2026年６月惠州光正高一下学期期末模拟考试卷

**基本信息** 试卷以《九章算术》文化素材（如鳖臑、阳马）与现实问题（如竞赛概率、统计案例）为载体，分层考查复数、统计、立体几何等知识，渗透数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、分层抽样、线面关系|结合鳖臑考外接球与内切球，体现空间观念| |多选|3/18|百分位数、复数性质、三角恒等变换|辨析统计方差与复数几何意义，考查推理意识| |填空|3/15|中位数、异面直线所成角、独立事件|通过四面体中点求异面直线距离，培养几何直观| |解答题|5/77|阳马线面证明、竞赛概率计算、三角函数单调性|17题以阳马证线面平行，19题结合竞赛规则算概率，发展逻辑推理与数学建模|

2026年６月惠州光正高一下学期期末模拟考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.的虚部为(    ) A. B. 0 C. 1 D. 6 2.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则  A. 96 B. 72 C. 48 D. 36 3.已知非零向量，，，则“”是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是  A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为      A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 6. 若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为    A. B. C. D. 7.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为        A. 63、64、66 B. 65、65、67 C. 65、64、66 D. 64、65、64 8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面BCD，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9.下列说法正确的是(    ) A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B. 已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的标准差为2，则，，…，的标准差是6 10.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是    A. B. 若，则不可能是纯虚数 C. 若，则在复平面内 z对应的点 Z的集合确定的图形面积为 D. 是关于 x的方程的一个根 11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则    A. B. 为锐角三角形 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则          . 13.如图，在四面体中，，M，N分别是AC，BD的中点，若异面直线AB，CD所成角的大小为，则MN的长为          . 14.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为          ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知复数， 若z为纯虚数，求 若关于x的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中z的形式，求下面情况下p，q的值：两个根都是实数; 16.本小题15分 已知向量 若，求的值； 若，求实数k的值； 若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 17.本小题15分 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. 证明：平面PAD； 证明：平面PCD； 求直线BF与平面ABCD所成角的大小. 18.本小题17分 已知函数， 求的单调递增区间； 设为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求的面积． 19.本小题17分 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了频率分布直方图，如图. 求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值代替 采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率. 已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛比赛没有平局，先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大 2026年６月惠州光正高一下学期期末模拟考试卷答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：，所以z的虚部为1 2.【答案】B 【解析】解：设样本中A型号车为x辆，则B型号为辆， 则，解得，即A型号车16辆，则，解得 3.【答案】B 【解析】如图所示，，，，，当时，与垂直，，所以成立，此时，所以不是的充分条件，当时，，所以，所以成立，所以是的必要条件．综上，“”是“”的必要不充分条件．故选 4.【答案】A 解：若，且，则或，又，则，A正确; 若，，且，则与也有可能相交，B错误； 若，，，则m与n也可能相交，C错误； 若，，，则m与n相交，平行或异面，D错误. 5.【答案】A 解：事件“第一枚出现奇数点”，  ， 事件“第二枚出现点数不超过3”，  ， 事件“第一枚出现奇数点，第二枚出现点数不超过3”，  ， 满足，所以事件A和事件B是相互独立事件，B，C，D均是错误的. 6. 【答案】C  7.【答案】B 解：由频率分布直方图可知，众数为， 由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65， 平均数为 8.【答案】C  【解析】解：设外接球半径为R，已知外接球的表面积为，， 解得，则， 因为平面BCD，，且是直角三角形， 所以， 又因为三棱锥的外接球的直径就是以AB， BC， CD为棱的长方体的体对角线。 设，则根据长方体体对角线公式可得， 把代入，即，，，解得， 三棱锥的体积，其中，， 所以，， ，， ，所以， 设内切球半径为r，根据等体积法，即， 则， 9.【答案】BD  解：因为，所以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数，即，故A选项错误；所以数据2，3，5，x，8的平均数为5，，，所以数据2，3，5，7，8的方差是， 故B选项正确；用分层随机抽样时，每层的个体被抽到的概率相同，故C选项错误； 因为，，…，的标准差为2，方差为4，所以，，…，的方差为，所以标准差为6，故D选项正确． 10.【答案】ABD  解：对于A，设，，则则， ，，所以，故A正确； 对于B，若是纯虚数，则，即， 不存在实数m满足上式，故z不可能是纯虚数，故B正确； 对于C，若，则在复平面内 z对应的点 Z的集合确定的图形为以为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，其面积为，故C错误；对于D，将代入，得， 故是关于 x的方程的一个根，故D正确. 11.【答案】ABD  【解析】解：已知，根据二倍角公式，可得， 则，即因为，所以，可得则，可得 因为，所以，，两边同时除以，可得，故A选项正确.由，可知与同号，又因为，所以B，C都是锐角. ， 所以A也是锐角，因此为锐角三角形，故B选项正确. 因为，所以当且仅当时取等号 ，因为在上单调递增，且，所以，故C选项错误.根据余弦定理，由，可得，因为当且仅当时取等号， 所以又因为， 所以，当且仅当且时取等号， 而不成立，所以，故D选项正确. 12.【答案】36 【解析】解：因为四个数的平均数为4，所以，因为中位数是3， 所以，解得，代入上式得，所以，故答案为： 13.【答案】3或  【解析】取AD的中点E，连接NE，ME，如图所示， 因为M，N，E分别是AC，BD，AD的中点， 所以，， 且，， 所以为直线AB，CD所成的角或其补角， 又异面直线AB，CD所成角的大小为， 所以或. 当时，为等边三角形，所以 当时，在中， 由余弦定理可得， 所以 综上所述，或 14.【答案】 ；   15.【答案】解：若z是纯虚数，则，解得，所以； 若，则，解得或， 当时，，当时，， 即方程的两个实根为20和0， 所以，； 16.【答案】解：因为向量，且， 所以，解得， 所以 因为，且， 所以，解得 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且 17.【答案】解：证明：作PD的中点M，连接､， 由M､得分别为､的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形AMFE为平行四边形，所以， 因为平面平面PAD， 所以平面PAD 证明：因为，所以， 因为底面ABCD，而底面ABCD，所以， 又因为平面PAD，且， 所以平面PAD，而平面PAD，所以， 因为，， 所以，， 又因为平面PCD， 所以平面PCD； 连接交于点O，连接OF， 因为点分别为的中点，所以， 所以平面ABCD， 所以BO为BF在平面ABCD中的射影， 所以BF与平面ABCD所成角为， 由已知得所以， 因为为锐角，所以， 所以BF与平面ABCD所成角为 . 18.【答案】解：函数，， 由，， 解得，， ， 可得的单调递增区间为； 设为锐角三角形， 角A所对边，角B所对边， 若，即有，A为锐角， 解得，即， 由余弦定理可得， 化为， 解得或3， 若，则， 即有B为钝角， 不成立， 则，经检验符合条件， 的面积为  19.【答案】解：由频率分布直方图得，，解得 估计高一年级初赛成绩的平均成绩为分 所以，平均成绩为分. 由知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为a，b， 在中随机抽取了人，记为c，d，e， 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点. 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点，因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率为 若首场甲、乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为 ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为 ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为 若首场甲、丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为 ②甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，概率为 ③甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为 若首场乙、丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为 ②乙、丙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为 所以最终甲获胜的概率为 因为，所以首场由甲、乙比赛才能使甲获胜的概率最大 1 学科网（北京）股份有限公司 $