第1章 第5节 基本不等式的综合应用(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 聚焦基本不等式的条件判断、最值求解及综合应用，通过一题多解与分层训练构建“概念-方法-应用”逻辑体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题（第1题）|充要条件判断|从基本不等式成立条件到命题关系推导| |最值求解|5题（第2、3、5、8、9题）|1的代换、配凑法、均值不等式链|由“和定积最大”“积定和最小”拓展到条件最值| |综合应用|9题（第4、6、10-15题）|换元法、函数构造、实际问题建模|结合函数、导数及实际情境，体现数学应用意识|

第5节　基本不等式的综合应用 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知p：a＞b＞0，q：＞（ ）2，则p是q成立的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则＋的最大值为（　　） A. B. C.2 D.2 3.设a＞0，b＞0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则＋的最小值为（　　） A.6 B.8 C.9 D.12 4.（2025·湖南衡阳一模）若a＞b＞1，x＝ln，y＝（ln a＋ln b），z＝，则（　　） A.x＜z＜y B.y＜z＜x C.z＜x＜y D.z＜y＜x 5.（2026·浙江湖州多校联考）已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等式＋≤m有解，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，2] B.（－∞，2＋1] C.[2，＋∞） D.[2＋1，＋∞） 6.〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 7.（2026·浙江绍兴模拟）原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0（λ∈R）的距离的最大值为　　　　. 8.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为　　　　. 9.（13分）已知正实数x，y满足等式＋＝2. （1）求xy的最小值； （2）若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围. 10.（2026·四川德阳模拟）设双曲线－＝1（a＞0）的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e＝（　　） A.　　 　B.2　　 　C.　　 　D.3 11.〔一题多解〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A.{m｜m≥2} B.{m｜m≥4} C.{m｜m≥6} D.{m｜m≥8} 12.某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p％，第二次提价q％；乙方案第一次提价q％，第二次提价p％；丙方案第一次提价％，第二次提价％，其中p＞q＞0.则经过两次提价后哪种方案的提价幅度最大（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 13.函数y＝＋的最大值为　　　　. 14.（15分）设函数f（x）＝4x－a·2x＋b，且f（0）＝0，f（1）＝2. （1）求a，b的值； （2）若∃x∈（－∞，3]，使得f（x）＜m·2x－3成立，求实数m的取值范围. 15.〔创新设问〕〔多选〕若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（　　） A.2e≤a＋b＜e2＋1　　　　　　　　　　　　B.0＜ln a·ln b≤1 C.2－1≤ln a＋logab＜2 D.aln b的最大值为e 答案 第5节　基本不等式的综合应用 1.A　2.D　3.B　4.D　5.D　 6.ACD　对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时，等号成立，B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，D正确. 7.　解析：设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝＝＝，显然当λ＜0时，有最大值，此时－＝，因为（－λ）＋（ －）≥2＝2，当且仅当λ＝－1时，等号成立，所以≤＝1，所以dmax＝. 8.9　解析：由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时取等号. 9.解：（1）由题知2＝＋≥2， 即xy≥3，当且仅当＝， 即x＝1，y＝3时，等号成立，所以xy的最小值为3. （2）3x＋y＝（3x＋y）（ ＋） ＝（ 6＋＋）≥（ 6＋2）＝6， 当且仅当＝，即x＝1，y＝3时，等号成立. 即（3x＋y）min＝6. 所以m2－m≤6，解得－2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是[－2，3]. 10.C　双曲线－＝1（a＞0）的离心率为e＝，e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，此时e＝＝. 11.B　法一　由题设得m≥4（a＋b）－（ ＋）（a＋b）＝4（a＋b）－（a＋b）2恒成立，而4（a＋b）－（a＋b）2＝4－（a＋b－2）2，又a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以4（a＋b）－（a＋b）2≤4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m≥4.故选B. 法二　不等式＋＋≥4恒成立，即＋≥4恒成立，即a＋b＋≥4恒成立，而a＋b＋≥2，当且仅当a＋b＝，即（a＋b）2＝m时取等号，故2≥4.又m是正实数，故m≥4.故选B. 12.C　设该商品原价为a（a＞0），按甲、乙、丙三种方案两次提价后的价格依次为y1，y2，y3，则y1＝a（1＋p%）（1＋q%），y2＝a（1＋q%）（1＋p%），y3＝a（ 1＋%）2，因为p＞q＞0，由基本不等式可得（1＋p%）（1＋q%）＜［］2＝（ 1＋%）2，所以y1＝y2＜y3，故丙方案的提价幅度最大. 13.2　解析：函数的定义域为x∈［，］，由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时，等号成立. 14.解：（1）由题意得，f（0）＝1－a＋b＝0，f（1）＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0. （2）由（1）知f（x）＝4x－2x， 所以f（x）＜m·2x－3可化为m＞2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈（－∞，3]，使得m＞2x＋3·2－x－1成立. 则当x∈（－∞，3]时，m＞（2x＋3·2－x－1）min， 设h（x）＝2x＋3·2－x－1，x∈（－∞，3]， 令t＝2x，则t∈（0，8]，设p（t）＝t＋－1，t∈（0，8]， 则p（t）≥2－1，当且仅当t＝时取等号，所以当t＝时，p（t）即h（x）取得最小值2－1，所以m＞2－1. 故实数m的取值范围是（2－1，＋∞）. 15.ABD　由a＞1，b＝＞1，得1＜a＜e2，因为函数f（a）＝a＋b＝a＋在（1，e）上单调递减，在[e，e2）上单调递增，所以2e≤a＋b＜e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0＜ln a·ln b≤（ ）2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈（0，2），所以φ（t）＝t＋－1在（0，）上单调递减，在[，2）上单调递增，所以φ（t）＝t＋－1∈[2－1，＋∞），故C错误；设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $