第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，通过定义应用、性质推导及综合迁移构建解题体系，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性基础|1-3,5-6,8-9|定义法判断奇偶性、定义域对称性求参数、奇函数f(0)=0|从奇偶性定义到定义域特征，再到函数值计算| |周期性应用|4,7,11|赋值法推导周期、周期函数性质应用|由周期定义通过赋值推导，结合奇偶性求解析式| |性质综合|10,12-15|奇偶性+单调性比较大小、分段函数性质分析|多性质融合，通过转化思想解决综合问题|

课时测评8　函数的奇偶性、周期性 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的函数是(　　) A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=-x2+1 D．y=2-|x| 答案：B 解析：y=|x|+1是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，符合题意.故选B． 2.已知定义域为[a-4，2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2，则f(a)+f(b)=(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 答案：A 解析：依题意得a-4+2a-2=0，解得a=2，由f(0)=b+2=0，得b=-2，所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故选A． 3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)是增函数，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(-3)>f(-2) B．f(π)>f(-2)>f(-3) C．f(π)<f(-3)<f(-2) D．f(π)<f(-2)<f(-3) 答案：A 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(-3)>f(-2).故选A． 4.( 2026·广西南宁模拟)已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)-f(x)=f(1)，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=(　　) A．0 B．6 C．8 D．16 答案：C 解析：因为f(x)为偶函数，f(x+2)-f(x)=f(1)，所以f(-1+2)-f(-1)=f(1)，解得f(1)=0，所以f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)=f(0)=8，f(99)=f(1)=0，故f(99)+f(100)=8.故选C． 5.(多选)已知f(x)=cos 2 027x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为(　　) A．g(x)=lg B．g(x)=3x-3-x C．g(x)=+ D．g(x)=ln 答案：BD 解析：因为f(x)=cos 2 027x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即g(-x)=-g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域为(-1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域为R，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(-x)=+=+=-≠-g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(-x)=ln，而g(-x)+g(x)=ln+ln=0，符合题意.故选BD． 6.(多选)( 2026·广东湛江检测)已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|≥2 B．当x<0时，f(x)=-x2-2x-3 C．x=1是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)在(-∞，-1)上单调递增 答案：ABD 解析：当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+2x+3=-f(x)， 所以f(x)=-x2-2x-3， 所以f(x)= 作出f(x)的图象如图所示.由图可知f(x)∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，所以|f(x)|≥2，故A正确；当x<0时，f(x)=-x2-2x-3，故B正确；由图象可知x=1显然不是f(x)图象的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(-∞，-1)上单调递增，故D正确.故选ABD． 7. (一题多解)(2026·河南郑州名校联考)函数f=-log2是偶函数，则a的值为　　　　.  答案： 解析：法一：因为f是偶函数，所以f-f(-x)=8ax-log2=x=0，所以a=. 法二：由f=-log2，得f=4x2+a2-1+4ax-log2，设g=4x2+a2-1，h(x)=4ax-log2，易知g是偶函数，当h(x)=4ax-log2(23x+1)是偶函数时，函数f才能是偶函数，所以h(x)=log224ax-log2=log2=log2是偶函数，所以(3-4a)+(-4a)=0，解得a=. 8.( 2026·广东潮州模拟)已知函数f(x)=ln+m+1(其中e是自然对数的底数，e=2.718…)是奇函数，则实数m的值为　　　　.  答案：-1 解析：对于函数f(x)=ln+m+1，>0，解得x<-1或x>1，所以函数f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，因为函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，即f(-x)+f(x)=0，即ln+ln+2m+2=ln+ln+2m+2=2m+2=0，解得m=-1. 9.若函数f(x)=ex-e-x，则不等式f(ln x)+f(ln x-1)>0的解集是　　　　.  答案： 解析：因为f(x)=ex-e-x，定义域为R，且f(-x)=-=-f(x)，故其为奇函数，又y=ex，y=-e-x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)>f(1-ln x)，也即ln x>1-ln x，整理得ln x>，解得x>，故不等式的解集为. 10.(13分)已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值；(6分) (2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围.(7分) 解：(1)设x<0，则-x>0， 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 于是x<0时，f(x)=x2+2x=x2+mx， 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 11.(14分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(3分) (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(5分) (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026).(6分) 解：(1)证明：因为f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2， 所以f(x)=x2+2x. 又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]， 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0， f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0， f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=f(0)+f(1)+f(2)=1， 所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026)=1. (每小题6分，共12分) 12. (知识融合)函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+2ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A．e B． C．2 D．2 答案：B 解析：由题意可得解得f(x)=，因为f(x)=≥=，当且仅当ex=5e-x，即x=ln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B． 13．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．f(2 026)＝1 C．当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D．函数f(x)在[0，2 027]内有1 013个零点 答案：AC 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的一个周期为4，故A正确；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 025)＝f(2 027)＝0，于是函数f(x)在[0，2 027]内有1 014个零点，故D错误．故选AC. (每小题8分，共16分) 14.(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，且f(1)=1，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)=2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)=-1 答案：ABD 解析：因为∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，取x=1，y=0可得f(1)+f(1)=f(1)f(0)，又f(1)=1，所以f(0)=2，故A正确；取x=0，y=x可得f(x)+f(-x)=f(0)f(x)，因为f(0)=2，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故C错误，B正确；取x=1，y=1可得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，又f(1)=1，f(0)=2，所以f(2)=-1，故D正确.故选ABD． 15.(新考法)已知函数f(x)=在区间[-3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M+N的值为　　　　.  答案：2 解析：f(x)===+1，令g(x)=f(x)-1=，则g(-x)=-=-g(x)，所以函数g(x)在[-3，3]上为奇函数，则g(x)max+g(x)min=0，即M-1+N-1=0，所以M+N=2. 学科网（北京）股份有限公司 $