第04讲 有理数的加法和减法（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第4讲 有理数的加法和减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 有理数的加法 题型 2 有理数的减法 题型 3 省略加法和括号和的形式 题型 4 有理数的加减混合运算 题型 5 运用加法运算律进行简便计算 题型 6 有理数加减法与数轴的综合 题型 7 有理数加减法与相反数、绝对值的综合 题型 8 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 题型 9 有理数加减法的程序计算题 题型 10 有理数加减法的新定义运算问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数加法法则、加法交换律、加法结合律、有理数减法、减去一个数等于加它的相反数、代数和 1. 理理解有理数加法意义，熟练运用同号、异号、与 0 相加的加法法则计算。 2.掌握加法交换律、结合律，能简便运算，简化多个有理数连加计算。 3.掌握有理数减法法则，将减法统一转化为加法运算。 4.能把加减混合算式写成省略括号和加号的代数和形式，并规范计算。 学习重点：有理数加法、减法运算法则；加减混合运算转化为代数和计算。 学习难点：异号两数相加时符号与绝对值的处理；多重括号的化简、利用运算律凑整简便计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的加法 ◆有理数的加法法则： 1.两个负数相加，结果是负数，并把它们的绝对值相加． 2.异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对 值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． 【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 即时即练下列说法正确的是（　　） A．两数之和大于每一个加数 B．两数之和一定大于两数绝对值的和 C．两数之和一定小于两数绝对值的和 D．两数之和一定不大于两数绝对值的和 【分析】可以利用特殊值法判断． 【详解】解：A、由﹣1+2＝1，1＞﹣1，1＜2知，选项A不符合题意； B、由﹣1+2＝1＜|﹣1|+|2|＝3知，选项B不符合题意； C、由1+2＝3＝|1|+|2|＝3知，选项C不符合题意； D、由﹣1+（﹣2）＝﹣3＜|﹣1|+|﹣2|＝3，结合B、C选项知，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算法则“同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”．本题可用特殊值法判断，也可以利用分类讨论的思想进行判断． 知识点02 有理数的加法运算律 ◆1、有理数的加法交换律： 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即a + b = b + a. ◆2、有理数的加法结合律： 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). 即时即练利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433） ＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433] ＝﹣1000； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5 ＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）] ＝0+4.7+（﹣2.8） ＝1.9． 【点睛】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． 知识点03 有理数的减法 ◆1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为： ◆2、方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 即时即练下列计算结果正确的是（　　） A．﹣3﹣7＝﹣3+7＝4 B．4.5﹣6.8＝6.8﹣4.5＝2.3 C．﹣2﹣（）＝﹣22 D．﹣3﹣（）＝﹣32 【分析】根据有理数的减法法则，可以计算出各个选项中式子的正确结果，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：﹣3﹣7＝﹣3+（﹣7）＝﹣10，故选项A错误，不符合题意； 4.5﹣6.8＝﹣（6.8﹣4.5）＝﹣2.3，故选项B错误，不符合题意； ﹣2﹣（）＝﹣21，故选项C错误，不符合题意； ﹣3﹣（）＝﹣32，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 知识点04 有理数的加减混合运算 ◆有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) ◆2、方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 即时即练计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，掌握利用运算律进行简便运算是解本题的关键； （1）去括号，运用加法交换律和加法结合律，再把符号相同的两数先加，再计算即可； （2）运用加法交换律和加法结合律，把分母相同的两数先加，再计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ． 题型1 有理数的加法 【例1】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）长沙2025体育中考“一分钟仰卧起坐”项目女生满分标准是每分钟45次，若把47次记为，则应把43次记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用等知识点，理解正负数表示相反意义是解题的关键． 以满分标准是每分钟45次，正数表示超过满分次数，负数表示不足满分次数．据此列式运用有理数减法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意，满分标准是每分钟45次，把47次记为， 则正数表示超过满分次数，负数表示不足满分次数， 所以应把43次记为． 故选B． 【技巧归纳】 有理数加法运算的步骤： 1. 先判断类型（同号、异号等）； 2. 再确定和的符号； 3. 最后进行绝对值的加减运算. 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2表示的计算过程是． 【变式1-2】18（2026·湖南长沙·一模）某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目规定的正负意义，将初始温度和两次温度变化转化为正确的有理数加法算式，即可选出正确选项. 【详解】解：∵题目规定温度下调记为负，上调记为正，初始温度为， ∴下调记为，上调记为， ∴调整后冷库的温度为：. 【变式1-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）先去绝对值符号再进行相加即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型2 有理数的减法 【例2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 根据有理数的减法进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题. 【变式2-1】（23-24七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）如图，数轴上一点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点．若点表示的数为，则点表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的平移规律，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上的平移规律，先计算点表示的数，再计算点表示的数即可． 【详解】解：∵点向右移动个单位长度到达点， ∴点向左移动个单位长度到达点， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数为， ∵点向左移动个单位长度到达点， ∴点向右移动个单位长度到达点， ∴点表示的数为， 故选：D． 【变式2-2】某地区某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为 ． 【答案】 【分析】用最高气温减去最低气温进行计算即可. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意准确列出算式是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型3 省略加法和括号和的形式 【例3】将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 【技巧归纳】 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加； （4）按有理数加法法则计算． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则去掉括号，即可求解． 【详解】解：将写成省略加号和括号的形式为． 故选：C． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）把写成省略括号的和的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据去括号法则：括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【详解】解：写成省略括号和加号和的形式为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减，解题的关键是： （1）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （2）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型4 有理数的加减混合运算 【例4】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 【技巧归纳】 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加； （4）按有理数加法法则计算． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据有理数的加减运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【答案】 任务1：有理数的减法运算法则 三，将误算为 任务2：正确的解答过程见解析． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数加法运算律． 任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数减法的运算法则；根据运算法则逐步检查，即可求解； 任务2：按照运算法则，结合有理数加法运算律，写出正确的解答过程即可． 【详解】解：任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数的减法运算法则， 故答案为：有理数的减法运算法则． ， ∴运算从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是将误算为， 故答案为：三，将误算为． 解：任务2： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（）根据有理数的加法法则和加法运算律即可得出答案； （）根据有理数的加减法法则和加法运算律即可得出答案； （）根据有理数的加减法法则和加法运算律即可得出答案； （）根据有理数的加减法法则和加法运算律即可得出答案； 本题考查了有理数加减混合运算及运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型5运用加法运算律进行简便计算 【例5】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 【技巧归纳】 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断． 【详解】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用加法的结合律简化计算是解题的关键．先利用加法的结合律得，再进行计算即可． 【详解】 ， 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 题型6 有理数加减法与数轴的综合 【例6】有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可知，，再利用绝对值不相等的异号的两数相加取绝对值较大的加数的符号可判断的符号，较小的数减去较大的数差为负数，可判断的符号，从而可得答案. 【详解】解：由数轴可知，， ∴， 所以A，C，D错误，不符合题意，B符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数加法运算中和的符号的确定，有理数的差的运算中差的符号的确定，熟悉加减法的运算法则是解题的关键. 【技巧归纳】 用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值. 【变式6-1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知a，b是有理数，，，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（　　　） A. B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质化简即可判断． 【详解】解：∵|a+b|=-（a+b），|a-b|=a-b， ∴a+b≤0，a-b≥0， ∴a≥b， A．由图知，a＞0，b＞0，所以a+b＞0，所以此选项不合题意； B．由图知，a＜0，b＜0，a＞b，所以a+b＜0，所以此选项符合题意； C．由图知，a＜0，b＞0，a＜b，所以此选项不合题意； D．由图知，a＞0，b＜0，|a|＞|b|，所以a+b＞0，所以此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练化简绝对值符号是解答此题的关键． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，有理数的减法和加法，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． 由数轴得出 ，再根据有理数的加减运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴知， ，，，， 上述选项中，A选项错误， 故选：A． 【变式6-3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，再向右移动个单位长度至点C，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据移动时点所表示数的变化规律进行计算即可． （2）根据移动时点所表示数的变化规律进行计算即可． （3）根据题意，求出运动的时间，据此得出点N表示的数，最后求出点M和点N之间的距离即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为点A表示的数是， 所以点A向右移动5个单位长度得到点表示的数为：． 故答案为：2． （2）解：因为点B表示的数是， 所以将点B向左移动7个单位长度得到点D表示的数为：， 再向右移动个单位长度得到点C表示的数为：． 故答案为：． （3）解：由题知， 点M运动的时间为：（秒）， 则点N表示的数为：， 所以点M和点N之间的距离是：． 题型7 有理数加减法与相反数、绝对值的综合 【例7】已知，且，则的值等于（    ） A．1或 B．5或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，由可得 ，；结合可知x 与 y 异号，分两种情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ x 与 y 异号， 当时，，则 ， 当 时，，则， ∴的值为1或． 故选：A． 【技巧归纳】 1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0； 2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0. 3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）若有理数x、y满足，，且，则（　　） A．8 B．2 C．2或8 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的意义、有理数的加法运算及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义、有理数的加法运算及代数式的值是解题的关键；由可知，再结合，，筛选出满足的情况，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴ 当时，， 当时，； 故选C． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，关键是熟练应用知识点解题； 根据绝对值的定义，结合条件 ，排除不满足的情况，计算 的值． 【详解】解：∵ ，∴ 或， ∵ ，∴ 或 ， 又∵ ， ∴或 当时，； 当时，； ∴的值为或 ； 故选 ：B． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)8或2； 【分析】本题主要考查绝对值、有理数的加法、有理数的减法，熟练掌握绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的减法法则是解决本题的关键． （1）根据绝对值的定义、有理数的加法法则解决此题． （2）根据绝对值的定义、有理数的减法解决此题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； ∴； （2）∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴当，则，此时或； 当，则不存在， 综上所述：为8或2； 题型8 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 【例8】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）2025年湖南省足球联赛，也就是首届“湘超联赛”，正在三湘大地如火如荼地开展，联赛深化体教融合，根据规程，每场比赛中，中学生球员同时上场不少于3人．某足球队加强训练，备战“湘超”，在一次训练中，足球队的守门员小湘同学练习折返跑，从球门线出发，向前跑的距离记作正数，返回跑的距离记作负数，教练对其往返跑的记录如下：（单位：米），，，，，，，． (1)通过计算判断小湘最后是否回到了球门线？ (2)这次折返跑练习中，小湘一共跑了多少米？ 【答案】(1)小湘最后回到了球门线 (2)这次折返跑练习中，小湘一共跑了60米 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数的加减混合运算的实际应用； （1）把记录的数据相加，再根据结果进行判断即可； （2）求解记录数据的绝对值之和即可． 【详解】（1）解：． 答：小湘最后回到了球门线． （2）解：． 答：这次折返跑练习中，小湘一共跑了60米． 【技巧归纳】 用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等. 【变式8-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）今年，越来越多的无人配送车出现在长沙街头，走进我们的生活．据统计，在深圳核心区域，80台无人车相当于替代了35名人力及35台传统接驳车辆．某无人配送车从快递公司出发，先向西行驶到达小区，继续向西行驶到达小区，然后向东行驶到达小区，最后回到快递公司．若以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴（如图）． (1)请在图中的数轴上表示三个小区的位置； (2)求小区和小区之间的距离； (3)哪个小区离快递公司最远？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)C小区和A小区之间的距离为5km (3)B小区离快递公司最远．理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数加减法的实际应用． （1）先求出A小区在数轴上表示的数为，进而求出B小区在数轴上表示的数为，则可求出C小区在数轴上表示的数为3，据此在数轴上表示出A，B，C三个小区的位置即可； （2）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）比较A小区， B小区，C小区到快递公司的距离，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：C小区和A小区之间的距离为； （3）解：B小区离快递公司最远． 理由如下：∵， ∴B小区离快递公司最远． 【变式8-2】某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)B地在A地南方，相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，列代数式，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加，然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解：， 答：B地在A地南方，相距5千米； （2）解：， ∴(升)， 答：这天汽车共耗油升． 【变式8-3】哈市客运管理部门对“十一”假期前后七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下：（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）： 日期 变化/万人 5 20 10 (1)与9月30日相比，10月2日的客流量是_____（填“上升”或是“下降”）了； (2)与9月30日相比，10月7日的客流量变化了多少； (3)若9月30日日客流量为5万人，计算这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是多少万人． 【答案】(1)上升 (2)增加万人 (3)160万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，以及结合表格数据，进行列式，分析结果，即可作答． （2）把七天客流变化量相加，分析结果，即可作答． （3）算出每天的客流人量，再相加求出这七天客流量的总人数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴与9月30日相比，10月2日的客流量是上升了； （2）解：， ∴与9月30日相比，10月7日的客流量增加万人； （3）解：号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， ∴（万人）； 即这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是万人． 题型9 有理数加减法的程序计算题 【例9】按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（    ）    A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据程序运算图可进行分类求解． 【详解】解：当第一次输出结果为4时，由程序运算图可得：； 当第二次输出结果为4时，由程序运算图可得：； 当第三次输出结果为4时，由程序运算图可得：； ∴输入的数据不可能是； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解程序运算图． 【技巧归纳】 利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及程序图，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式，据此求解即可． 【详解】解：，故输出的结果为， 故答案为： 【变式9-2】按如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为______． 【答案】 【分析】按照程序，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 输出的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解程序是解题的关键． 【变式9-3】如图，这是一个运算程序，若输入，并按如图所示的程序运算，则输出的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据程序流程图列出算式，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．输入可得：结果为，不符合输出要求，再输入计算即可得到答案． 【详解】解：输入可得： ， 输入可得： ， ∴输出的数是； 故答案为： 题型10有理数加减法的新定义运算问题 【例10】（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了数字变化规律，有理数的加减运算，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，，，…； ，，，，… ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 【技巧归纳】 有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再进行计算即可． 【变式10-1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段检测）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为______． 【答案】 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键． 【变式10-2】已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法和减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义运算，先计算 的值，再与 进行加法运算． 【详解】由定义 ，得 ， 则 ． 故答案为：． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 【答案】(1)， (2) (3)0或1 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算． （1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分，，根据新定义的运算，得出关于m的方程，然后解方程即可； （3）分，，根据新定义的运算，得出关于n的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：因为，所以； 因为，所以． （2）解：已知，分情况讨论： 当，， ∴，但不满足，舍去；           当，， 所以，成立，所以．           综上：． （3）解：因为，所以，分情况讨论： 若，则，即， 又，所以，所以，即，无解；           若，则， 对于整数，使得，只需n为非负整数，所以或．           综上：n的值为0或1． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）小磊解题时，将式子变成了再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了加法运算律．根据题意即可判断运用了加法交换律和加法结合律． 【详解】解：将式子变成了再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：B 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数一正一负，且负数的绝对值大． 【详解】解：∵a+b＜0， ∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大， ∵a，b异号， ∴a、b异号，且负数的绝对值较大． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟知有理数加法运算法则是解本题的关键． 3．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）下表是某市一周星期一至星期四的天气情况，其中温差最大的一天是（   ） 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 气温 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法和有理数的大小比较，能分别求出星期一，星期二，星期三，星期四的温差是解此题的关键． 计算各天的温差（最高气温减最低气温），并比较大小． 【详解】解：星期一温差， 星期二温差， 星期三温差， 星期四温差， ∴ 温差最大为星期一， 故选：A． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则与分数的通分运算是解题的关键．分别计算、、的数值，再比较三者的关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ 故选：C． 5．若，，且，那么的值是（    ） A．5或1 B．5或 C．或13 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的化简计算，有理数的加减运算；根据，，且，得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴或 故选：D． 6．（23-24七年级上·四川南充·阶段检测）在数轴上点A表示，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数等于（　　） A．或1 B．或7 C．2或 D．1或 【答案】A 【分析】分两种情况，点A沿数轴向右移动时，点A沿数轴向左移动时，再根据有理数的加减法法则计算即可． 本题主要考查数轴上的动点问题，以及有理数的加减法法则． 【详解】解：分两种情况， ①点A沿数轴向右移动时，点B表示的数是； ②点A沿数轴向左移动时，点B表示的数是； 综上所述，点B表示的数是1或． 故选：A． 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）规定表示不超过的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义运算，理解新定义是解决本题的关键． 根据新定义运算，先求出m和n的值，再计算，最后取整即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示2和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和，由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为：， 故选：C． 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）若，且，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的意义，代数式的值及有理数的运算，熟练掌握绝对值的意义，代数式的值及有理数的运算是解题的关键；由和可知，再根据确定b的值，最后计算即可． 【详解】解：因为，且，所以，又因为，所以； 因此； 故答案为． 10．（25-26七年级上·江苏常州·期中）点在数轴上距原点 个单位长度，且位于原点左侧，若一个点从点 向右移动 个单位长度，再向左移动 个单位长度，此时终点所表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识,首先确定点A表示的有理数，再根据点在数轴上平移的特点得出答案。 【详解】解：根据题意，点A在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点左侧，则点A表示的数为， 一个点从点A向右移动4个单位长度，此时该点表示的数为， 再向左移动5个单位长度，此时终点所表示的数为， 故答案为：. 11．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将，5，7，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：设剩下两个圆圈的数字分别为，由题意得： ， ∴， 当时，此时，则有，（符合题意）， 当时，此时，则有，（符合题意）， 当时，此时剩下的的差最大为，前后矛盾，故不符合题意； 故答案为或． 12．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加减的运算法则是解题的关键， （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先去绝对值，再利用有理数加减混合运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 13．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【答案】(1)离出发点3千米，在出发点正东方向 (2)4千米 【分析】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键． （1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点的距离； （2）用减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程． 【详解】（1）解： （千米）； 答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向； （2）解： （千米）． 答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米． 14．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 15．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥圆圆好帅一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”， 下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋6 ＋12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元，再加上每送一单能获得3元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【答案】(1)单 (2)单 (3)元 【分析】本题考查正负数的意义和有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）通过比较送餐量的增减值找出最多和最少的一天，并求差； （2）以每天50单为基准，加上总增减值得到总送餐量； （3）计算底薪和送餐酬劳的总和； 【详解】（1）送餐量最多的一天为周四，增减值为，实际送餐量为（单）； 送餐量最少的一天为周五，增减值为，实际送餐量为（单）； （单）． 这一周送餐量最多的一天比最少的一天多单． （2）总增减值为（单），基准送餐量为（单）， 总送餐量为单）； 答：该外卖小哥这一周一共送餐单． （3）底薪收入为（元），送餐酬劳为（元）， 总收入为（元）； 答：外卖小哥这一周的收入为元． 16．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； (4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)4；3 (2)；1或 (3)，0，1，2 (4)2，y的值为4 【分析】本题考查数轴与绝对值，有理数的加减计算，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （3）根据数轴上两点间的距离的意义解答； （4）根据数轴上两点间的距离的意义解答． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：4；3 （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； ∵， ∴， 解得：或1； 故答案为：；1或； （3）解：根据题意得：表示数轴上表示x的点到表示的点和到表示2的点的距离之和， 当x在和2之间时，取最小值， ∴符合条件的整数x有； 故答案为： （4）解：∵ ∴y可以表示为表示x的数到的距离、到2的距离、到3的距离之和， ∴当时，y有最小值，为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 有理数的加法和减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 有理数的加法 题型 2 有理数的减法 题型 3 省略加法和括号和的形式 题型 4 有理数的加减混合运算 题型 5 运用加法运算律进行简便计算 题型 6 有理数加减法与数轴的综合 题型 7 有理数加减法与相反数、绝对值的综合 题型 8 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 题型 9 有理数加减法的程序计算题 题型 10 有理数加减法的新定义运算问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数加法法则、加法交换律、加法结合律、有理数减法、减去一个数等于加它的相反数、代数和 1. 理理解有理数加法意义，熟练运用同号、异号、与 0 相加的加法法则计算。 2.掌握加法交换律、结合律，能简便运算，简化多个有理数连加计算。 3.掌握有理数减法法则，将减法统一转化为加法运算。 4.能把加减混合算式写成省略括号和加号的代数和形式，并规范计算。 学习重点：有理数加法、减法运算法则；加减混合运算转化为代数和计算。 学习难点：异号两数相加时符号与绝对值的处理；多重括号的化简、利用运算律凑整简便计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的加法 ◆有理数的加法法则： 1.两个负数相加，结果是负数，并把它们的绝对值相加． 2.异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对 值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． 【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 即时即练下列说法正确的是（　　） A．两数之和大于每一个加数 B．两数之和一定大于两数绝对值的和 C．两数之和一定小于两数绝对值的和 D．两数之和一定不大于两数绝对值的和 知识点02 有理数的加法运算律 ◆1、有理数的加法交换律： 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即a + b = b + a. ◆2、有理数的加法结合律： 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). 即时即练利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 知识点03 有理数的减法 ◆1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为： ◆2、方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 即时即练下列计算结果正确的是（　　） A．﹣3﹣7＝﹣3+7＝4 B．4.5﹣6.8＝6.8﹣4.5＝2.3 C．﹣2﹣（）＝﹣22 D．﹣3﹣（）＝﹣32 知识点04 有理数的加减混合运算 ◆有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) ◆2、方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 即时即练计算： (1)． (2)． 题型1 有理数的加法 【例1】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）长沙2025体育中考“一分钟仰卧起坐”项目女生满分标准是每分钟45次，若把47次记为，则应把43次记为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 有理数加法运算的步骤： 1. 先判断类型（同号、异号等）； 2. 再确定和的符号； 3. 最后进行绝对值的加减运算. 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】18（2026·湖南长沙·一模）某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型2 有理数的减法 【例2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题. 【变式2-1】（23-24七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）如图，数轴上一点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点．若点表示的数为，则点表示的数（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】某地区某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 题型3 省略加法和括号和的形式 【例3】将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加； （4）按有理数加法法则计算． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）把写成省略括号的和的形式为______． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： (1)； (2)． 题型4 有理数的加减混合运算 【例4】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【技巧归纳】 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加； （4）按有理数加法法则计算． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【变式4-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5运用加法运算律进行简便计算 【例5】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【技巧归纳】 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【变式5-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 题型6 有理数加减法与数轴的综合 【例6】有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值. 【变式6-1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知a，b是有理数，，，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（　　　） A. B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，再向右移动个单位长度至点C，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 题型7 有理数加减法与相反数、绝对值的综合 【例7】已知，且，则的值等于（    ） A．1或 B．5或 C．5或 D．或1 【技巧归纳】 1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0； 2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0. 3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）若有理数x、y满足，，且，则（　　） A．8 B．2 C．2或8 D．或 【变式7-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D．以上都不是 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 题型8 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 【例8】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）2025年湖南省足球联赛，也就是首届“湘超联赛”，正在三湘大地如火如荼地开展，联赛深化体教融合，根据规程，每场比赛中，中学生球员同时上场不少于3人．某足球队加强训练，备战“湘超”，在一次训练中，足球队的守门员小湘同学练习折返跑，从球门线出发，向前跑的距离记作正数，返回跑的距离记作负数，教练对其往返跑的记录如下：（单位：米），，，，，，，． (1)通过计算判断小湘最后是否回到了球门线？ (2)这次折返跑练习中，小湘一共跑了多少米？ 【技巧归纳】 用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等. 【变式8-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）今年，越来越多的无人配送车出现在长沙街头，走进我们的生活．据统计，在深圳核心区域，80台无人车相当于替代了35名人力及35台传统接驳车辆．某无人配送车从快递公司出发，先向西行驶到达小区，继续向西行驶到达小区，然后向东行驶到达小区，最后回到快递公司．若以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴（如图）． (1)请在图中的数轴上表示三个小区的位置； (2)求小区和小区之间的距离； (3)哪个小区离快递公司最远？请说明理由． 【变式8-2】某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式8-3】哈市客运管理部门对“十一”假期前后七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下：（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）： 日期 变化/万人 5 20 10 (1)与9月30日相比，10月2日的客流量是_____（填“上升”或是“下降”）了； (2)与9月30日相比，10月7日的客流量变化了多少； (3)若9月30日日客流量为5万人，计算这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是多少万人． 题型9 有理数加减法的程序计算题 【例9】按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（    ）    A． B． C．0 D．2 【技巧归纳】 利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为________． 【变式9-2】按如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为______． 【变式9-3】如图，这是一个运算程序，若输入，并按如图所示的程序运算，则输出的结果为_______． 题型10有理数加减法的新定义运算问题 【例10】（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 【技巧归纳】 有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再进行计算即可． 【变式10-1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段检测）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为______． 【变式10-2】已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）小磊解题时，将式子变成了再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 3．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）下表是某市一周星期一至星期四的天气情况，其中温差最大的一天是（   ） 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 气温 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 4．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．若，，且，那么的值是（    ） A．5或1 B．5或 C．或13 D．或 6．（23-24七年级上·四川南充·阶段检测）在数轴上点A表示，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数等于（　　） A．或1 B．或7 C．2或 D．1或 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）规定表示不超过的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示2和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B．3 C． D． 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）若，且，则_____． 10．（25-26七年级上·江苏常州·期中）点在数轴上距原点 个单位长度，且位于原点左侧，若一个点从点 向右移动 个单位长度，再向左移动 个单位长度，此时终点所表示的数是_______． 11．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将，5，7，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____． 12．计算： (1) (2) (3) (4) 13．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 14．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 15．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥圆圆好帅一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”， 下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋6 ＋12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元，再加上每送一单能获得3元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 16．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； (4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $