精品解析：广东省广州市黄埔区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

广东省广州市黄埔区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A. x≥2 B. x≤2 C. x＞2 D. x＜2 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−2≥0，解得x≥2． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件． 2. 的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边平方和，则该三角形为直角三角形．据此逐项判断即可． 【详解】A、三边为3、4、5，最长边为5 ，，，，，即，故是直角三角形； B、三边为5、12、14，最长边为14，，，，，，即， 不是直角三角形； C、三边为3、3、5，最长边为5，，，，，即， 不是直角三角形； D、三边为6、8、7，最长边为8， ，，，，，即，不是直角三角形； 故选：A． 3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 4. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）． A. 当时， B. 它的图象是一条经过原点的直线 C. 随的增大而增大 D. 它的图象经过第一、三象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.当x=1，y=-5，故A不符合题意； B.正比例函数图象是一条经过原点的直线，故B符合题意； C.因为-5小于0，y随x的增大而减小，故C不符合题意； D.它的图象经过第二、四象限，故不符合题意； 故选：B 5. 某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加跳远比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是5.81m，方差分别是，，，，你认为最适合参加的运动员是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数据统计分析中的平均数和方差，解题关键是熟练掌握各个评价指标的计算方法及含义． 在平均成绩相同的情况下，方差大小反映数据的离散程度，方差小说明更稳定，即可判断． 【详解】解：四位同学的平均成绩均为5.81米，说明他们的平均水平相同；此时需比较方差以判断成绩的稳定性．方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；题目中，丙的方差为0.9，是四人中最小的，因此最适合参加比赛． 故选：C． 6. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性判断与的大小关系即可． 【详解】∵，， ∴y随x的增大而增大． ∵一次函数的图象经过点，且， ∴． 故选A． 7. 下列命题的逆命题错误的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等 C. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 D. 平行四边形的对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的概念以及判断正误，需写出每个命题的逆命题是解决本题的关键． 分别写出各命题的逆命题，并判断其正确性即可． 【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，根据平行线判定定理，逆命题正确． 选项B：逆命题为“相等的角是对顶角”，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，逆命题错误． 选项C：逆命题为“若三角形两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形”，此为勾股定理的逆定理，逆命题正确． 选项D：逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，根据平行四边形判定定理，逆命题正确． 故选：B． 8. 函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键． 观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，于是可得到关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵当时，， 所以关于x的不等式的解集为． 故选：A． 9. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. b D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ， 故选：D． 10. 如图，正方形的面积为4．是等腰直角三角形， ，点F在线段的延长线上，则的长度为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作，交的延长线于点H，根据正方形性质得，证明，进而证明，得到，由勾股定理可求出，则，然后再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点H，如图所示： ∴， ∵正方形的面积为4， ∴， ∵点F在线段的延长线上， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用中位线的性质计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 又BC=12， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 13. 若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要能根据题意化简二次根式并进行计算是关键．依据题意，由三角形的边长分别为，和，则它的周长，进而得解． 【详解】解：由题意，三角形的边长分别为，和， 它的周长 ． 故答案为：． 14. 如图，菱形中，对角线，，，则_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理可得，再根据，进行计算即可． 【详解】解：四边形菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 15. 如图四边形中，，，，则四边形的面积是 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，判定是等腰直角三角形，再根据勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，且，依据三角形面积计算公式，即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出是等腰直角三角形，再求出． 16. 如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①证明是的中位线得，，进而得，进而可判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据和全等，得，由此可对结论②不正确；③当时，则，再根据得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可对，结论③进行判断；④当时，根据，由勾股定理得，则，进而得，再由勾股定理得求出得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在矩形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，故结论②不正确； ③当时，则， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故结论③正确； ④当时， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故结论④正确， 综上所述：正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，三角形的中位线的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 19. 已知中，，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D； （2）求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—线段垂直平分线、勾股定理的知识，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键． （1）按照线段垂直平分线的作法作答即可； （2）连接，如图所示：根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点即为所求； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ，， ， 即， 解得：， 即长为． 20. 已知直线和直线相交于点P，直线,分别与x轴相交于点A，B． （1）求点P的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）依据题意，可得方程组，，计算即可得解； （2）依据题意，分别求出A、B的坐标，再结合，进而可以计算得解． 【小问1详解】 解：由题意，，解得， ； 【小问2详解】 解：在，令，则， ， 在，令，则， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． 21. 某校了解学生一周智慧阅读情况，随机采访20名学生，这20名学生一周智慧阅读时长如表： 时间/时 5 4 3 2 人数/个 2 8 a 4 （1）根据以上表格填空： ，这20名学生一周智慧阅读时长的众数是 ；中位数是 ； （2）计算这20名学生一周智慧阅读时长的平均数； （3）如果这个学校一共有1800个学生，请根据统计的数据，估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数． 【答案】（1）6，4时，3.5时 （2）3.4时 （3）900人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据总人数为20人可求出a的值，再依据众数和中位数的定义求解即可得出答案； （2）利用加权平均数的定义列式计算即可； （3）总人数乘样本中4时和5时的人数和所占比例即可． 【小问1详解】 ， 这20名学生一周智慧阅读时长的众数是4时，中位数是（时）， 故答案为：6，4时，3.5时． 【小问2详解】 解：这20名学生一周智慧阅读时长的平均数为（时）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数约为900人． 22. 如图，两张矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点A分别作于点E，于点F，且． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）判定四边形是平行四边形，由的面积，推出，判定四边形是菱形； （2）利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再证是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵纸片是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴的面积， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 23. 某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租一本书．使用租书卡，租书金额y1（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系式为y1＝0.5x；使用会员卡，租书金额y2（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系如图所示： （1）用租书卡每天租书的费用为 元； （2）求出y2关于x的函数解析式； （3）如何选取租书方式更划算？ 【答案】（1）0.5 （2）y2＝0.25x+30 （3）当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算 【解析】 【分析】（1）根据y1与x的函数关系作答即可； （2）根据图象求出使用会员卡每天租书的费用，从而写出y2关于x的函数解析式即可； （3）比较y1、y2的大小，求出对应x的取值范围即可． 【解答】解：（1）用租书卡每天租书的费用为0.5元． 故答案为：0.5． （2）使用会员卡每天租书的费用为（45﹣30）÷60＝0.25（元），则y2＝0.25x+30， ∴y2关于x的函数解析式为y2＝0.25x+30． （3）当y1＜y2时，得0.5x＜0.25x+30，解得x＜120， 当y1＝y2时，得0.5x＝0.25x+30，解得x＝120， 当y1＞y2时，得0.5x＞0.25x+30，解得x＞120， ∴当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算． 【点评】本题考查一次函数的应用，写出y2关于x的函数解析式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P． （1）求点A，点P的坐标； （2）已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标； （3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值． 【答案】（1） （2）D点坐标为或 （3），周长的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用一次函数与x轴交点问题即可求出点坐标，再根据题意得到，由矩形的性质可得点P的纵坐标为，根据点的坐标特点求解即可； （2）先求出，分当时，当时；两种情况讨论即可； （3）作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值为；再求出直线的解析式为，联立，即可解答． 【小问1详解】 解：令，解得， ∴直线与x轴的交点， ∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且， ∴， ∴点P的纵坐标为， 令时，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当时，则为等腰直角三角形， 此时，D点与A点关于直线对称， ∴， 当时，则为等腰直角三角形， 此时，； 综上所述：D点坐标为或； 【小问3详解】 解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F， ∵， ∴， ∴F点在上， ∴， ∵， ∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值， ∴， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 25. 在正方形中，点E，G分别为边，上一点，且，连接AE，过点E作，交正方形外角的平分线于点F． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为的中点； （3）试探究，，数量关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）可证得，，进而得出，从而； （2）连接，，可证得，从而，从而，可证得，从而，，从而，从而得出，从而，即P为的中点； （3）连接，作，交于H，可证得是等腰直角三角形，从而得出，从而，可证得，从而，从而得出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是得平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图1， 连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴P为的中点； 【小问3详解】 如图2， ，理由如下： 连接，作，交于H， ∴， 由（1）（2）知， ，点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市黄埔区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A. x≥2 B. x≤2 C. x＞2 D. x＜2 2. 的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，是直角三角形的是（　　） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）． A. 当时， B. 它的图象是一条经过原点的直线 C. 随的增大而增大 D. 它的图象经过第一、三象限 5. 某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加跳远比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是5.81m，方差分别是，，，，你认为最适合参加的运动员是（　　） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题错误的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等 C. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 D. 平行四边形的对角线互相平分 8. 函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. b D. 10. 如图，正方形的面积为4．是等腰直角三角形， ，点F在线段的延长线上，则的长度为（　　） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. ______． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 13. 若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为________________ ． 14. 如图，菱形中，对角线，，，则_____． 15. 如图四边形中，，，，则四边形的面积是 _________________． 16. 如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长． 19. 已知中，，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D； （2）求长． 20. 已知直线和直线相交于点P，直线,分别与x轴相交于点A，B． （1）求点P的坐标； （2）求的面积． 21. 某校为了解学生一周智慧阅读情况，随机采访20名学生，这20名学生一周智慧阅读时长如表： 时间/时 5 4 3 2 人数/个 2 8 a 4 （1）根据以上表格填空： ，这20名学生一周智慧阅读时长的众数是 ；中位数是 ； （2）计算这20名学生一周智慧阅读时长的平均数； （3）如果这个学校一共有1800个学生，请根据统计的数据，估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数． 22. 如图，两张矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点A分别作于点E，于点F，且． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，连接，求的长． 23. 某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租一本书．使用租书卡，租书金额y1（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系式为y1＝0.5x；使用会员卡，租书金额y2（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系如图所示： （1）用租书卡每天租书的费用为 元； （2）求出y2关于x的函数解析式； （3）如何选取租书方式更划算？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P． （1）求点A，点P的坐标； （2）已知点D在x轴上，且等腰直角三角形，求出点D坐标； （3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值． 25. 在正方形中，点E，G分别为边，上一点，且，连接AE，过点E作，交正方形外角的平分线于点F． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为的中点； （3）试探究，，的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $