湖北武汉市吴家山中学2025-2026学年高一下学期数学测试题4.10

**基本信息** 高一下数学周测试卷，聚焦三角函数、向量、解三角形核心知识，通过弹簧振子简谐运动、声音复合音模型等真实情境，分层考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|定义域、向量投影、三角函数平移|基础概念辨析，如向量在单位向量上的投影计算| |多选题|3题|简谐运动参数、三角形性质判断、复合音函数|科学情境融合，如弹簧振子周期与振幅分析| |填空题|3题|向量模长、三角恒等变换、高斯取整运算|跨学科渗透，如结合取整符号考查正弦函数周期性| |解答题|5题|向量与几何综合、三角函数图像变换、解三角形应用|分层递进设计，如解三角形结合角平分线与中线求最值，向量法证明三点共线|

武汉市吴家山中学高一下学期数学试题（2026.4.10） 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 4．若，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7．已知的内接三角形中，，则（    ） A．10 B． C．14 D． 8. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9．某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 10．记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则这样的三角形只有一个 B．若，则为等腰直角三角形 C．若为边上的中线，且，则 D．若边上的高分别为，则最大角的余弦值为 11. 声音是由物体振动产生的声波，每个音可由纯音合成，纯音的数学模型为函数.音的四要素与函数的参数有关，如响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数为，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应的函数为，则声音甲的响度一定比纯音的响度小 D. 若声音乙对应的函数为，则声音乙一定比纯音更低沉 三、填空题 12．已知向量，，则_________． 13．已知，则_______________． 14. 德国数学家高斯用取整符号定义了取整运算，对于任意的实数，表示不超过实数的最大整数，例如，则______________． 四、解答题 15.如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求中线的长； (2)求的余弦值． (3)设，求t的值，并用向量方法证明． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在区间上的值域为，求m的取值范围． 17．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求的值域以及取最大值时的值. 18．已知的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角； (2)设是边上一点，平分，，求的值； (3)设为边的中点，，求的最大值. 19．如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设. (1)试用向量表示； (2)判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由； (3)设的面积为的面积为，求的取值范围. 武汉市吴家山中学高一下学期数学试题（2026.4.10）参考答案 DBDB ABD 8．B【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值，令，结合图象， ∴，解得． 9．ACD 10．BCD 【详解】对于A，由正弦定理得，则，得， 因为，所以或，所以满足条件的三角形有2个，所以A错误； 对于B，由，根据正弦定理得，当且仅当时等号成立，此时，，，又，∴，，，所以为等腰直角三角形，故B正确； 对于C，因为为边上的中线，，又且，所以，即，故C正确； 对于D，根据三角形的面积公式得，即，设，由于,故为最大的内角，由余弦定理得，故D正确. 11.【答案】BD 对于A，假设能取到，则必须使与同时取到最大值， 而当取到最大值1时，有，此时， 故函数不可能取到，故A错误； 对于B，因为，所以，，显然，，均在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，，所以，所以的振幅比的振幅大，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为2π，的最小正周期为π，所以的最小正周期为2π，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率，，故声音乙一定比纯音更低沉，故D正确. 12．． 13．/ 14．【答案】 【详解】根据正弦函数的周期为，一个周期内有 当时，， 当时，， 所以， 根据三角函数的周期性可知 . 15．【详解】（1）因为为BC的中点，， ，. （2） 因为，,. （3），证明如下：， 因为三点共线，所以，又， 所以，所以，解得. 16．（1）解：函数的最小正周期； 令，，解得，． 即的单调递减区间为． （2）当时，，令，即， 画出上的图象如图， 因为在的值域为，所以， 解得，即m的取值范围为． 17．（1）根据函数图象可得，， 又，得， 又.所以； （2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到 再向右平移个单位，得到∴. 当时，.∴，∴ 即的值域为，当时，，得∴取最大值时的值为. 18．（1）由及正弦定理得， 即，利用余弦定理可知，.因为，所以. （2）在中，，，所以，即， 因为为角平分线，所以，所以， 由余弦定理，得，则.因此. （3）由余弦定理，即， 所以，解得，当且仅当时取等号， 因为为的中点，所以， 所以. ， 所以，当且仅当时取等号，即的最大值为. 19（1）∵为的中点，为的中点，∴. （2）∵三点共线，∴，又， ∴由（1）知， 而不共线，所以，解得，所以为定值. （3），由（2）知，即 则令且，所 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 且，∴有最小值，最大值，故. 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $