精品解析：云南昭通市盐津县第二中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

盐津县第二中学2026年春季学期高一年级第二次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章～第九章9.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则集合中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先计算在中的补集，再与求交集，最后统计元素数量. 【详解】因为，所以. ，因此. ，故. 集合包含个元素. 故选：B 2. 已知复数是纯虚数，则实数m的值为（ ） A. 0或3 B. 2或3 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义列方程求参数值. 【详解】由题可知，解得. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形以一条边为轴旋转一周得到的几何体为圆锥 B. 过圆柱的轴的截面为矩形 C. 侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 【答案】B 【解析】 【分析】由空间几何体的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，若直角三角形以斜边为轴旋转一周得到的几何体不是圆锥，A错误； 对于B，由圆柱的几何特征可知过圆柱的轴的截面为矩形，B正确； 对于C，侧棱都相等的棱锥的底面不一定为正多边形，所以侧棱都相等的棱锥不一定是正棱锥，C错误； 对于D，棱台的侧棱延长线必须交于一点，所以D错误； 4. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得三年级要抽取的学生是． 5. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积. 【详解】如图，的直观图是，则， 则的面积为. 故选：C. 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的大小为（ ） A. 30°或150° B. 60°或120° C. 30° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理计算，结合角的范围求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又为三角形内角，所以或150°， 又因为，所以，即， 故选：C. 7. 已知，且，则有（ ） A. 最大值2 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最小值1 【答案】A 【解析】 【分析】等式可化为，再利用基本不等式代入求解即可． 【详解】， 即， ，，当且仅当时取等， ， 解得，当且仅当时取等， 则有最大值，无最小值． 故选：A． 8. 已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得三点共线，即可得到垂直平分，所以，由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，又因为，所以三点共线， 又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分， 又已知，所以， 又因为，所以由余弦定理有， 又，所以， 所以， 即的面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为不同的直线，，为不同的平面，下列命题为真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据垂直于同一直线的两平面平行，即可判断；对B，由线面平行的判定定理即可判断；对C，由面面垂直的判定定理即可判断；对D，根据垂直于同一平面的两直线平行，即可判断. 【详解】解：对A，由垂直于同一直线的两平面平行可得：，，故A正确； 对B， ，，则或者，故B错误； 对C，由面面垂直的判定定理可知：，，故C正确； 对D，由垂直于同一平面的两直线平行可得：，，故D正确. 故选：ACD. 10. 设是R上的奇函数且周期为3，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由奇函数的性质及周期性依次求出对应函数值，判断各项的正误. 【详解】由题设可得且，， 由，则，且，A错，B对， 由，则，C错， 由，且，则，D对. 11. 已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 当圆锥的圆锥的体积相等时， C. 圆台的体积为 D. 当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】转化求解圆台的母线长判断Q；利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D． 【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点， ， 母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误； ，，B正确； ，C正确； 设球心到上底面的距离为，则，解得，，，D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算和模长公式进行化简，再由共轭复数的基本概念即可得出结果. 【详解】由， 得， 则复数z的共轭复数为 故答案为： 13. 在正方体中，直线与直线AC所成角的大小为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将异面直线所成角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以直线与直线AC所成角为直线与直线所成角, 即或其补角，是等边三角形，所以， 所以直线与直线AC所成角的大小为. 故答案为： 14. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故，​ 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，． （1）若与垂直，求实数t； （2）若，求t的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解； （2）根据题意可得，结合向量的模长公式运算求解. 【小问1详解】 因为向量，，则， 若与垂直，且， 则，解得． 【小问2详解】 因为，，则， 若，则， 即，解得或． 16. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）解不等式. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解. （2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解. 【小问1详解】 设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. 【小问2详解】 由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，，设BD为的角平分线，求BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，确保的前提下进行代数消元，化简得到的值即可求解. （2）使用等面积法将大三角形面积拆分成两个小三角形面积之和即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，由为的角平分线，得． 即，代入，， ． 18. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）若将函数的图象上所有点向下平移1个单位长度，再将所得的图象对应函数的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），然后将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （i）求函数的单调递增区间； （ii）若函数的图象在区间内恰有10条对称轴，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质求出在给定区间上的值域； （2）（i）根据三角函数的平移变换求出的表达式，再根据正弦函数的单调性求出单调递增区间； （ii）根据正弦函数对称轴的性质求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 所以，可得， 所以在区间上的值域为； 【小问2详解】 （i）将函数的图象上所有点向下平移1个单位长度，得到的图象， 再将所得的图象对应函数的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到， 然后将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； （ii）令，解得， 当时，；当时，；…；当时，，当时，， 因为函数的图象在区间（0，m）内恰有10条对称轴，所以， 所以的取值范围是 19. 如图，在四棱锥中，为边上的中点， 为边上的中点，平面平面，，，，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面； （2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得； （3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解. 【小问1详解】 如图，连接， 因为为边上的中点， 为边上的中点， 所以，又平面，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 在四边形中，，，， 则， 所以，则， 所以都是等腰直角三角形，则， 又平面平面，，即， 平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，又平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问3详解】 已知，直线与底面所成角的余弦值为， 由（2）知，，平面， 则为直线与底面所成的角，则， 所以在中，则，， 取的中点，连接，过作的垂线交于，连接， 由，平面，平面平面，平面平面， 则平面， 又平面，所以，， ，平面，， 所以平面，又平面，所以， 则即为二面角的平面角， 因为，， 又，所以，又， 则在中，由勾股定理， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐津县第二中学2026年春季学期高一年级第二次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章～第九章9.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则集合中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知复数是纯虚数，则实数m的值为（ ） A. 0或3 B. 2或3 C. 0 D. 2 3. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形以一条边为轴旋转一周得到的几何体为圆锥 B. 过圆柱的轴的截面为矩形 C. 侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 4. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 5. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的大小为（ ） A. 30°或150° B. 60°或120° C. 30° D. 60° 7. 已知，且，则有（ ） A. 最大值2 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最小值1 8. 已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为不同的直线，，为不同的平面，下列命题为真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设是R上的奇函数且周期为3，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 当圆锥的圆锥的体积相等时， C. 圆台的体积为 D. 当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________. 13. 在正方体中，直线与直线AC所成角的大小为______. 14. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，． （1）若与垂直，求实数t； （2）若，求t的值． 16. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）解不等式. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，，设BD为的角平分线，求BD的长． 18. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）若将函数的图象上所有点向下平移1个单位长度，再将所得的图象对应函数的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），然后将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （i）求函数的单调递增区间； （ii）若函数的图象在区间内恰有10条对称轴，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $