第06讲 整式的除法（暑假预习讲义，8题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第06讲 整式的除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1同底数幂的除法运算 题型2 同底数幂除法的逆用 题型3零指数幂 题型4 幂的混合运算 题型5计算单项式除以单项式 题型6 用科学记数法表示数的除法 题型7多项式除以单项式 题型8 整式四则混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同底数幂除法、底数不为0、指数相减、零指数幂、单独字母因式 系数相除、同底数幂分别相除、被除式独有字母、商式为单项式、符号运算 【基础目标·全员掌握】 1. 熟记同底数幂除法法则：，知道底数不能为0，能直接计算简单幂除法。 2. 熟练单项式除以单项式三步运算：系数相除→同底数幂相除→保留被除式独有字母，能独立完成基础计算题。 3. 掌握多项式除以单项式法则：多项式每一项分别除以单项式，再把商相加，能处理不含括号的基础多项式除法。 【提升目标·中档必达】 1. 能处理带负系数、负底数的整式除法，准确判断各项符号，规避符号错误。 2. 混合运算（幂乘除、整式加减除混合）分清运算顺序，先算乘除、再算加减。 3. 会用乘法逆运算检验除法结果，养成验算习惯。 1. 化简求值题型：先除法化简，再代入字母数值计算。 2. 逆向题型：已知除式、商，反求被除式；已知被除式、商，反求除式。 3. 含零指数幂、参数求值、不含某字母项求参数等综合题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01同底数幂的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 要点归纳：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、（）任何不等于零的数的零次幂都等于1 【易错提醒】把指数相减做成相除，混淆乘除法则；乘法指数相加，除法指数相减。 知识点02 单项式除以单项式 1、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 【方法总结】 1. 系数单独除：有理数除法，先定符号，再算绝对值；分数结果保留最简。 2. 同字母幂相除：底数不变，指数相减。 3. 独有字母直接抄：只在被除式出现的字母连同指数全部写进商；除式独有字母不能保留。 知识点03 整式除以单项式 整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 【易错提醒】被除式几项，商就几项，做完数项数，少一项必错；常数项不能丢，常数÷单项式写成分式形式；除式带负号时，每一项符号全部反转。 题型1 同底数幂的除法运算 【例1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：________． 【例2】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： 【易错警示】 同底数幂除法：指数减法和加法混淆，忽略底数a≠0的限制条件 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列式子中，正确的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是______． 【变式1-3】．（22-23七年级·上海·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型2 同底数幂除法的逆用 【例3】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【例4】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果，，那么______． 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求，的值． 【变式2-1】．若，，则等于（     ） A． B．6 C．21 D．20 【变式2-2】．已知，，则______． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知的商与是同类项，且，求的值． 题型3零指数幂 【例6】．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）若，则的值是___________． 【易错警示】零指数幂运算：出现无意义运算、负数零次幂未添加括号导致出错变式3-1 【变式3-1】．计算： _______． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是______． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是___________． 题型4 幂的混合运算 【例7】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例8】．计算： ______． 【例9】．（1）计算： （2）计算： 【变式4-1】．，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式4-2】．计算：________． 【变式4-3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 计算单项式除以单项式 【例10】．（2025七年级上·上海·专题练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例11】．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【易错警示】单项式除法：遗漏被除式独有字母、系数正负符号判断错误、指数计算失误 【变式5-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【变式5-3】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 题型6 用科学记数法表示数的除法 【例12】．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【变式6-2】．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的__________倍． 【变式6-3】．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 题型7整式除以单项式 【例13】．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【例14】．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：_____． 【例15】．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 【易错警示】整式除法：漏除整式某一项、除式为负时未全部变号、忽略常数项运算 【变式7-1】．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【变式7-3】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【变式7-4】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 题型8整式四则混合运算 【例16】．（25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则______． 【例17】．计算：． 【技巧归纳】混合化简题：结合乘方、乘法、除法的整式综合化简 【变式8-1】．现定义运算“”，对于任意有理数，，都有． 例如：，由此可知___________． 【变式8-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式8-3】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式8-4】．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·上海·期中）定义：如果 （，），那么x叫做以a为底N的对数，记作 ．例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ．则在下列4个下列说法：① ；② ；③ ；④ 中，正确的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 7．已知，，则______________． 8．计算的结果是：_________． 9．计算：______． 10．若，则_____． 11．计算：___________． 12．若，则x的值为_______． 13．若（n为常数），则n的值为__________． 14．如果，且，，那么___________． 15．已知，，m、n为正整数，则______． 16．若，则________． 17．若，计算：___________． 18．已知，则的值是________． 三、解答题 19．解答下列各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 20．已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 21．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1) (2) 25．（1）计算：； （2）化简：． 26．先化简，再求值：，其中a，b满足 27．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 整式的除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1同底数幂的除法运算 题型2 同底数幂除法的逆用 题型3零指数幂 题型4 幂的混合运算 题型5计算单项式除以单项式 题型6 用科学记数法表示数的除法 题型7多项式除以单项式 题型8 整式四则混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同底数幂除法、底数不为0、指数相减、零指数幂、单独字母因式 系数相除、同底数幂分别相除、被除式独有字母、商式为单项式、符号运算 【基础目标·全员掌握】 1. 熟记同底数幂除法法则：，知道底数不能为0，能直接计算简单幂除法。 2. 熟练单项式除以单项式三步运算：系数相除→同底数幂相除→保留被除式独有字母，能独立完成基础计算题。 3. 掌握多项式除以单项式法则：多项式每一项分别除以单项式，再把商相加，能处理不含括号的基础多项式除法。 【提升目标·中档必达】 1. 能处理带负系数、负底数的整式除法，准确判断各项符号，规避符号错误。 2. 混合运算（幂乘除、整式加减除混合）分清运算顺序，先算乘除、再算加减。 3. 会用乘法逆运算检验除法结果，养成验算习惯。 1. 化简求值题型：先除法化简，再代入字母数值计算。 2. 逆向题型：已知除式、商，反求被除式；已知被除式、商，反求除式。 3. 含零指数幂、参数求值、不含某字母项求参数等综合题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01同底数幂的除法 1、同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． （、是正整数，且，） 要点归纳：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式． 2、（）任何不等于零的数的零次幂都等于1 【易错提醒】把指数相减做成相除，混淆乘除法则；乘法指数相加，除法指数相减。 知识点02 单项式除以单项式 1、单项式除以单项式法则 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2、单项式除以单项式的步骤 把系数相除，所得的结果作为商的因式； 把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式； 只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式． 3、单项式混合运算法则 通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算． 【方法总结】 1. 系数单独除：有理数除法，先定符号，再算绝对值；分数结果保留最简。 2. 同字母幂相除：底数不变，指数相减。 3. 独有字母直接抄：只在被除式出现的字母连同指数全部写进商；除式独有字母不能保留。 知识点03 整式除以单项式 整式除以单项式的法则 整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：． 【易错提醒】被除式几项，商就几项，做完数项数，少一项必错；常数项不能丢，常数÷单项式写成分式形式；除式带负号时，每一项符号全部反转。 题型1 同底数幂的除法运算 【例1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：________． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的法则是解题的关键．根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，首先根据乘方的运算法则把它们转化成同底数幂，再根据同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】解： ． 【易错警示】 同底数幂除法：指数减法和加法混淆，忽略底数a≠0的限制条件 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列式子中，正确的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法，以及积的乘方的运算，要熟练掌握运算法则． 根据同底数幂的除法与积的乘方运算方法逐一判断即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； 故选：B． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是______． 【答案】4 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算规则是解题的关键．利用同底数幂的除法法则，将等式左边化为，右边写成以2为底的幂形式，再比较指数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式1-3】．（22-23七年级·上海·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】（1）根据同底数幂相除，底数不变指数相减即可得出答案； （2）根据同底数幂相除，底数不变指数相减即可得出答案； （3）根据同底数幂相除，底数不变指数相减即可得出答案． 【详解】（1）； ； （2）； ； ； （3）； ； ． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减．理解同底数幂的法则是解题的关键． 题型2 同底数幂除法的逆用 【例3】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算将原式变形，然后将已知的式子代入求解即可． 【详解】解：， ． 故选D． 【例4】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果，，那么______． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆运算，幂的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握计算公式． 先将原式变形为，再逆用幂的乘方运算法则得到，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求，的值． 【答案】3；288 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 【详解】解：①； ②. 【变式2-1】．若，，则等于（     ） A． B．6 C．21 D．20 【答案】A 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】运用同底数幂的除法进行分解，把值代入求职即可； 【详解】解：由题可得， 把，代入上式得： 原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，准确应用公式是解题的关键． 【变式2-2】．已知，，则______． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数的除法，正确的计算是解题的关键．根据同底数的除法计算即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知的商与是同类项，且，求的值． 【答案】17 【知识点】同底数幂除法的逆用、通过对完全平方公式变形求值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则、同类项的定义以及完全平方公式的应用，熟练掌握同底数幂的除法法则、同类项的定义和完全平方公式是解题的关键． 先根据同底数幂的除法法则化简式子，再根据同类项的定义求出与的关系式，结合，利用完全平方公式求出的值． 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴． 又∵， ∴． 题型3零指数幂 【例6】．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）若，则的值是___________． 【答案】/ 【知识点】零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂，根据指数运算的性质，任何非零数的零次方等于1，得到，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 解得． 故答案为：． 【易错警示】零指数幂运算：出现无意义运算、负数零次幂未添加括号导致出错变式3-1 【变式3-1】．计算： _______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的加法，乘方，零指数幂，掌握知识点是解题的关键． 先计算乘方，零指数幂，再进行有理数的加法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是___________． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握零指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的零指数幂等于1，零的零指数幂没有意义． 根据求解即可． 【详解】解：由题意， 成立的条件是底数 ． 解得 ． 故答案为：． 题型4 幂的混合运算 【例7】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的混合运算 【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键． 【例8】．计算： ______． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例9】．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-1】．，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【知识点】幂的混合运算 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 【变式4-2】．计算：________． 【答案】4x 【知识点】幂的混合运算 【分析】结合幂的有关运算法则计算即可． 【详解】 = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，先去括号，再算乘除，再算加减，同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减． 【变式4-3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型5 计算单项式除以单项式 【例10】．（2025七年级上·上海·专题练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、， 故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：B． 【例11】．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【详解】解： ． 【易错警示】单项式除法：遗漏被除式独有字母、系数正负符号判断错误、指数计算失误 【变式5-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查单项式除单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式除单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方和整式除法，先计算乘方，再进行除法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ：． 【变式5-3】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 题型6 用科学记数法表示数的除法 【例12】．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示数的除法、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式6-1】．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 【变式6-2】．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的__________倍． 【答案】8 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 【变式6-3】．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【知识点】用科学记数法表示数的除法、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 题型7整式除以单项式 【例13】．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 【例14】．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：_____． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【例15】．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【易错警示】整式除法：漏除整式某一项、除式为负时未全部变号、忽略常数项运算 【变式7-1】．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴被墨汁遮住的一项是， 故选：． 【变式7-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式7-3】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式7-4】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 . 题型8整式四则混合运算 【例16】．（25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则______． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式除法的意义，被除数等于除数乘以商，通过分配律计算即可． 【详解】由题意可得： 故答案为：． 【例17】．计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算多项式乘以多项式以及多项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【技巧归纳】混合化简题：结合乘方、乘法、除法的整式综合化简 【变式8-1】．现定义运算“”，对于任意有理数，，都有． 例如：，由此可知___________． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】利用题中的新定义对进行化简计算即可解答． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，理解和运用新定义是解本题的关键． 【变式8-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 【变式8-3】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据积的乘方将原式化简，然后根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则进行运算，最后合并同类项即可．解题的关键是掌握单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解： ． 【变式8-4】．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，同底数幂的乘除法，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了幂的乘方，单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，负整数指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法． 直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】 故选：A 4．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，掌握相关运算法则是关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等法则，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】∵A．与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵B．，∴B错误； ∵C．，∴C错误； ∵D．，∴D正确， 故选：D． 6．（23-24七年级上·上海·期中）定义：如果 （，），那么x叫做以a为底N的对数，记作 ．例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ．则在下列4个下列说法：① ；② ；③ ；④ 中，正确的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】根据题目给出的对数定义，结合乘方运算，逐项判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④，共3个． 二、填空题 7．已知，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，根据即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．计算的结果是：_________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算、单项式除以单项式，熟记运算法则是解本题的关键．先计算积的乘方运算，再计算单项式除以单项式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： ． 9．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 10．若，则_____． 【答案】8 【分析】根据，得，再根据同底数幂的除法得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握法则是关键． 11．计算：___________． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算法则是解题的管． 12．若，则x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故答案为：． 13．若（n为常数），则n的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的计算法则得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如果，且，，那么___________． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 15．已知，，m、n为正整数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，先把处理得，再结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 故答案为： 16．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂运算、零指数幂有意义的条件、利用绝对值的意义解方程等知识，先由零指数幂有意义的条件、零指数幂运算得到，且，由绝对值的意义解方程即可得到答案．熟记零指数幂运算、零指数幂有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，且 ， 故答案为：． 17．若，计算：___________． 【答案】1 【分析】根据同底数幂的除法法则，逐步计算．本题主要考查了同底数幂的除法法则，熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 18．已知，则的值是________． 【答案】16 【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则，可得c=2a÷4b=2a÷22b=2a-2b，再把a-2b=2代入计算即可． 【详解】解：∵a-2b=2， ∴c=2a÷4b =2a÷22b =2a-2b =22 =4． ∴ca-2b=42=16． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 三、解答题 19．解答下列各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)68 【分析】本题主要考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 20．已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)27 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法的逆用，幂的乘方逆用，掌握这些法则并灵活应用是关键； （1）逆用同底数幂的乘法与除法即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，计算出，即可证明． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，， ， 所以． 21．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）用多项式除以单项式法则计算； （2）用多项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先运用多项式除以单项式的法则计算除法运算，再合并同类项得到结果. （2）运用多项式乘多项式的法则展开式子，再合并同类项得到结果. 【详解】（1）解： （2）解： 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 25．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算乘方和括号内的，再计算除法，最后算加减即可； （）先通过完全平方公式和平方差公式计算括号内的，然后通过多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（）解：； ； （）解： ． 26．先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 27．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $