湖北省武汉外国语学校2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 高一数学期末模拟卷紧扣必修二核心，以复数、概率统计、立体几何、向量为主体，通过“刍薨”传统文化情境、数据传输实际问题及动态几何探究，考查数学眼光观察现实、思维逻辑推理及语言表达应用能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数共轭、线面垂直、概率中位数|第7题以“刍薨”为载体，融合立体几何与文化传承| |填空题|3/15|复数模、三棱锥外接球、费马点|第14题结合三角形费马点，体现数学模型应用| |解答题|5/77|频率分布直方图、二面角、动态几何|第19题旋转矩形探究线线角与线面角，突出创新意识；第18题数据传输概率问题，培养数据观念|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若复数（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（　C　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 【解析】 因为，所以，则的虚部为1 2．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（　A　） A． B． C． D． 【解析】 根据题意，将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，有6种结果，分别为1，2，3，4，5，6， 其中大于3的结果有4，5，6．所以“正面向上的点数大于3”的概率 3．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“1⊥m”的充分条件是（　C　） A．α⊥β，l⊥α，m∥β B．α∥β，l⊥α，m⊥β C．α⊥β，l⊥α，m⊥β D．α⊥β，1∥α，m∥β 【解析】 对于A：已知α⊥β，l⊥α，m∥β，则1与m相交或1∥m或1与m异面，即A不满足题意；对于B：已知α∥β，l⊥α，m⊥β，则1∥m，即B不满足题意；对于C：已知α⊥β，l⊥α，m⊥β，则1⊥m，即C满足题意；对于D：已知α⊥β，1∥α，m∥β，则1与m相交或1∥m或1与m异面，即D不满足题意 4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AA1＝2，则直线AD1与BD所成角的余弦值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，连接B1D1，AB1，因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD∥B1D1， 所以∠AD1B1（或其补角）即为AD1和BD所成角，因为，AA1＝2，所以由勾股定理得：，，所以． 5．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数．根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（　D　） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 【解析】 对于A：因为平均数为2，中位数为1，所以5次点数总和为5×2＝10，且将5次点数从小到大排序，第三位为1，则从小到大排序前三位是1，1，1，后两位点数之和为10﹣3＝7，不确定是否出现点数6，故 A错误；对于B：因为中位数为3，众数为2，所以将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次，则从小到大排序前三位是2，2，3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误；对于C：因为中位数为3，极差为4，所以将5次点数从小到大排序，第三位为3，极差可能是5﹣1＝4，也可能是6﹣2＝4，不确定是否出现点数6，故C错误；对于D：因为平均数为2，方差为2.4， 所以5次点数总和为5×2＝10，若出现点数6，则其他四次点数之和为10﹣6＝4，只能是1，1，1，1，则方差，所以一定没有出现点数6，故D正确． 6．在平行四边形ABCD中，AD＝3，AC＝4，，现将△DAC沿AC折叠至△PAC，使得PB，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC，即16＝9+CD2﹣6CD•，解得CD＝5（舍负），故AC2+AD2＝CD2，可得AC⊥CD，在Rt△AOD中，OD，可得PO＝BO，等腰△POB中，cos∠PBO，所以△PBD中，PD，在△PAD中，PA＝AD＝3，所以∠PAD＝90°，可得S△PADPA•AD，因为AC⊥PA，AC⊥AD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，所以AC⊥平面PAD，可得VC﹣PADS△PAD•AC6，在△PBC中，PB2＝PC2+BC2＝34，所以∠PCB＝90°，可得S△PBCPC•BC，设点A到平面PBC的距离为d，则VC﹣PAD＝VP﹣ABC＝6，即，解得d，若AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ． 7．庑殿顶是我国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊（图1），《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍薨”．据记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”．如图2所示，刍薨是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下表为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍薨的正脊到底面的距离为（　A　） A．10m B．10m C．20m D．20m 【解析】 如图所示，已知AB＝24，BC＝12，EF＝8，过点F作FQ⊥AB于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ，则刍薨的正脊到底面的距离为FO，因为FQ⊥AB，FO⊥AB，FO∩FQ＝F，FO，FQ⊂平面FOQ，所以AB⊥平面FOQ，OQ⊂平面FOQ，所以OQ⊥AB，因四条斜脊长度相等，则，，又斜脊与底面所成角均为，则，即该刍薨的正脊到底面的距离为10m。 8．已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则（）•（2）的最大值为（　B　） A． B． C．4 D．5 【解析】 因为，，均为单位向量，与的夹角为60°，所以，，，所以，所以，又，当时取“＝”，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量满足，则（　BD　） A．向量为单位向量 B． C．向量与向量的夹角的余弦值为 D．向量与向量上的投影向量坐标为 【解析】 由，解得，对于AB：，，，故A错误，B正确；对于C：，C错误；对于D：向量在上的投影向量为，D正确． 10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件A＝“两个球颜色不同”，B＝“两个球标号的和为奇数”，C＝“两个球标号都不小于2”，则（　BC　） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．P（AB）+P（AC）＝P（A） D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） 【解析】 根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．则Ω＝{（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4），（3，4）}，A＝{（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）}，B＝{（1，2）、（1，4）、（2，3），（3，4）}，C＝{（2，3）、（2，4）、（3，4）}，AB＝{（2，3）、（1，4）}，AC＝{（2，3）、（2，4）}，BC＝{（2，3）、（3，4）}，ABC＝{（2，3）}。依次分析选项，对于A：AB＝{（2，3）、（1，4）}，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；对于B：P（A），P（C），P（AC），P（A）P（C）＝P（AC），A、C相互独立，B正确；对于C：P（AB），P（AC），P（A），则有P（AB）+P（AC）＝P（C），C正确；对于D：P（ABC），P（A），P（B），P（C），P（ABC）≠P（A）P（B）P（C），D错误． 11．如图，正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（　BCD　） A．B1C⊥平面ACC1A1 B．直线AA1与底面A1B1C1所成的角为60° C．正三棱台ABC﹣A1B1C1的外接球体积为32π D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 【解析】 如图所示，设三棱台上下底面中心分别为O1，O，连接O1O，A1O1，AO，A1C，B1C，上下底面均为正三角形，则．已知侧棱长，由正三棱台性质可知，O1O⊥上下底面，直角梯形AOO1A1中，，对于A：假设B1C⊥平面ACC1A1，而B1C⊂平面BCC1B1，则平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此B1C不垂直于平面ACC1A1，故A错误；对于B：直线A1A与底面A1B1C1的角为A1A与投影A1O1的夹角θ，根据前面计算可知，， 在Rt△AA1O中，，所以θ＝60°，故B正确；对于C：设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R，设MO1＝h，则MO＝|O1O﹣h|．由，，．在直角梯形AOO1A1中，， 则R2＝3+h2，R2＝12+（3﹣h）2，即3+h2＝12+（3﹣h）2⇒h＝3，R，所以外接球体积，故C正确；对于D：因为，．交线圆半径，圆心为A1在底面的投影，底面ABC为正三角形，交线圆与边AB、AC相交，形成圆心角为120°的弧，弧长，故D正确。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若（1+i）z＝4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为 　　 ．2 【解析】 由题意，z2+2i，所以|z|2． 13．已知三棱锥P﹣ABC的三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，则该三棱锥的外接球的表面积为 　　 ．3π 【解析】 因为三棱锥P﹣ABC的三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，所以该三棱锥的外接球的直径2R即为棱长为1的正方体的体对角线长，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为． 14．费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点．当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P为△ABC的费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，则最大内角的顶点为△ABC的费马点．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b，c＝2，，点P为△ABC内（含边界）一动点，则PA+PB+PC的最小值为　　 ． 【解析】 因为，所以，交叉相乘并整理：2cosAsinC＝sin（A+B）＝sinC．因为sinC≠0，所以2cosA＝1，所以，所以A＝60°．因为，，所以由余弦定理，得，所以，故B＝30°，C＝180°﹣60°﹣30°＝90°．将△BPC绕C顺时针旋转60°得△BP'C'，则PC＝P'C'，∠PCP'＝60°，△PCP'为等边三角形，PP'＝PC，此时PA+PB+PC＝PA+PP′+P′C′，当A、P、P'、C'共线时和最小，最小值为AC'的长度，AC'． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了100名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图估计样本数据的第80百分位数； （3）根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这100名住户上周体育锻炼时间的平均值． 【解析】 （1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为1，可得（0.05+0.1+0.15+a+0.075）×2＝1，解得a＝0.125． （2）前三个矩形的面积之和为（0.05+0.1+0.15）×2＝0.6，前四个矩形的面积之和为0.6+0.125×2＝0.85， 设样本数据的第80百分位数为m，则m∈（6，8），由百分位数的定义可得0.6+（m﹣6）×0.125＝0.8，解得m＝7.6． （3）由频率分布直方图可知，样本的平均数为1×0.1+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15＝5.3．估计这100名住户上周体育锻炼时间的平均值为5.3小时． 16．（本小题满分15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若a＝2，则△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【解析】 （1）由正弦定理得，其中sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，故，因为C∈（0，π），所以sinC≠0，故，即，所以，因为A∈（0，π），所以，故，解得； （2）由三角形面积公式得，故bc＝4，由余弦定理得，解得b2+c2＝8，故（b+c）2＝b2+c2+2bc＝8+8＝16，解得b+c＝4，故a+b+c＝6，周长为6． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，． （1）证明：DE⊥平面ACD； （2）求二面角B﹣AD﹣C的正切值． 【解析】 （1）证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC，由AC，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD； （2）如图所示，作BF⊥AD，与AD交于点F，BO⊥CD，与CD交于点O，连接OF，由（1）知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B﹣AD﹣C的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC＝2，AC，得AD；在Rt△ABD中，由BD，AB＝2，AD得BF，BO＝DE＝1，∴OF ∴tan∠BFO，所以二面角B﹣AD﹣C的正切值为． 18．（本小题满分17分）数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为α（0＜α＜1），收到的数字是0的概率为1﹣α；发送数字0时，收到的数字是0的概率为β（0＜β＜1），收到的数字是1的概率为1﹣β．假设每次数字的传输相互独立，且． （1）当α＝β时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； （2）用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n（X），如X＝“1011”，则n（X）＝3． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且P（n（X）＝0）：P（n（X）＝1）＝3：11，求β； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求P（n（X）＝2）的最大值． 【解析】 （1）记事件A表示“收到的所有数字都正确”，则由及α＝β可得：α＝β，所以P（A）． （2）（ⅰ）由发送的数据为“100”可知，事件n（X）＝0表示1传输错误且两个0传输都正确，所以P（n（X）＝0）＝（1﹣α）β2，而事件n（X）＝1包含以下两种情况：①1传输正确且两个0传输都正确，其概率为αβ2；②1传输错误且只有一个0传输都正确，其概率为2（1﹣α）β（1﹣β）＝β（2αβ﹣1），所以P（n（X）＝1）＝αβ2+β（2αβ﹣1）．又因为P（n（X）＝0）：P（n（X）＝1）＝3：11， 所以，即，所以11β+3＝20αβ．将αβ代入上式可得：20β2﹣19β+3＝0，所以或β，因为，且0＜α＜1，0＜β＜1，所以α＜1，β＜1，所以β． （ⅱ）当发送的数据为“1100”，事件n（X）＝2包含以下三种情况：①两个1传输都正确且两个0传输都正确，其概率为α2β2；②有且仅有1传输正确且有且仅有0传输正确，其概率为2α（1﹣α）×2β（1﹣β）＝4；③两个1传输都错误且两个0传输都错误，其概率为（1﹣α）2（1﹣β）2； 所以P（n（X）＝2）＝α2β2+4（1﹣α）2（1﹣β）2＝（αβ）2+4αβ（αβ），令t＝αβ，则t＝α（α），α＜1，所以t∈（，]，所以P（n（X）＝2）＝g（t）＝t2+4t（t）6t2﹣3t，由二次函数的图像与性质可知：g（t）在（，]上单调递增，所以g（t）的最大值为g（），故P（n（X）＝2）的最大值为． 19．（本小题满分17分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，△ACD是边长为的等边三角形，，棱AD的中点为F． （1）求证：AD⊥平面AA1B1B； （2）现在将矩形BCC1B1以边BB1所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形BEE1B1，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在θ，使得直线FE1与直线CD所成角的余弦值为若存在，求出满足条件的θ；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线FE1与平面BB1E1E所成角的正弦值的最大值． 【解析】 （1）证明：直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，△ACD是边长为的等边三角形，，棱AD的中点为F，∴在△ABC中，AB＝3，，，由余弦定理可得，即，解得，由勾股定理可得AB2+BC2＝AC2，故AB⊥BC，在底面ABCD中，∵，∴BC∥AD，∴AD⊥AB，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥AA1，∵AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面AA1B1B，∴AD⊥平面AA1B1B． （2）①连接BE1、BF、CF、EF，如图所示，∵BC∥AD，，F为AD的中点，∴DF∥BC，DF＝BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∴BF∥CD，，∴异面直线FE1与CD所成的角为∠BFE1或其补角，在矩形BEE1B1中，，故△BFE1为等腰三角形，且∠BFE1为锐角，故，由余弦定理得，解得，∵BB1⊥平面ABCD，EE1∥BB1，∴EE1⊥平面ABCD，∵EF⊂平面ABCD，EE1⊥EF，∴，∵四边形BCDF为平行四边形，∴，在△BEF中，，，，由余弦定理可得，∵，∴，∴，∴，∴在旋转过程中，存在θ，使得直线FE1与直线CD所成角的余弦值为，且； ②如图所示，过点F在底面ABCD内作FG⊥BE，垂足为点G，连接FG、E1G，∵BB1⊥平面ABCD，FG⊂平面ABCD，∴FG⊥BB1，∵FG⊥BE，BB1∩BE＝B，BB1、BE⊂平面BB1E1E，∴FG⊥平面BB1E1E，∴直线FE1与平面BB1E1E所成角为∠FE1G，FG＝BFsin∠EBF＝BFsin（θ）＝2sin（），当时，即当时，，∴EG＝BE﹣BG，此时E1G，∴，∴sin∠E1FG，令，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立；当时，，则，令t＝2﹣cos（）∈[2，2），则cos（）＝2﹣t，sin∠E1FG，由对勾函数的单调性可知，函数f（t）＝4﹣（t）在[2，2）上单调递减，∴sin，∴，∴sin∠E1FG的最大值为，∴旋转过程中，直线FE1与平面BB1E1E所成角的正弦值的最大值为1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/1 10:03:16；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若复数（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 2．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“1⊥m”的充分条件是（　　） A．α⊥β，l⊥α，m∥β B．α∥β，l⊥α，m⊥β C．α⊥β，l⊥α，m⊥β D．α⊥β，1∥α，m∥β 4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AA1＝2，则直线AD1与BD所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数．根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（　　） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 6．在平行四边形ABCD中，AD＝3，AC＝4，，现将△DAC沿AC折叠至△PAC，使得PB，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 7．庑殿顶是我国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊（图1），《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍薨”．据记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”．如图2所示，刍薨是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下表为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍薨的正脊到底面的距离为（　　） A．10m B．10m C．20m D．20m 8．已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则（）•（2）的最大值为（　　） A． B． C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量满足，则（　　） A．向量为单位向量 B． C．向量与向量的夹角的余弦值为 D．向量与向量上的投影向量坐标为 10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件A＝“两个球颜色不同”，B＝“两个球标号的和为奇数”，C＝“两个球标号都不小于2”，则（　　） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．P（AB）+P（AC）＝P（A） D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） 11．如图，正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（　　） A．B1C⊥平面ACC1A1 B．直线AA1与底面A1B1C1所成的角为60° C．正三棱台ABC﹣A1B1C1的外接球体积为32π D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若（1+i）z＝4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为 　 　 ． 13．已知三棱锥P﹣ABC的三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，则该三棱锥的外接球的表面积为 　 　 ． 14．费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点．当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P为△ABC的费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，则最大内角的顶点为△ABC的费马点．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b，c＝2，，点P为△ABC内（含边界）一动点，则PA+PB+PC的最小值为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了100名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图估计样本数据的第80百分位数； （3）根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这100名住户上周体育锻炼时间的平均值． 16．（本小题满分15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若a＝2，则△ABC的面积为，求△ABC的周长． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，． （1）证明：DE⊥平面ACD； （2）求二面角B﹣AD﹣C的正切值． 18．（本小题满分17分）数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为α（0＜α＜1），收到的数字是0的概率为1﹣α；发送数字0时，收到的数字是0的概率为β（0＜β＜1），收到的数字是1的概率为1﹣β．假设每次数字的传输相互独立，且． （1）当α＝β时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； （2）用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n（X），如X＝“1011”，则n（X）＝3． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且P（n（X）＝0）：P（n（X）＝1）＝3：11，求β； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求P（n（X）＝2）的最大值． 19．（本小题满分17分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，△ACD是边长为的等边三角形，，棱AD的中点为F． （1）求证：AD⊥平面AA1B1B； （2）现在将矩形BCC1B1以边BB1所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形BEE1B1，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在θ，使得直线FE1与直线CD所成角的余弦值为若存在，求出满足条件的θ；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线FE1与平面BB1E1E所成角的正弦值的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $