广东省广州市黄埔区2025-2026学年八年级下学期期末数学练习试卷

**基本信息** 立足核心素养，覆盖二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数等八年级下册重点知识，通过社会热点（如“一盔一带”）、生活情境（如行程问题）及探究性问题（如旋转综合），实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二次根式意义、勾股定理逆定理、平行四边形判定等|注重概念辨析，如第7题逆命题判断，考查推理意识| |填空题|6题|三角形中位线、菱形性质、矩形计算等|结合几何直观，如第14题菱形中最短路径问题，培养空间观念| |解答题|9题|二次根式运算、一次函数应用、统计分析、几何综合等|突出探究性，如第25题“旋转-类比-拓展”结构，发展创新意识；第21题统计分析，体现数据观念|

2025-2026学年广东省广州市黄埔区八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题） 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A． B． C． D． 2．△ABC的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，△ABC是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中不能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．OB＝OD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠ABD＝∠CDB 4．下列关于正比例函数y＝﹣3x的说法中，正确的是（　　） A．当时， B．它的图象是一条经过原点的直线 C．随的增大而增大 D．它的图象经过第一、三象限 5．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加投篮比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是85分，方差分别是，，，，你认为最适合参加的运动员是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．若一次函数的图象经过点（3，y1），（﹣3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．下列命题的逆命题错误的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．若一个三角形三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，则这个三角形是直角三角形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 9．计算的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM∥BD，交AD于点M，作E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H．下列说法正确的是（　　） ①四边形EFGM周长是定值； ②四边形EPHM周长是定值． A．①、②均正确 B．①正确②错误 C．②正确①错误 D．①②均错误 二．填空题（共6小题） 11．． 12．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为10米，则池塘两端A，B之间的距离是　 　 米． 13．若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，连接BD，点M为AB的中点，点E、F均在对角线BD上，且点E在点F的左侧，，连接AF、ME，则ME+AF的最小值为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线．点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．若AE＝2，则BF的长为　 　 ． 16．如图，矩形ABCD中，点O、E分别是AC、AD的中点，若OE＝3，BC＝8，则OB的长为　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 18．如图，在矩形ABCD中，点H为CD边上的中点，连接AH、BD，若，DH＝2，求证：AH⊥BD． 19．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠CAB＝50°，求∠CBD的度数． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣4x+k与y轴交于点A，直线l2：与y轴交于点B，l1、l2与直线x＝k分别交于C，D两点，其中k≠0． （1）当直线l1经过点（1，﹣2）时： ①求直线l2的解析式； ②平行于x轴的直线y＝a交直线l1于点P，交直线l2于点Q，且点P在点Q的左侧．当PQ＝4时，求a的值． （2）设直线l1、l2交于点M，直接写出的值． 21．为进一步加强文明交通宣传教育工作，提高全校师生交通安全意识，某中学开展以“一盔一带，安全常在”为主题的文明交通宣传教育活动．为了解此次活动的效果，现从七、八年级中各随机抽取20名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析过程如下： 收集数据：从七、八年级中抽取的20名学生的测试成绩如下： 七年级：99，90，92，85，80，67，83，87，87，79，56，87，85，84，68，66，62，60，76，59 八年级：97，95，80，96，88，79，92，78，86，83，86，86，75，72，60，77，78，76，58，65 整理数据：整理以上数据，得到如下频数分布表． 年级 成绩x（单位：分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 2 5 2 8 3 八年级 1 a 7 6 4 分析数据：整理以上数据，得到以下统计量． 平均数 中位数 众数 七年级 77.6 81.5 b 八年级 80.35 c 86 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）小新同学参加了测试，他说：“这次测试我得了80分，在我们年级属于中游略偏上!”你认为小新同学可能是 　 　 年级的学生（填“七”或“八”）； （3）假如该校七年级600名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级本次测试成绩在80分以上（含80分）的学生 　 　 人． 22．如图，四边形ABCD是矩形，点E是CB延长线上一点，过点A作DE的垂线交BC于点F．若CF＝BE，求证：四边AEFD是菱形． 23．已知小夏的家、书店、文具店依次在同一条直线上，书店离家2km，文具店离家3.5km．小夏从家出发，先匀速驾车2min到文具店，在文具店停留了3min，之后匀速驾车1min到书店，在书店停留了2min后，再用4min匀速驾车返回家．下面图中x表示小夏离开家的时间，y表示小夏离家的距离．图象反映了这个过程中小夏离家距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小夏离开家的时间/min 1 2 4 7 小夏离家的距离/km 3.5 ②填空：小夏从文具店到书店的速度为　 　 km/min； ③当0≤x≤6时，请直接写出小夏离家的距离y关于时间x的函数解析式． （2）若小夏的爸爸在小夏离开家4min后从文具店出发，以0.5km/min的速度骑电动车回家．在他从文具店返回家的过程中，对于同一个x的值，小夏离家的距离为y1，小夏的爸爸离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，3），直线与直线AB交于点D，与x轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式； （2）点Q是直线CD上一点，若∠ABO＝∠BAQ，求Q点坐标． 25．解答： （1）【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，DB，则∠ACE的度数为　 　 ； （2）【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接EF，已知∠EAF＝45°，BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD与∠BCD互余，AC，BD为对角线，且满足，将△CDA绕点C顺时针旋转到△CBE，连接AE，若AD＝3，AB＝4，求BD的长． 2025-2026学年广东省广州市黄埔区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．解题的切入点就是根据这一条件列出关于x的不等式． 【解答】因为二次根式在实数范围内有意义，所以x﹣5≥0，解得x≥5．逐一分析选项：A选项x≥5，正确；B选项x≤5，错误；C选项x＞5，错误；D选项x＜5，错误． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件这一基础知识点，关键是牢记被开方数是非负数这一条件． 2．△ABC的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，△ABC是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理为：若一个三角形的三条边满足关系式a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形．解题的切入点就是分别计算各选项中三边的平方，看是否满足该关系式． 【解答】A选项：a2＝62＝36，b2＝82＝64，c2＝102＝100，因为36+64＝100，即a2+b2＝c2，所以该三角形是直角三角形；B选项：a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝262＝676，49+576≠676，即a2+b2≠c2，所以该三角形不是直角三角形；C选项：a2＝42＝16，b2＝42＝16，c2＝62＝36，16+16≠36，即a2+b2≠c2，所以该三角形不是直角三角形；D选项：a2＝92＝81，b2＝122＝144，c2＝112＝121，81+144≠121，即a2+b2≠c2，所以该三角形不是直角三角形． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，关键是准确计算三边的平方并判断是否满足勾股定理逆定理的关系式． 3．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中不能判断四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．OB＝OD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠ABD＝∠CDB 【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意； B、条件不足，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意； C、由AD∥BC推出∠DAO＝∠BCO，又AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，判定△AOD≌△COB（ASA）推出AD＝BC，判定四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意； D、由∠ABD＝∠CDB，∠AOB＝∠COD，AO＝CO推出△AOB≌△COD（AAS），判定OB＝OD，推出四边形ABCD为平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法． 4．下列关于正比例函数y＝﹣3x的说法中，正确的是（　　） A．当时， B．它的图象是一条经过原点的直线 C．随的增大而增大 D．它的图象经过第一、三象限 【分析】本题考查正比例函数的性质．正比例函数的一般形式为y＝kx（k为常数，k≠0），当x＝0时，y＝0，所以其图象经过原点；当k＞0时，y随x的增大而增大，图象经过一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象经过二、四象限．解题的切入点就是根据k的值判断函数的性质． 【解答】A选项：当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3，所以A选项错误；B选项：因为正比例函数y＝﹣3x，当x＝0时，y＝0，所以它��图象是一条经过原点的直线，B选项正确；C选项：因为k＝﹣3＜0，所以y随x的增大而减小，C选项错误；D选项：因为k＝﹣3＜0，所以它的图象经过第二、四象限，D选项错误． 【点评】本题考查正比例函数的性质，关键是掌握k对函数性质的影响． 5．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加投篮比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是85分，方差分别是，，，，你认为最适合参加的运动员是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解题的切入点就是比较四人方差的大小． 【解答】因为1.2＜2.5＜2.8＜3.6，即，丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，所以最适合参加的运动员是丙． 【点评】本题考查方差在实际问题中的应用，关键是理解方差大小与数据稳定性的关系． 6．若一次函数的图象经过点（3，y1），（﹣3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．先将点的横坐标代入一次函数解析式求出y1、y2的值，再比较大小．解题的切入点就是代入计算． 【解答】当x＝3时，；当x＝﹣3时，．因为，所以y1＞y2． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，关键是准确代入计算并比较大小． 7．下列命题的逆命题错误的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．若一个三角形三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，则这个三角形是直角三角形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查命题及其逆命题的相关知识．先分别写出各个命题的逆命题，再判断逆命题的真假． 【解答】A选项“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题；B选项“相等的角是对顶角”，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题；C选项“若一个三角形三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，则这个三角形是直角三角形”，逆命题是真命题；D选项“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，逆命题是真命题．所以答案是B． 【点评】本题关键在于准确写出逆命题，并能判断其真假，要对常见的几何命题及其逆命题熟悉． 8．在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 【分析】由点A（2，2），点P（m，n）在一次函数y＝kx+b图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可． 【解答】解：由条件可知， 解得：， A、当m＞n时，则n﹣m＜0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； B、当m＜n时，则n﹣m＞0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； C、当m+n＝2时，则m＝2﹣n， ∵点P（m，n）在第一象限内， ∴0＜m＜2，0＜n＜2， ∴，故该选项判断正确，符合题意； D、当m+n＝2时，则m＝2﹣n， ∵点P（m，n）在第一象限内， ∴0＜m＜2，0＜n＜2， ∴，故该选项判断错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握该知识点是关键． 9．计算的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D． 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：根据二次根式的性质可得： ． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM∥BD，交AD于点M，作E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H．下列说法正确的是（　　） ①四边形EFGM周长是定值； ②四边形EPHM周长是定值． A．①、②均正确 B．①正确②错误 C．②正确①错误 D．①②均错误 【分析】设正方形ABCD的边长为a，则a为定值，设BE＝x，则AE＝a﹣x，证明△AEM是等腰直角三角形得AM＝AE＝a﹣x，由勾股定理得EM，根据对称的性质可得BD是EF的垂直平分线，四边形EFGM和四边形EPHM都是矩形，再由勾股定理求出EF，则EP，由此可得矩形EFGM周长为2EM+2EF为定值；矩形EPHM的周长为2EM+2EP不是定值，由此得①正确②错误，据此可得出答案． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，则a为定值， 由正方形性质得：AB＝a，∠A＝∠EBF＝90°，∠ABD＝45°， 设BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝a﹣x， ∵EM∥BD， ∴∠AEM＝∠ABD＝45°， 在△AEM中，∠A＝90°，∠AEM＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AM＝AE＝a﹣x， 由勾股定理得：EMAE， ∵点E、M关于BD的对称点为F、G， ∴EF⊥BD，EP＝FPEF，MG⊥BD，MH＝GHMG，EM∥FG， ∴BD是EF的垂直平分线， ∴BF＝BE＝x， ∵EM∥BD， ∴EF⊥EM，EF⊥FG，MG⊥EM，MG⊥FG， ∴四边形EFGM和四边形EPHM都是矩形， ∴PH＝EM＝FG， 在△BEF中，∠EBF＝90°， 由勾股定理得：EFBE， ∴MG＝EF， ∴EP＝MHEF， ∴矩形EFGM周长为：2EM+2EF为定值； 矩形EPHM的周长为：2EM+2EP不是定值， 综上所述：①正确②错误， 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．． 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，直接运用二次根式乘法法则（a≥0，b≥0）进行计算． 【解答】根据二次根式乘法法则，． 【点评】本题考查二次根式乘法这一基础运算，关键是牢记运算法则，计算时要细心． 12．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为10米，则池塘两端A，B之间的距离是　20　 米． 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵AC和BC的中点分别为点D，E， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE的长为10米， ∴AB＝2DE＝20（米）． 故答案为：20． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 13．若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为． 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形周长为三边之和，先将三边化为最简二次根式，再进行加法运算． 【解答】，则三角形周长为． 【点评】本题关键是掌握二次根式的化简以及二次根式的加法运算，注意计算时要化为最简二次根式再合并同类二次根式． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，连接BD，点M为AB的中点，点E、F均在对角线BD上，且点E在点F的左侧，，连接AF、ME，则ME+AF的最小值为　　 ． 【分析】本题考查菱形，平行四边形，等边三角形，垂直平分线的性质，通过作辅助线，利用轴对称和平行四边形性质将ME+AF的值转为GF+CF的值，再根据两点之间，线段最短求得答案，解题时，利用三角函数能加快求解． 【解答】如图，作MH⊥BD，MG∥BD，连接GC，GF，连接AC交BD于点O． 在菱形ABCD中， AC⊥BD且AO＝CO，BO＝DO，∠ACB＝∠ACD， ∵AB＝4，∠BCD＝120°， ∴BC＝AB＝CD＝4，AO＝CO＝2，， 在△ABC中， ∵AB＝BC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， AC＝AB＝4， 在Rt△ABO中， ， ∵，MH⊥BD， ， ∵MG∥BD，点M为AB的中点， ∴， ∴MG＝EF，AG＝GD， ∴四边形MEFG是平行四边形， ∴ME＝GF， ∵AO＝CO，AC⊥BD， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AF＝CF ∴ME+AF的值可以转化为GF+CF的值， 由此可见，当G，F，C三点共线时，GF+CF的值最小，最小值为CG， ∵AC＝CD，AG＝GD， ∴CG⊥AD，∠CAD＝60°， ∴． 故答案为：2． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线．点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．若AE＝2，则BF的长为　或　 ． 【分析】先结合勾股定理以及等腰三角形的性质得，运用角平分线的性质以及等面积法得，根据解直角三角形的相关运算得，再建立平面直角坐标系，故B（0，0），C（6，0），A（3，4），，再求出直线CD的解析式为，然后进行分类讨论，得出当E的坐标为（1，0）时，则直线AE的解析式为y＝2x﹣2；当E的坐标为（5，0）时，直线AE的解析式为y＝﹣2x+10，再联立方程组，最后根据两点距离公式列式计算，即可作答． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴△ABC是等腰三角形， 过A作AH⊥BC于H， ∴， 由勾股定理得， 则， 分别过点D作DN⊥AB，DW⊥AC， ∵CD是∠ACB的角平分线， ∴DW＝DN， 则， ∴， 则， ∴， ∴， 以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系： 即B（0，0），C（6，0），A（3，4），， 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把C（6，0），代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线CD的解析式为， ∵E在BC（x轴）上， 设E（e，0）， ∵，AH＝4， ∴， 解得e＝1或e＝5， 当E的坐标为（1，0）时， 则设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 把E（1，0），A（3，4）分别代入y＝mx+n， 得， 解得， ∴直线AE的解析式为y＝2x﹣2， 依题意，得， 解得， ∴F（2，2）， ∴； 当E的坐标为（5，0）时，如图所示： 则设直线AE的解析式为y＝rx+t（r≠0）， 把E（5，0），A（3，4）分别代入y＝rx+t， 得， 解得， ∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+10， 依题意，得， 解得， ∴， ∴， 综上：BF的长为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了勾股定理，一次函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键． 16．如图，矩形ABCD中，点O、E分别是AC、AD的中点，若OE＝3，BC＝8，则OB的长为　5　 ． 【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8， ∵OE∥AB， ∴OE∥CD， ∴，且AOAC，OE＝3， ∴CD＝6， 在Rt△ADC中，AC， ∵点O是斜边AC上的中点， ∴BOAC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式子，再进行计算． 【解答】根据完全平方公式，． 【点评】本题重点是掌握完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，计算时要注意根式乘法运算的准确性． 18．如图，在矩形ABCD中，点H为CD边上的中点，连接AH、BD，若，DH＝2，求证：AH⊥BD． 【分析】设AH，BD交于点G，证明△ADH∽△DCB，得出∠DAH＝∠CDB，进而证明∠AGH＝90°，即可得证． 【解答】证明：设AH，BD交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，， ∵点H为CD边上的中点，DH＝2， ∴DC＝2DH＝4， ∴，， ∴， ∴△ADH∽△DCB， ∴∠DAH＝∠CDB， ∴∠CDB+∠ADB＝∠DAH+∠ADB＝90°， ∴∠AGH＝90°， 即AH⊥BD． 【点评】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 19．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠CAB＝50°，求∠CBD的度数． 【分析】（1）如图：连接DN，DM，根据作图过程可知BN＝BM，DN＝DM，BD＝BD，可证△BND≌△BMD可得∠CBD＝∠ABD即可证明结论； （2）由圆周角定理可得∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义求解即可． 【解答】（1）证明：如图：连接DN，DM， 由题意得：BN＝BM，DN＝DM，BD＝BD， ∴△BND≌△BMD（SSS）， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴BD平分∠ABC． （2）解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣50°＝40°， 由（1）可得：BD平分∠ABC， ∴，即∠CBD的度数为20°． 【点评】本题考查了基本作图、全等三角形是判定与性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣4x+k与y轴交于点A，直线l2：与y轴交于点B，l1、l2与直线x＝k分别交于C，D两点，其中k≠0． （1）当直线l1经过点（1，﹣2）时： ①求直线l2的解析式； ②平行于x轴的直线y＝a交直线l1于点P，交直线l2于点Q，且点P在点Q的左侧．当PQ＝4时，求a的值． （2）设直线l1、l2交于点M，直接写出的值． 【分析】（1）①先将点（1，﹣2）代入l1的解析式求出k的值，再将k代入l2的解析式即可； ②先求出y＝a与直线l1、l2交点P、Q的横坐标，再根据点P在点Q的左侧和PQ＝4列方程求解； （2）先求出A、B、C、D、M的坐标，再分别计算△AMB和△CMD的面积，最后求比值． 【解答】解：（1）①由条件可知﹣2＝﹣4×1+k，解得k＝2， 则l2的解析式； ②由第①问得k＝2，， 直线y＝a与l1交点P，则a＝﹣4xP+2， 解得：， 直线y＝a与l2交点Q，则， 解得：xQ＝2a+4， 又P在Q左侧且PQ＝4， 即xP＜xQ，且xQ﹣xP＝4， 代入得， 解得． （2）由条件可知AB＝|k﹣（﹣k）|＝|2k|＝2|k|， ∵直线x＝k与l1交点C：yC＝﹣4k+k＝﹣3k， ∴C（k，﹣3k）， ∵直线x＝k与l2交点D：， ∴， ∴， 由直线l1、l2交于点M联立得：，解得， 代入l1：， ∴， ∴点M到y轴（即AB）的水平距离为 ， 点M到直线x＝k（即CD）的水平距离为， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟练掌握该知识点是关键． 21．为进一步加强文明交通宣传教育工作，提高全校师生交通安全意识，某中学开展以“一盔一带，安全常在”为主题的文明交通宣传教育活动．为了解此次活动的效果，现从七、八年级中各随机抽取20名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析过程如下： 收集数据：从七、八年级中抽取的20名学生的测试成绩如下： 七年级：99，90，92，85，80，67，83，87，87，79，56，87，85，84，68，66，62，60，76，59 八年级：97，95，80，96，88，79，92，78，86，83，86，86，75，72，60，77，78，76，58，65 整理数据：整理以上数据，得到如下频数分布表． 年级 成绩x（单位：分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 2 5 2 8 3 八年级 1 a 7 6 4 分析数据：整理以上数据，得到以下统计量． 平均数 中位数 众数 七年级 77.6 81.5 b 八年级 80.35 c 86 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的：a＝　2　 ，b＝　87　 ，c＝　79.5　 ； （2）小新同学参加了测试，他说：“这次测试我得了80分，在我们年级属于中游略偏上!”你认为小新同学可能是 　八　 年级的学生（填“七”或“八”）； （3）假如该校七年级600名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级本次测试成绩在80分以上（含80分）的学生 　330　 人． 【分析】（1）分别对数据进行分析，数出满足条件数的个数，可得a的值，再根据众数的定义确定b的值，将数据从小到大排列，找到中位数c； （2）将小新同学的成绩分别与七八年级学生成绩的中位数进行比较； （3）根据七年级80分学生在此次调查中的占比，计算600名学生中的数量． 【解答】解：（1）八年级数据中，满足60≤x＜70的数据有60，65两个数据，a的值为2； 七年级数据中97出现的次数最多，故众数b＝87； 将八年级数学从小到大排列得：58 60 65 72 75 76 77 78 78 79 80 83 86 86 86 88 92 95 96 97，中间的数是79，80，中位数c＝（79+80）÷2＝79.5． 故答案为：2，87，79.5； （2）因为80＞79.5，小新的分数大于八年级的中位数，所有成绩在中游偏上． 故答案为：八； （3）600330（人）． 即估计该校七年级本次测试成绩在8（0分）以上（含80分）的学生有330人． 故答案为：330． 【点评】本题主要众数、中位数以及频数分布表，解题的关键是对数据的众数、中位数、平均数能够准确地计算． 22．如图，四边形ABCD是矩形，点E是CB延长线上一点，过点A作DE的垂线交BC于点F．若CF＝BE，求证：四边AEFD是菱形． 【分析】先根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，进而求出AD＝BC＝EF，证明四边形AEFD是平行四边形，利用AF⊥DE证明四边形AEFD是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+BF＝BE+BF，即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AF⊥DE， ∴四边形AEFD是菱形． 【点评】本题考查了矩形性质、菱形的判定，熟练掌握以上知识点是关键． 23．已知小夏的家、书店、文具店依次在同一条直线上，书店离家2km，文具店离家3.5km．小夏从家出发，先匀速驾车2min到文具店，在文具店停留了3min，之后匀速驾车1min到书店，在书店停留了2min后，再用4min匀速驾车返回家．下面图中x表示小夏离开家的时间，y表示小夏离家的距离．图象反映了这个过程中小夏离家距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小夏离开家的时间/min 1 2 4 7 小夏离家的距离/km 3.5 ②填空：小夏从文具店到书店的速度为　1.5　 km/min； ③当0≤x≤6时，请直接写出小夏离家的距离y关于时间x的函数解析式． （2）若小夏的爸爸在小夏离开家4min后从文具店出发，以0.5km/min的速度骑电动车回家．在他从文具店返回家的过程中，对于同一个x的值，小夏离家的距离为y1，小夏的爸爸离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【分析】（1）①利用速度＝路程÷时间，可求出小夏从家到文具店的速度，利用路程＝速度×时间，可求出当x＝1时y的值；观察函数图象，可得出当x＝4，7时，y的值； ②利用小夏从文具店到书店的速度＝文具店到书店的距离÷小夏从文具店到书店的时间，即可求出结论； ③当0≤x≤2时，利用小夏离家的距离＝小夏从家到文具店的速度×小夏离家的时间，可找出y关于x的函数解析式；当2＜x≤5时，y＝3.5；当5＜x≤6时，利用小夏离家的距离＝3.5﹣小夏从文具店到书店的速度×（小夏离家的时间﹣5），可找出y关于x的函数解析式； （2）利用小夏的爸爸离家的距离＝3.5﹣小夏爸爸的速度×（小夏离家的时间﹣4），可找出y2关于x的函数解析式，分5≤x≤6及6＜x≤8两种情况考虑，当5≤x≤6时，令y1＜y2，可得出﹣1.5x+11＜﹣0.5x+5.5，解之可得出x的取值范围；当6＜x≤8时，令y1＜y2，可得出2＜﹣0.5x+5.5，解之可得出x的取值范围，综上，即可得出结论． 【解答】解：（1）①根据题意得：小夏从家到文具店的速度为3.5÷2＝1.75（km/min）， ∴当x＝1时，y＝1.75×1＝1.75； 当x＝4时，y＝3.5； 当x＝7时，y＝2． 故答案为：1.75，3.5，2； ②根据题意得：小夏从文具店到书店的速度为（3.5﹣2）÷（6﹣5）＝1.5（km/min）． 故答案为：1.5； ③根据题意得：当0≤x≤2时，y＝1.75x； 当2＜x≤5时，y＝3.5； 当5＜x≤6时，y＝3.5﹣1.5（t﹣5），即y＝﹣1.5x+11． 综上所述，小夏离家的距离y关于时间x的函数解析式为y； （2）根据题意得：小夏的爸爸离家的距离y2关于小夏离家的时间x的函数解析式为y2＝3.5﹣0.5（x﹣4）， 即y2＝﹣0.5x+5.5（4≤x≤11），画出函数图象，如图所示. 当5≤x≤6时，令y1＜y2，则﹣1.5x+11＜﹣0.5x+5.5，解得：x＞5.5， ∴5.5＜x≤6； 当6＜x≤8时，令y1＜y2，则2＜﹣0.5x+5.5， 解得：x＜7， ∴6＜x＜7， 综上所述，当y1＜y2时，x的取值范围为5.5＜x＜7． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出小夏离家的距离及小夏爸爸离家的距离关于小夏离家的时间的函数解析式是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，3），直线与直线AB交于点D，与x轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式； （2）点Q是直线CD上一点，若∠ABO＝∠BAQ，求Q点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分Q在直线AB右侧和在直线AB左侧两种情况进行求解． 【解答】解：（1）点A（2，0），B（0，3）设直线AB的函数表达式y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的函数表达式； （2）①当Q在直线AB右侧时， ∵∠ABO＝∠BAQ， ∴AQ∥OB，又A（2，0）， ∴点Q的横坐标为2， x＝2时，， 此时； ②如图2，当Q在直线AB左侧时，设直线AQ与y轴交于点P， ∵∠ABO＝∠BAQ， ∴AP＝BP， 设OP＝a， 又∵A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3，则AP＝BP＝3﹣a， 在Rt△OAP中，由勾股定理得：OA2+OP2＝AP2， 即22+a2＝（3﹣a）2， 解得：， ∴， 设直线AP的解析式为y＝k1x+t，将点A，点P的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴； 综上所述，或． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 25．解答： （1）【初步探究】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，DB，则∠ACE的度数为　60°　 ； （2）【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接EF，已知∠EAF＝45°，BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD与∠BCD互余，AC，BD为对角线，且满足，将△CDA绕点C顺时针旋转到△CBE，连接AE，若AD＝3，AB＝4，求BD的长． 【分析】（1）根据旋转的性质易得△CAE为等边三角形，结合等边三角形的性质求解即可； （2）将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，证明△GAF≌△EAF，设正方形边长为x，则CE＝x﹣2，CF＝x﹣3，结合勾股定理即可解题； （3）证明△DCB∽△ACE，最后用勾股定理即可． 【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE， ∴∠CAE＝60°，AC＝AE， ∴△CAE为等边三角形， ∴∠ACE＝60°， 故答案为：60°； （2）如图，将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG， 由旋转的性质可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝2，∠ABE＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC+∠ADG＝180°， ∴G，D，C三点共线． ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠FAG＝45°＝∠EAF． 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴GF＝EF． ∵GF＝GD+DF＝2+3＝5， ∴EF＝5． 设正方形的边长为x，则CE＝x﹣2，CF＝x﹣3， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52， 解得：x1＝6，x2＝﹣1（负值舍去）． ∴正方形ABCD的边长为6； （3）∵将△CDA绕点C顺时针旋转到△CBE， ∴AD＝BE＝3，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC， ∴∠BCD＝∠ACE， 又∵CD＝CB，， ∴△DCB∽△ACE， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝270°， ∵∠ADC＝∠EBC， ∴∠ABC+∠EBC＝270°， ∴∠ABE＝90°， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/26 16:30:02；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $