湖北武汉市吴家山中学2025-2026学年高一下学期期末复习数学试卷6.22

**基本信息** 高一下学期期末复习数学试卷，以复数、统计、立体几何、解三角形等知识为载体，通过社区抽样、测塔高、数学兴趣小组调查等现实情境及动态几何问题，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、随机抽样、空间线面关系|第2题随机数表抽样体现数据观念；第8题翻折动态问题考查空间观念| |多选题|3/15|统计量、解三角形、圆锥与球|第9题方差换算培养运算能力；第11题圆锥内切球深化几何直观| |填空题|3/15|向量投影、测量问题、截面面积|第13题测塔高渗透模型意识；第14题堑堵截面发展创新意识| |解答题|5/80|解三角形、统计图表、立体几何综合|16题频率分布直方图与方差证明强化数学思维；19题圆锥体积最值探究提升推理能力|

高一下学期期末复习数学试卷 时间：2026年6月22日 试卷满分：150分 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（   ） 2145  7016  3388  2954  0761  1084  3711  6928  5074  3602  9578 4183  1572  6049  0839  2456  8109  8043  1967  5203  9845  9625 A．084 B．611 C．371 D．295 3．已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 4．已知为锐角三角形，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 7．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 8．如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（平面），若在线段上（点与、不重合），则在翻折过程中，给出下列判断： ①当为线中点时，为定值； ②存在某个位置，使； ③当四棱锥体积最大时，点到平面的距离为； ④当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为. 其中判断正确的个数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（   ） A．这8名女生的数学成绩的极差为14 B．这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C．为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D．这20名学生的数学成绩的方差是33 10．在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 11．如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 三、填空题 12．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 13．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 14．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 四、解答题 15．在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 16．随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 17．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．  (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 19．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末复习数学试卷 时间：2026年6月22日 试卷满分：150分 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】， 该复数在复平面内对应的点的坐标为． 故选：A 2．某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（   ） 2145  7016  3388  2954  0761  1084  3711  6928  5074  3602  9578 4183  1572  6049  0839  2456  8109  8043  1967  5203  9845  9625 A．084 B．611 C．371 D．295 【答案】A【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据，依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084，即得到的第3个样本编号是. 故选：A. 3．已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 【答案】D【详解】对于A：若，，则或与相交或者异面，故A错误； 对于B：若，，，，当与相交时才可以判断 故B错误； 对于C：若，，，，则或相交，故C错误； 对于D：若，，，，则，故D正确. 故选：D. 4．已知为锐角三角形，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，所以，即，因为为锐角三角形， 所以，即，则，由正弦定理， ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：C. 5．已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大.因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2，如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为. 因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示， 所以正四面体的外接球半径，所以，故选：B. 6．三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C【详解】在中，，所以. 又，所以. 又，所以 ，当且仅当时，等号成立.故的最小值为. 7．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 【答案】D【详解】在正方体中，连接可知相交于点，且被互相平分，故四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为2，所以四边形是正方形且，面,，所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍，而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面，由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为，在中由余弦定理可知，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为,由等体积法知： ，故错误. 故选：D. 8．如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（平面），若在线段上（点与、不重合），则在翻折过程中，给出下列判断： ①当为线中点时，为定值； ②存在某个位置，使； ③当四棱锥体积最大时，点到平面的距离为； ④当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为. 其中判断正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】在矩形 中，，则：对于①，取的中点, 连接、，因为、分别为、的中点，则且， 因为且，、分别为、的中点，故且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 结合图形可知，由余弦定理可知，则，故①正确； 对于②，假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接、， ，为的中点，则，而，、平面，所以，平面，平面，则，进而有， 但，，则，矛盾，故②错误； 对于③，因为，，，，，又因为，故二面角的平面角为， ，，则，，所以， 过点作，垂足为点，，，，、平面，平面，平面，，，，、平面，平面，且， 当为直角时，取最大值，此时，四棱锥的体积最大，③对； 对于④，易知二面角 的平面角 ，当二面角的大小为时，，又，则为等边三角形，所以，因为，所以，异面直线与所成角为或其补角，，故④错误. 故选：B. 二、多选题 9．某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（   ） A．这8名女生的数学成绩的极差为14 B．这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C．为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D．这20名学生的数学成绩的方差是33 【答案】ABD【详解】12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则这8名女生的数学成绩的极差为，A选项正确； 8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80，因为，则这8名女生的数学成绩的第25百分位数是，B选项正确； 12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，现在把这12名男生的成绩换算成150分制，则这12名男生数学成绩换算后的方差是，C选项错误； 因为这20名学生的数学成绩平均数，这20名学生的数学成绩的方差是，D选项正确；故选：ABD. 10．在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误. 11．如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 【答案】ACD【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接，则必过球心，因为轴截面为正三角形且底面圆半径为，所以，所以，故A正确； 对于B，如图（2），易知，圆锥与球的交线的轨迹为，因为，所以在中，可得，求得半径， 故轨迹长为错误； 对于C，根据三余弦定理可知，， 故C正确； 对于D，当绕着旋转时，平面恒过定直线，若要使得平面截球的截面面积最小，只需球心到平面的距离达到最大， 如图（3）过作直线的垂线，垂足为到平面的最大距离为， 又因为在中，，所以截面半径的最小值为，所以平面截球的截面面积的最小值为，故D正确. 三、填空题 12．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】【详解】， 其中，所以，解得， 则在上的投影向量为. 13．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 【答案】 / ， 15【详解】解析由题意，得 又 在中，由余弦定理的推论得， ，∴，∴，，∵， ∴．故答案为：；15. 14．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】【详解】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且，在直三棱柱中，且，因为、分别为、的中点，则且，所以四边形为平行四边形，且，且、分别为、的中点，则，所以，四边形是等腰梯形，当不是中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，取的中点，连接、， ，，且点为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，可得，同理可得， 所以，、、均为等边三角形，. 故答案为：. 四、解答题 15．在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】(1)；(2)或【详解】（1）因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. （2）在中，因为，由余弦定理得， 即，解得或，  当时，， 则，即，此时周长； 当时，，则，即，此时周长为，综上所述，的周长为或. 16．随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【答案】(1)，众数是；(2)，；(3)①证明见解析 ；②证明见解析.【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得，甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.、 （2） ，. （3） ①依题意，，所以原等式成立. ② ，又，则，同理，，所以. 17．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)【详解】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，  故，； （2）为的中点，故，点在线段上运动，设，，故，即 ，因为，，所以，则 ， 因为，所以. 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．  (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)略；(2)；(3) 【详解】(1)取SD的中点M，连接ME，MC，因为E，M分别为SA，SD的中点，则且，又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且，可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则，且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2)取AB的中点O，连接SO，CO，AC， 因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD，由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得，又因为，则，， 可知为二面角的平面角，在中，则，，， 可得，所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD，且，， 设点B到平面SCD的距离为h，因为，则， 即，解得，所以B到平面SCD的距离为． 19．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)略；(2)；(3)存在点满足条件， 二面角的余弦值的取值范围为 【详解】(1)由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. (2)由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，.设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形，所以，为等腰直角三角形，则，又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面.在中，.， 当且仅当时，等号成立，即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图：在中，，，所以，在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. (3)在四棱锥中，由（2）得，平面，平面，所以，即.又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为.取中点，连接，则，由（2）得，平面，所以平面.由，得， 故点即为所求的点.作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，.又，平面，，所以平面.因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以.在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $