重难点专训02 不等式中恒成立问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦不等式恒成立问题，构建"方法提炼-题型通法-分层训练"体系，通过等价转化与参数策略培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|2类核心策略|存在性问题转化为最值，恒成立问题分参数分离与分类讨论|从存在性到恒成立，构建逻辑递进关系| |题型通法及变式提升|2题型（1例+7变式）|基本不等式用最值法，一元二次不等式用判别式或区间分析|题型与方法一一对应，覆盖核心考法| |重难专题分层过关练|23题（巩固11+创新12）|分层设计，基础巩固到创新应用|从基础到综合，培养模型意识与应用能力|

重难点专训02 不等式中恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 题型通法及变式提升 题型1 基本不等式中恒成立问题 题型2 一元二次不等式恒成立问题 重难专题分层过关练 巩固过关 创新提升 解题方法及技巧提炼 1.∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； ∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 2.恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 题型通法及变式提升 题型1 基本不等式中恒成立问题 【例1】（2026·江西抚州·期末），，且恒成立，则的最大值为 ． 【答案】4 【解析】由于恒成立，且 即恒成立 只要的最小值即可 ，，故，因此 【变式1】（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选B 【变式2】（2026·浙江杭州调研）对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　) A．4 B. C. D．2 【答案】D 【解析】由m2－amn＋2n2≥0得m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，因为＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝n时取等号，所以a≤2，故实数a的最大值为2.故选D. 【变式3】（2026·福建龙岩零诊）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 当且仅当，且，即，时等号成立，所以， 【变式4】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意得，当时， 恒成立， 又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为， 所以，解得的取值范围为．故选B 题型2 一元二次不等式恒成立问题 【例2】已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为　　. 【答案】（－∞，1）∪（3，＋∞） 【解析】把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4， 则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0， 且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组，得x＜1或x＞3. 【变式1】若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得，综上，故选C. 【变式2】关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 【变式3】若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可化为， 由已知可得 令， 可得 ∴  或，故选D. 【变式4】若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是，故选D. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由得到， 由题知，在时恒成立，又，当且仅当，即时取等号， 所以，故选：C. 2．函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，可知关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，解集不是，不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 3．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件.故选：A 5．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【解析】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，，解得.故选：A. 6．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故，故选. 7．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为，故选A． 8．设，若当时，关于的不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，关于的不等式恒成立， 所以恒成立，故恒成立， 令，故即可， 而，当且仅当时取等，此时解得， 故，即，故A正确，故选A 9．若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意，不等式对于恒成立， 则对于恒成立， 当时，不等式为，不恒成立， 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 10．恒成立，则实数a的最大值为______. 【答案】 【解析】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 11．若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】因为两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又恒成立，即恒成立，解得， 所以实数的取值范围是. 创新提升 1．（25-26高三上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得，所以的取值范围是，故选：C. 2．（25-26高三上·河南·阶段检测）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为，， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 3．（25-26高三上·北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是.故选：B. 4．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 5．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】令，其对称轴为， 当时，， 若，当时，要使不等式对任意恒成立， 则对任意恒成立， 当时，不满足题意，所以， 且是方程的一个正根， 将代入可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 6．（24-25高三上·重庆渝中·阶段检测）已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】设. 由已知，在单调递增， 当时，；当时，. 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意，则当时，；当时，. 所以是方程的根，则，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值是，故选B. 7．（20-21高二下·安徽·阶段检测）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8 【答案】D 【解析】不等式可化为，又，， 所以， 令，则， 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又已知在上恒成立，所以 因为，当且仅当时等号成立， 所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立， 所以m的取值范围是， 故选：D. 8．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】至少存在一组使得成立，即， 又由两个正实数满足，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，， 故有，解得，故，所以实数的取值范围是 故选：C. 9．（2026·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______． 【答案】 【解析】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 10．（25-26高三上·北京朝阳·期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意可知，①若，即或， 当时，不等式为，显然不成立； 当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意； ②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件； ③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上， 若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根， 即，解得，即满足条件时； 综合①②③可得，实数的取值范围为 11．（25-26高三上·北京东城·期末）已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是___________. 【答案】 【解析】由题意可知：不等式对于，恒成立， 即对于，恒成立， 令，则，在上恒成立， ，，， 12．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为_____． 【答案】 【解析】因为、、两两垂直，且，，， 所以，即，则， 根据已知条件恒成立，则有，解得 所以正实数的最小值为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 不等式中恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 题型通法及变式提升 题型1 基本不等式中恒成立问题 题型2 一元二次不等式恒成立问题 重难专题分层过关练 巩固过关 创新提升 解题方法及技巧提炼 1.∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； ∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 2.恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 题型通法及变式提升 题型1 基本不等式中恒成立问题 【例1】（2026·江西抚州·期末），，且恒成立，则的最大值为 ． 【变式1】（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江杭州调研）对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　) A．4 B. C. D．2 【变式3】（2026·福建龙岩零诊）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【变式4】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2 一元二次不等式恒成立问题 【例2】已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为　　. 【变式1】若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【变式3】若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 6．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．设，若当时，关于的不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 9．若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是________. 10．恒成立，则实数a的最大值为______. 11．若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是____________. 创新提升 1．（25-26高三上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南·阶段检测）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 6．（24-25高三上·重庆渝中·阶段检测）已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（   ） A．4 B． C．8 D． 7．（20-21高二下·安徽·阶段检测）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8 8．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______． 10．（25-26高三上·北京朝阳·期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______． 11．（25-26高三上·北京东城·期末）已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是___________. 12．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为_____． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $