精品解析：湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知全集，集合. 由，依次计算：，，，， 可得，所以. 所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解析：. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 存在整数，使得． C. 存在一个无理数，它的立方是有理数． D. 至少有一个整数，使得为奇数． 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由命题的否定即可判断，对于BD，通过条件得其运算结果为偶数不是奇数，对于C，由指数幂的运算即可找到满足题意的无理数. 【详解】A选项：命题“”的否定是“”，故A错； B选项：偶数 奇数，故B错误； C选项：，故C正确； D选项：为偶数，故D错误． 4. 设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（ ） A. －2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】联立由平面向量基本定理所得关系与条件即可求解k的值. 【详解】 由是平面内一组基底可知，与不共线， 则有 ，联立，故, 解得． 5. 在平面直角坐标系中，放置一个边长为4的正，点与原点重合，边与轴重合，则用斜二测画法画出的的直观图的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示:过作，易知. 由余弦定理有: ． 所以直观图的周长为． 6. 若满足，则下列结论正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式结合已知等式，先求出的取值范围，再代入各结论进行判断即可. 【详解】因为，即，代入， 得，即，故③正确， 因为，即，代入， 得，即， ， 结合得， 则，且,故①正确②错误， ，故④错误. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用大正方体的体积减去两个三棱锥和两个三棱台的体积即可求解. 【详解】由题意得, , . 8. 已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解析： 或． 综上所述或. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则或． B. 若，，，则． C. 若，，，则． D. 若，为异面直线，，，则． 【答案】AC 【解析】 【分析】由线面平行与面面平行的判定与性质判断选项即可. 【详解】由正方体来辅助证明，取的中点，连接EF. 对于A，设平面为，平面为， 当时， ，当时， ，故A正确; 对于B， 设平面为，，此时， 设，平面为，此时，，但，故B错误， 对于C， 设平面为，平面为，平面为， ，，则，即，故C正确； 对于D， 设，平面为，此时， 设，平面为，此时，，故D错误. 10. 已知复数，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则． B. 在复平面内对应的点为，且满足，则． C. 若，则． D. 若，则． 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，取，，则，但不全为0，故A错误. 对于选项B，先化简，在复平面对应点为，模长，条件，点的轨迹是以为圆心，以1和2为半径的圆环，故的最大值是，最小值是，所以可得，故B正确. 对于选项C.复数不能比较大小，仅实数可比较，故仅能说明为正实数，不能保证为实数，若不为实数，则无意义，故该命题错误. 对于选项D.，若，等式成立，不满足，故D错误. 11. 某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（） A. B. 当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒． C. 记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称． D. 当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒． 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由摩天轮最高点、最低点高度求出，再由周期求出，由时游客位于最低点求出，判断A；再把高度不低于29米转化为三角不等式，求出满足条件的时间长度，判断B；然后写出关于的表达式，判断其对称中心，判断C；最后根据座舱、座舱与游客座舱的初始相位分别写出高度函数，化简不等式并求时长，判断D． 【详解】由题可知，的最大值与最小值分别为38和2，可得，解得， 每转一圈用时36秒，则的周期为36，可得， 解得，结合的范围解得，故A选项正确； 由A可得， 令．当时，．由，得所以， 在内，满足条件的为， 因此，解得，时长为秒，故B正确； 当时，由，得即， 所以一圈内满足条件的的长度为， 于是， 由此可知， 即函数的图象关于点成中心对称， 而，不是，故C错误； 由图中初始位置可知，时座舱在圆心左侧，座舱在圆心右侧，且二者均与点等高， 令，则， 且游客从最低点进舱，有， 于是， 所以， 由，得， 当时，满足的区间为， 这两个区间的总长度为，对应时间长度为秒，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 复数，则的虚部是_____． 【答案】## 【解析】 【详解】先化简：，. 所以，共轭复数. 的虚部为. 13. 已知平面向量，，．若在上的投影向量与在上的投影向量相等，则_____，投影向量坐标为_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】已知,,. . . . 由题意得 . 因为. 所以,即，解得. 将代入，. . . 投影向量为. 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切．点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以半径为 6 的球与正四棱台侧面相切的截面为分析对象，利用等腰梯形的几何关系与二倍角公式求出切点到下底顶点的水平距离，进而得到两球心间距；再结合对称性确定球心轨迹为边长为 6 的正方形区域，最后将总体积拆分为一个球、两个圆柱和一个长方体的体积之和进行计算. 【详解】由题知球的半径为6，如图所示正四棱台， 当球与左边或右边侧面相切时，沿斜高作出如图截面. 下底边长为，上底边长，高，所以，. 根据题意四边形为等腰梯形，，则， 又球心在的角平分线上，， . 解得，或（舍去）， 又 . 所以， 根据对称性，球心的轨迹是以为边长的正方形球的半径为6. 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设实数，复数 ． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数实部为0且虚部不为0的限制求解即可, （2）利用实系数一元二次方程“复数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. 【小问2详解】 当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 16. 如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 【答案】（1）连接，由点为线段上靠近点的三等分点，得， 由为线段的中点，得，由，得， 而，则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面， 又点为线段的中点，则，同理平面， 而平面，则平面平面，又平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行 判定性质推理得证. （2）利用面面平行的性质确定点位置并作出此点，再利用平行线分线段成比例定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面平面，而平面平面，平面平面， 则，，所以点是线段上靠近点的三等分点，如图. 17. 函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）求方程在内所有解的和． 【答案】（1） （2）和，和为． 【解析】 【分析】（1）利用函数最值列方程组求出,由两点横坐标差得半周期进而求出,代入最高点坐标结合范围确定,再根据正弦函数递减区间解出的单调递减区间. （2）换元化简绝对值方程,分类讨论求得,再解三角方程,找出区间内所有解并求和. 【小问1详解】 由题意，最高点和最低点，得，. 解得，. ，故. 由得.所以. 代入：，即. 又，得，故. 解析式为. 令，解得. 故单调递减区间为. 【小问2详解】 令，方程. 当时，（舍去）； 当时，. 故，即，. 得，解得. 在内的解为和，和为. 18. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解； （2）若，对，均有，求的取值范围； （3）若，对，均有，证明：，并求出等号成立时的值． 【答案】（1） （2） （3）由题意，对恒成立. 因为，且，故不等式可化为. 又在上单调递增，因此对恒成立.令，则，上式两边同除以得. 由,根据基本不等式，，于是，即. 因此. 而，故，得证. 当时,上述不等式需全部取等,必有,解得. 代入得,此时取到等号,符合条件. 所以等号成立时的值为1. 【解析】 【分析】（1）将化为同底对数式，设转为一元二次方程求解并舍去负根； （2）结合对数单调性把恒成立问题化为含参二次函数在上恒非负，依据基本不等式或对称轴分类讨论结合判别式求出范围； （3）同理转化为二次函数恒成立，代入证得，再分析等号成立条件确定的值. 【小问1详解】 当时，. 由得. 变形为. 于是，整理得. 令，方程化为，解得（负根舍去）. 由，得，方程的解为. 【小问2详解】 当时，对恒成立. 变形得. 因为单调递增，故. 即对恒成立. 令，则在上恒成立. 方法一：所以则在上恒成立， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 故，故. 方法二：设，对称轴. ①当即时，在单调递增，时，所以. ②当即时，只需，解得，结合前提得. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 ． （1）若，求； （2）若不是直角三角形． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）过点作直线 分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值． 【答案】（1）或； （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换化简已知等式，得出角A和角B的关系式，再结合三角形内角和定理求解角C, （2）（I）利用正弦定理将待求的边长平方比转化为关于单一变量的函数，并结合角B的取值范围通过分析函数单调性求得取值范围,（II）借助相似三角形性质和正弦定理得出三角形各边角的关系，再利用三角形面积与内切圆半径面积法求得目标比值. 【小问1详解】 通过移项可得， 利用二倍角公式得到， 当时等式成立，； 当时，，整理得，解得 综上，或； 【小问2详解】 由（1）可知，，可得， 由正弦定理得 易得，设 ，则． 又函数在区间上单调递减，区间上单调递增， 所以当时原式取得最小值为；当和1，原式取得最大值均为1． 综上，． （II）由 可得， ，则 ，易证与相似，解得． 设，由勾股定理可得，解得． 由正弦定理得 ， 解得， 因此有 ，根据内切圆半径公式，得 ，则． 另解：如图所示，容易算出 ， 过点作 ，于是四边形为矩形，三角形为等腰三角形． 设，在中，，结合 ， 可算出．一方面，， 代入，即得； 另一方面，． 从而． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 存在整数，使得． C. 存在一个无理数，它的立方是有理数． D. 至少有一个整数，使得为奇数． 4. 设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（ ） A. －2 B. C. D. 2 5. 在平面直角坐标系中，放置一个边长为4的正，点与原点重合，边与轴重合，则用斜二测画法画出的的直观图的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 若满足，则下列结论正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则或． B. 若，，，则． C. 若，，，则． D. 若，为异面直线，，，则． 10. 已知复数，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则． B. 在复平面内对应的点为，且满足，则． C. 若，则． D. 若，则． 11. 某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（） A. B. 当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒． C. 记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称． D. 当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 复数，则的虚部是_____． 13. 已知平面向量，，．若在上的投影向量与在上的投影向量相等，则_____，投影向量坐标为_____ 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切．点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设实数，复数 ． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 16. 如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 17. 函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）求方程在内所有解的和． 18. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解； （2）若，对，均有，求的取值范围； （3）若，对，均有，证明：，并求出等号成立时的值． 19. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 ． （1）若，求； （2）若不是直角三角形． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）过点作直线 分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $