＝. 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. (3)因为偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒解得a∈⌀， 所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集. (每小题5分，共10分) 13.已知函数f(x)＝x3＋，若f(a)＋f(a－2 026)＝0，则实数a＝　　　　　　. 答案：1 013 解析：因为f(x)＝x3＋，定义域是R，所以f(－x)＝－x3－＝－f(x)，即f(x)为奇函数.因为f(x)＝x3＋在R上单调递增，若f(a)＋f(a－2 026)＝0，则f(a)＝－f(a－2 026)＝f(2 026－a)，所以a＝2 026－a，即a＝1 013. 14.若函数f(x)＝log4(＋1)＋(x＋a)2满足f(｜x｜)＋｜x｜＝f(x)＋x，则a＝　　　　. 答案：－1 解析：函数f(x)满足f(｜x｜)＋｜x｜＝f(x)＋x，则y＝f(x)＋x是偶函数，所以f(x)－f(－x)＋2x＝0，即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0，所以a＝－1. 学生用书⬇第33页 学科网（北京）股份有限公司 $