5.5　复数 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦复数核心素养，以“概念-运算-几何意义”为主线，通过分层题型系统提炼运算技巧与几何转化方法，实现知识逻辑与解题能力的双提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|6题|复数四则运算、模的性质应用、共轭复数乘积公式|从代数形式到三角形式，构建运算规则与性质推导链条| |几何意义|3题|复平面点对称、距离公式、轨迹方程转化|通过坐标对应建立数与形的联系，体现几何直观素养| |性质应用|5题|复数为实数的判定、模的最值、方程根的性质|以概念辨析为基础，发展逻辑推理与数学抽象能力|

5.5　复　　数 一、 单选题 1 [2025苏州期初]已知i是虚数单位，则等于(　　) A. 1＋2i B. 1－2i C. －1－2i D. －1＋2i 2 [2025苏北四市一模]已知复数z满足(1＋i)z＝2i－1，则||等于(　　) A. B. C. D. 3 [2025青岛一模]若(1＋2i)z＝5，则z·等于(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4 若复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5 [2025苏州期中]在复平面内，已知i是虚数单位，复数z与关于虚轴对称，则z等于(　　) A. 1＋i B. －1－i C. －1＋i D. 1－i 6 [2025南京中华中学期中]已知z＋＝1，z－＝i，则等于(　　) A. ＋i B. －i C. －＋i D. －－i 7 [2025连云港期中]设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2<0，则x的值为(　　) A. －1 B. －2 C. －4 D. －8 8 若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则|z|的最小值为(　　) A. 1 B. C. D. 2 二、 多选题 9 已知z∈C，为z的共轭复数，则下列条件可判定z∈R的是(　　) A. ＝ B. z·＝0 C. z2＝()2 D. z2·＝z·()2 10 复数z＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)在复平面内对应点Z(x，y)，则下列为真命题的是(　　) A. 若|z＋1|＝|z－1|，则点Z在圆上 B. 若|z－1|＋|z＋1|＝4，则点Z在椭圆上 C. 若|z＋1|－|z－1|＝2，则点Z在双曲线上 D. 若|x＋1|＝|z－1|，则点Z在抛物线上 11 已知z是复数，是其共轭复数，i为虚数单位，则下列说法中正确的是(　　) A. z2＝|z|2 B. 若|z|＝1，则|z－1－i|的最大值为＋1 C. 若z＝(1－2i)2，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 若1－3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则q＝－9 三、 填空题 12 [2025如皋十四校联考]已知i为虚数单位，复数z满足z＋2i＝iz＋(1＋i)4，则|z|＝________． 13 [2025厦门二模]已知z＝，则|z＋1|＝________． 14 已知复数z1＝cos 15°＋isin 15°和复数z2＝cos 45°＋isin 45°，则z1z2＝________． 5．5　复　　数 1. C　解析：＝＝－1－2i. 2. C　解析：方法一：由题意，得z＝＝＝＋i，则＝－i，所以||＝＝. 方法二(利用复数模的性质求解)：因为|(1＋i)z|＝|1＋i||z|＝|2i－1|， 所以||＝|z|＝＝＝. 3. C　解析：因为z＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i，所以z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5. 4. B　解析：由题意，得z＝＝＝＝－＋i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，易知它位于第二象限． 5. C　解析：由题意，得＝＝1＋i.因为复数z与关于虚轴对称，所以z＝－1＋i. 6. B　解析：由z＋＝1，z－＝i，得2＝1－i，所以＝－i. 7. B　解析：由题意，得z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi＋2i2＝(x－2)＋(2＋x)i.因为z1z2<0，所以解得x＝－2. 8. B　解析：若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段OA的垂直平分线，其中O(0，0)，A(2，2)，所以|z|的最小值为OA＝＝. 9. ABD　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.对于A，若＝，则＝，可得bi＝－bi，即b＝0，所以z＝a，所以z∈R，故A正确；对于B，若z·＝a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以z＝0，所以z∈R，故B正确；对于C，若z2＝()2，则a2＋2abi－b2＝a2－2abi－b2，所以4abi＝0，得ab＝0，其中当a＝0，b≠0时，z∉R，故C错误；对于D，若z2·＝z·()2，则(z·)·z＝(z·)·，即|z|2·z＝|z|2·，所以|z|＝0或z＝.若|z|＝0，则z＝0，所以z∈R；若z＝，则b＝0，所以z＝a，所以z∈R，故D正确．故选ABD. 10. BD　解析：易知|z＋1|＝表示点Z(x，y)与点(－1，0)之间的距离，|z－1|＝表示点Z(x，y)与点(1，0)之间的距离．记F1(－1，0)，F2(1，0).对于A，|z＋1|＝|z－1|，表示点Z(x，y)到点F1，F2的距离相等，所以点Z在线段F1F2的中垂线上，即点Z在直线x＝0上，故A错误；对于B，由|z－1|＋|z＋1|＝4，得ZF1＋ZF2＝4，且4>F1F2＝2，这符合椭圆定义，故B正确；对于C，若|z＋1|－|z－1|＝2，则ZF1－ZF2＝F1F2＝2，这不符合双曲线定义，故C错误；对于D，若|x＋1|＝|z－1|，则(x＋1)2＝(x－1)2＋y2，整理，得y2＝4x，所以点Z在抛物线y2＝4x上，故D正确．故选BD. 11. BC　解析：对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，所以z2≠|z|2，故A错误；对于B，由|z|＝1知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，则|z－1－i|可看作该单位圆上的点到点(1，1)的距离，所以距离的最大值为＋1，故B正确；对于C，若z＝(1－2i)2＝－3－4i，则＝－3＋4i，所以复平面内对应的点位于第二象限，故C正确；对于D，由题意，得(1－3i)2＋p(1－3i)＋q＝0，整理，得(p＋q－8)＋(－3p－6)i＝0.又p，q∈R，所以解得p＝－2，q＝10，故D错误．故选BC. 12. 　解析：由z＋2i＝iz＋(1＋i)4，得z＋2i＝iz＋(2i)2，所以z－iz＝－2i－4，则z＝＝＝＝－1－3i，所以|z|＝＝. 13. 　解析：因为z＝＝＝－i，所以|z＋1|＝|－i＋1|＝＝. 14. ＋i　解析：z1z2＝(cos 15°＋isin 15°)·(cos 45°＋isin 45°)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋isin 60°＝＋i. 学科网（北京）股份有限公司 $