第04讲 复数（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦复数核心考点，涵盖概念、运算、几何意义及三角形式，按“定义-运算-应用”逻辑构建知识体系。通过知识解构、题型破译、真题溯源等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握解题技巧，突破运算化简、模长计算等难点。 资料以题型为载体，创新采用“知识点+题型技巧+变式训练”模式，如针对模长轨迹问题总结“距离公式+图形转化”策略，培养学生数学思维与问题解决能力。设置基础到综合的分层练习，配合真题演练，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第04讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的运算 知识点3 复数的几何意义 知识点4 复数的三角形式 题型破译 (含超链接） 题型1 复数的四则运算 题型2 复数的高次方计算 题型3 复数的实部与虚部 题型4 复数的分类（纯虚数） 题型5 复数相等 题型6 共轭复数 题型7 复数的几何意义 题型8 复数的模长及与模相关的轨迹问题 【方法技巧】与模长相关的轨迹问题解题策略 题型9 复数范围内解方程 【方法技巧】在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法 题型10 复数的三角表示 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的实部、虚部 全国一卷T1（5分） 复数的四则运算 全国II卷T1（5分） 全国二卷T2（5分） 全国Ⅰ卷T2（5分） 复数的模、综合运算 全国Ⅰ卷T9（5分） 全国II卷T1（5分） 考情分析 复数考查四则运算、共轭复数、模与几何意义，题型基础简单；近三年高考均以小题稳定考查.三年考情显示，试题以单选、多选、填空形式出现，侧重运算化简、模长计算与坐标几何应用。 复习目标 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数代数表示及其几何意义. 3.掌握复数的四则运算，了解加减法的几何意义. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 自主检测下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 【答案】D 【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误； 对于B中，若，那么，所以B错误； 对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误； 对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确. 故选：D. 知识点2 复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 必记结论 （1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. （2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． （3）z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 2、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 自主检测若复数满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意. 故选：C. 知识点3 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 自主检测（多选）已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．复数对应的点位于复平面第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值是 【答案】CD 【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，其对应的点位于复平面第三象限，故B错误； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，半径为5的圆， 而可理解为点到圆上的点的距离，如图所示. 由图知，当且仅当圆上的点在处(三点共线)时，距离最大，为，故D正确. 故选：CD. 知识点4 复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辐角主值 （1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． （2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辐角相加． （2）除法：，即模数相除，辐角相减． 自主检测复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 题●型●破●译 题型1 复数的四则运算 例1-1（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 例1-2设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【详解】. 故选：A. 例1-3已知复数，. (1)求；(2)求；(3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），. （2）. （3）因为，所以. 【变式训练1-1】已知为虚数单位，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选:D． 【变式训练1-2】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得． 故选：C. 【变式训练1-3】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用复数的乘法化简，即可得. 【详解】. 故选：D 【变式训练1-4·变载体】（2026·甘肃兰州·一模）已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以. 故选：A 【变式训练1-5·变考法】（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 题型2 复数的高次方计算 例2-1（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】，，． 故选：B 例2-2（2026·湖北黄石·一模）若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. 故选：D 【变式训练2-1·变考法】（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果. 【详解】由题意得 故选：A． 【变式训练2-2·变考法】（2026·四川宜宾·一模）若复数z满足，则复数______． 【答案】 【详解】由，得，则. 故答案为： 【变式训练2-3·变载体】已知为虚数单位，设复数满足，则 . 【答案】/ 【详解】因为，故，可得，因此，. 故答案为：. 题型3 复数的实部与虚部 例3-1（2026·山东临沂·一模）的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，的虚部为. 故选：D 例3-2设，则的实部和虚部分别为（     ） A．1， B．1， C．， D．1，3 【答案】D 【分析】利用复数的除法及加减运算求解，再根据共轭复数概念作答. 【详解】由题意得，，得， 所以，故的实部和虚部分别为1，3. 故选：D. 【变式训练3-1】若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】由，则，则复数的虚部为. 故选：C. 【变式训练3-2】复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足，因此，复数的虚部为. 故选:D. 【变式训练3-3·变考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以复数虚部为. 故选：C 【变式训练3-4·变载体】（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得，所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限. 故选：AD 【变式训练3-5·原创题】在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的概念及复数的乘法和除法运算计算即可. 【详解】由题意知，则，所以，故虚部为. 故答案为：/ 题型4 复数的分类及纯虚数的概念 例4-1若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，集合复数的有关概念计算即可求解. 【详解】，又为实数，所以，解得. 故选：C 例4-2（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数，所以，且，所以. 故选：D 例4-3【新思维】复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. （3），，即， 又，所以时，，时，，所以的取值范围为. 【变式训练4-1·变考法】已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求. 【详解】，因为复数为纯虚数，故， 故，故， 故选：D. 【变式训练4-2·变考法】设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由复数为实数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 【变式训练4-3·变考法】设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【答案】C 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B：设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ：设，,则，若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D：设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 【变式训练4-4·变角度】若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】，，解得，故实数的取值为. 故答案为： 题型5 复数相等 例5-1已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出，再逐一判断. 【详解】因，则， 则，，解得或， 若，则AB错误，D正确；若，则C错误，D正确； 故选：D 例5-2【新思维】若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【详解】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，，故，所以. 故选：D 【变式训练5-1·变考法】（2026·河北邯郸·一模）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由，得，解得， 结合选项可知可能为． 故选：D 【变式训练5-2·变考法】（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 即，所以，解得. 故选：AC 【变式训练5-3·变考法】（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】设复数，则，所以， 所以，解得或，所以或. 故选：C 【变式训练5-4·变考法】（（25-26高三上·上海·期中）已知，其中为虚数单位，则 ______. 【答案】 【分析】根据复数相等得到的值，从而求出的值. 【详解】已知，其中，则，，因此. 故答案为： 题型6 共轭复数 例6-1（2026·广东江门·一模）已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（    ） A．2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 故选：A 例6-2（2026·湖北荆州·一模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 故选：C 例6-3【新角度】已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【详解】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 故选：A 【变式训练6-1】已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项. 【详解】由，则对应的点为位于第一象限，所以A正确， 故选：A. 【变式训练6-2】复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 则，所以复数的虚部为. 故选：A. 【变式训练6-3】（2026·河北唐山·一模）表示复数z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 故选：B. 【变式训练6-4·变考法】（多选）（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 【变式训练6-5·变考法】（多选）已知为复数，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算可判断. 【详解】对于A，，此时，故A错误； 对于B，若，由共轭复数的定义可得，故B正确； 对于C，设，由，则， 所以，故C正确； 对于D，如，，满足，但，故D错误. 故选：BC. 题型7 复数的几何意义 例7-1（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 例7-2【新思维】已知复数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的定义求，再根据复数的运算法则求结论； （2）结合复数的几何意义求向量的坐标，再结合向量夹角求的大小. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以 （2）依题意向量于是有 ，为与的夹角， ， ，. 【变式训练7-1】（2026·北京平谷·一模）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可知：，即， 所以z在复平面对应的点为在第四象限. 故选：D 【变式训练7-2变考法】已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由共轭复数的概念、复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则.若A在第二象限，则，，则，，所以B在第三象限.反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件. 故选：A. 【变式训练7-3变载体】（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【变式训练7-4变考法】（25-26高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 【答案】BCD 【分析】利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A选项，因为，所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误；，故B正确；，故C正确；，的虚部为1，故D正确. 故选：BCD. 题型8 复数的模长及与模相关的轨迹问题 例8-1【新载体】（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】由题意，则. 故选：D 例8-3【新设问】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果. 【详解】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知，所以. 故选：C 方法技巧 与模长相关的轨迹问题解题策略 （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 【变式训练8-1】（2026·河北邢台·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】，故. 故选：B 【变式训练8-2·变载体】已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设复数，再根据模长得出，再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计算求解. 【详解】设，故；而， 故的最小值为， 故选:C． 【变式训练8-3·变考法】已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 【变式训练8-4·变考法】（25-26高三上·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式结合可求出的取值范围，确定复数实部和虚部的符号，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由，则，得，复数化简得， 由可得，，则复数对应的点在第三象限. 故选：C. 【变式训练8-5变题型】（多选）已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断. 【详解】对于A，根据复数除法，， 则，所以A正确； 对于B，令，则， 所以，，所以，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，， 因为，即，解得，， 所以当，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即， 表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确. 故选：ABD. 题型9 复数范围内解方程 例9-1（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则，所以. 故选：A. 例9-2已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【详解】（1）解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. （2）解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. 方法技巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法： ①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【变式训练9-1】若为的复数根，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据复数的三次方结合已知条件计算求解. 【详解】因为为的复数根，则，即得， 则. 故选：A. 【变式训练9-2·原创题】（多选）方程在复数集C的两个根分别为：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据求根公式求出，再根据复数模的公式及复数运算法则，对选项进行逐一判断. 【详解】方程，判别式， 故方程的根为：. 不妨取，， 选项A：，故A错； 选项B：，，；故B对. 选项C：，，故C错. 选项D：，故D对. 故选：BD. 【变式训练9-3变考法】（多选）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 【答案】AD 【分析】根据实系数的一元二次方程的根的特征，及共轭复数、纯虚数的概念，利用复数的四则运算和模长公式即可逐一判断各选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误； 对D，又为关于的方程的一个根，故也是方程的根，即D正确； 对B，，，故B错误. 故选：AD. 题型10 复数的三角表示 例10-1已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 例10-2【新情境】棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得，所以. 故选：C. 【变式训练10-1·变考法】（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项正确. 故选：ACD. 【变式训练10-2·变情境】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 【答案】 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1. （多选）（2026·全国I卷·高考真题）设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 故选ACD. 2. （2026·全国II卷·高考真题）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 故选：B. 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 7．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 8．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 9．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.复数与的积是实数的充要条件是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题意得是实数，所以. 故选：A 2.复数的共轭复数是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为，所以其共轭复数为. 故选：B 3.当时，复数在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】.因为， 所以，，即对应的点在第四象限. 故选：D 4.若复数z的模为5，虚部为-4，则复数________. 【答案】或 【详解】设，，，或. 故答案为：或 5.已知复数，那么________. 【答案】 【详解】，，故. 故答案为： 6.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为________. 【答案】 【详解】 故答案为： 7.在复数集C中解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【详解】（1），方程的根为. （2）原方程可转化为， ，方程的根为. 8.已知，，，求z. 【答案】 【详解】因为，， 所以 ，所以. 9.已知，求z及. 【答案】， 【详解】设，则. ，， 即，则必有. . 10.已知复数，，并且，求的取值范围. 【答案】 【详解】由得， 由复数相等的定义知，必有 得. . ， ，.故. 11.若，则复平面内满足的点Z的集合是什么图形? 【答案】Z的集合是以为圆心，以3为半径的圆 【详解】解法1：由复数的几何意义可知，复平面内满足的点Z的集 合是以为圆心，以3为半径的圆. 解法2：，，，即，故复平面内满足的点Z的集合是以为圆心，以3为半径的圆. 12.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，，点A所对应的复数是，求另外两个顶点B，C所对应的复数. 【答案】B，C所对应的复数分别为， 【详解】如答图，由题意可知，和均为等边三角形. 又，其中为的辐角. 将绕原点O按逆时针方向旋转60°，120°可得，，则 ， . 又，，，， ，， ，， B，C所对应的复数分别为，. 30 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 复 数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的运算 知识点3 复数的几何意义 知识点4 复数的三角形式 题型破译 (含超链接） 题型1 复数的四则运算 题型2 复数的高次方计算 题型3 复数的实部与虚部 题型4 复数的分类（纯虚数） 题型5 复数相等 题型6 共轭复数 题型7 复数的几何意义 题型8 复数的模长及与模相关的轨迹问题 【方法技巧】与模长相关的轨迹问题解题策略 题型9 复数范围内解方程 【方法技巧】在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法 题型10 复数的三角表示 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的实部、虚部 全国一卷T1（5分） 复数的四则运算 全国II卷T1（5分） 全国二卷T2（5分） 全国Ⅰ卷T2（5分） 复数的模、综合运算 全国Ⅰ卷T9（5分） 全国II卷T1（5分） 考情分析 复数考查四则运算、共轭复数、模与几何意义，题型基础简单；近三年高考均以小题稳定考查.三年考情显示，试题以单选、多选、填空形式出现，侧重运算化简、模长计算与坐标几何应用。 复习目标 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数代数表示及其几何意义. 3.掌握复数的四则运算，了解加减法的几何意义. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是 ，虚部是 ． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝ ，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝ ． 自主检测下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 知识点2 复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ； （4）除法： 必记结论 （1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. （2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． （3）z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 2、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 自主检测若复数满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 知识点3 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z 是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 自主检测（多选）已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．复数对应的点位于复平面第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值是 知识点4 复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辐角主值 （1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． （2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辐角相加． （2）除法：，即模数相除，辐角相减． 自主检测复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 复数的四则运算 例1-1（ ） A． B． C． D． 例1-2设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 例1-3已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 【变式训练1-1】已知为虚数单位，则（     ） A．2 B． C． D． 【变式训练1-2】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变载体】（2026·甘肃兰州·一模）已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5·变考法】（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 题型2 复数的高次方计算 例2-1（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 例2-2（2026·湖北黄石·一模）若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1·变考法】（   ） A．1 B． C． D．2 【变式训练2-2·变考法】（2026·四川宜宾·一模）若复数z满足，则复数______． 【变式训练2-3·变载体】已知为虚数单位，设复数满足，则 . 题型3 复数的实部与虚部 例3-1（2026·山东临沂·一模）的虚部是（   ） A． B． C． D． 例3-2设，则的实部和虚部分别为（     ） A．1， B．1， C．， D．1，3 【变式训练3-1】若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【变式训练3-2】复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练3-4·变载体】（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【变式训练3-5·原创题】在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 题型4 复数的分类及纯虚数的概念 例4-1若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 例4-2（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 例4-3【新思维】复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【变式训练4-1·变考法】已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练4-2·变考法】设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-3·变考法】设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【变式训练4-4·变角度】若复数，则实数的取值为__________. 题型5 复数相等 例5-1已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例5-2【新思维】若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【变式训练5-1·变考法】（2026·河北邯郸·一模）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2·变考法】（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3·变考法】（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 【变式训练5-4·变考法】（（25-26高三上·上海·期中）已知，其中为虚数单位，则 ______. 题型6 共轭复数 例6-1（2026·广东江门·一模）已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（    ） A．2 B．2 C． D． 例6-2（2026·湖北荆州·一模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 例6-3【新角度】已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【变式训练6-1】已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练6-2】复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【变式训练6-3】（2026·河北唐山·一模）表示复数z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4·变考法】（多选）（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【变式训练6-5·变考法】（多选）已知为复数，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型7 复数的几何意义 例7-1（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例7-2【新思维】已知复数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【变式训练7-1】（2026·北京平谷·一模）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练7-2变考法】已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-3变载体】（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练7-4变考法】（25-26高三上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 题型8 复数的模长及与模相关的轨迹问题 例8-1【新载体】（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 例8-3【新设问】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 方法技巧 与模长相关的轨迹问题解题策略 （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 【变式训练8-1】（2026·河北邢台·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D．2 【变式训练8-2·变载体】已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3·变考法】已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练8-4·变考法】（25-26高三上·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练8-5变题型】（多选）已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 题型9 复数范围内解方程 例9-1（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 例9-2已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 方法技巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法： ①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【变式训练9-1】若为的复数根，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练9-2·原创题】（多选）方程在复数集C的两个根分别为：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3变考法】（多选）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 题型10 复数的三角表示 例10-1已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 例10-2【新情境】棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-1·变考法】（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2·变情境】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1. （多选）（2026·全国I卷·高考真题）设，则（ ） A. B. C. D. 2. （2026·全国II卷·高考真题）（ ） A. B. C. D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 9．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.复数与的积是实数的充要条件是( ). A. B. C. D. 2.复数的共轭复数是( ). A. B. C. D. 3.当时，复数在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若复数z的模为5，虚部为-4，则复数________. 5.已知复数，那么________. 6.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为________. 7.在复数集C中解下列方程： （1）； （2）. 8.已知，，，求z. 9.已知，求z及. 10.已知复数，，并且，求的取值范围. 11.若，则复平面内满足的点Z的集合是什么图形? 12.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，，点A所对应的复数是，求另外两个顶点B，C所对应的复数. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $