专题强化：动量观点在电磁感应中的应用（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理高考复习教案聚焦动量观点在电磁感应中的应用，整合动量定理（单棒模型）、动量守恒定律（双棒模型）及动量与能量观点的综合应用，按核心考点梳理、考情透析、典例精讲、分层训练的教学流程，帮助学生构建从单体到系统的解题框架。 教案以模型建构和科学推理为特色，如通过“单棒+电阻”动量定理模板（BLq=mΔv）、双棒系统动量守恒条件分析，培养学生科学思维。设置基础巩固与综合提升分层练习，结合图像分析（I-t图面积求q），助力学生高效突破高考难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题强化：动量观点在电磁感应中的应用 目录 1 4 考点一 动量定理在电磁感应中的应用 4 考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用 9 13 基础巩固练 13 综合提升练 22 核心考点 1.动量定理在电磁感应中的应用： 核心公式：-BIL·Δt=mΔv，其中I·Δt=q代表通过导体横截面的电荷量。因此，常变形为-BLq=mΔv。 典型应用模型（单棒模型）： 单棒+电阻：导体棒在仅受安培力（或含恒定外力）作用下减速或加速，用动量定理结合q（或位移x）求解速度、时间、位移、电荷量。 单棒+电容器：电容器充电过程，导体棒做匀加速直线运动（加速度恒定）。此时可通过动量定理（或牛顿定律）推导出恒定加速度a和最终速度v的关系。 2.动量守恒定律在电磁感应中的应用： 适用条件：系统在水平方向（或某方向）不受外力，或所受合外力为零。 典型应用模型（双棒模型）： 无外力双棒系统：两根导体棒在光滑导轨上切割磁感线，整个系统水平方向不受外力，动量守恒。例：两棒相向运动，或一棒运动另一棒静止，最终两棒以相同速度（共速）运动，系统动能损失转化为焦耳热。 不等间距导轨：两根棒在不等间距导轨上运动时，安培力大小可能不等，但系统所受合外力不一定为零，需具体分析。 3.动量观点与能量观点的结合： 核心公式链：动量定理（求Δt、q、Δx）→动量守恒（求共速v）→能量守恒（求焦耳热Q）。 求解策略：在分析复杂的电磁感应多过程问题时，往往需要同时运用动力学（牛顿定律）、动量观点、能量观点，形成“三驾马车”的综合解题体系。 考情透析 1.题型与难度：高考的压轴热点与难点，通常出现在计算题的最后两问或选择题的压轴。难度较高，是区分尖子生的关键。 2.命题规律： 高频考查： 利用动量定理求单棒模型中的电荷量q、位移x或时间t。 无外力双棒模型中，利用动量守恒定律求共速或求系统总焦耳热。 电磁感应与动量定理、能量守恒定律的综合计算（常出现在复杂多过程问题中）。 常规考法： 给定光滑导轨上的单棒以一定初速度运动（或受瞬时冲量），求运动的距离、产生的热量或通过的电量。 给定双棒系统（一棒静止，另一棒以某速度滑来），求最终共速和系统总内能。 创新考法： 含容+双棒：双棒与电容器系统相互作用，动量守恒与电容充放电结合。 带外力双棒：在恒力作用下，双棒系统最终以恒定速度差运动，需用动量定理分析两根棒的动量变化量。 与图像结合：给出I-t图、v-t图等，图像面积或斜率的物理意义（如F-t图面积是冲量）与动量观点紧密相关。 3.考查方向：侧重动量定理与电荷量q、位移x之间联系的灵活运用、判断电磁感应系统中动量守恒的条件、构建“受力分析→动量分析→能量分析”的综合解题流程、突破传统运动学无法解决的变力作用时间与位移问题。 素养对接 1.守恒思想与整体观：在系统不受外力时，准确判断动量守恒。不仅将动量守恒定律用于一维碰撞，更迁移到电磁感应中的双棒系统。培养从宏观整体把握物理过程，利用守恒律简化求解的科学思维。 2.动量定理的“桥梁”作用：动量定理F·Δt=Δp是连接冲量（力对时间的积累）与动量变化的桥梁。在电磁感应中，安培力是变力，无法直接用牛顿定律求时间，但通过动量定理可将F·Δt奇妙的与电荷量q、位移x联系起来（F·Δt=BIL·Δt=BLq，q=BL·Δx/(R+r)）。培养不同物理量之间等效转化的思维。 3.模型建构与迁移能力：能识别单棒、双棒、含容等不同模型，并能将碰撞问题中的动量守恒模型迁移到双棒电磁感应系统中，建立“类碰撞”模型。培养把握物理本质，实现模型正向迁移的素养。 4.多角度综合分析：意识到解决复杂物理问题需要多把工具（力、能、动量），并能根据题设条件（求时间、位移，首选动量定理；求共速，首选动量守恒；求热量，首选能量守恒）灵活切换、择优选用。 学习目标 1.知识目标： 能写出带有电荷量q和位移x的动量定理表达式。 能叙述出单棒模型中，仅受安培力时动量定理的适用情景。 能说出一根棒受外力、另一根棒无外力的双棒系统中，动量守恒的适用条件（系统合外力为零）。 能写出动量守恒定律和能量守恒定律联合求解双棒系统问题的基本步骤。 2.能力目标： 推演与代换能力：能从-BIL·Δt=mΔv推导出BLq=mΔv和(B²L²·d)/(R+r)=mΔv（d为位移）。能熟练进行I·Δt与q的互代。 模型识别能力：能快速识别出题目是单棒还是双棒模型，是否有外力，是否满足动量守恒。 综合列式能力：能根据物理过程，正确列出动量定理（或动量守恒）方程和能量守恒方程，并进行联立求解。 临界分析能力：在双棒模型中，认识到“共速”往往是系统的临界或最终状态，并作为解题的切入点。 备考建议 1.熟练掌握“单棒+电阻”模型的动量定理应用，这是解决含时间、位移问题的利器： 模板： 若题目涉及时间t或位移x，优先考虑动量定理。 步骤： ①列动量定理：对导体棒列-BIL·Δt=mΔv。 ②寻找代换：I·Δt=q（通过电路的电荷量），q=ΔΦ/R_总=BLx/R总（当B、L恒定，x为导体棒对地位移）。 ③代入求解：最终得到-(B²L²·x)/(R+r)=m(v₂-v₁)或-BLq=m(v₂-v₁)，可直接解出位移x、电荷量q或末速度v₂。 优点：避开了复杂的物体运动过程分析，直接由初末动量关系和中间过程的电荷量、位移建立方程。 2.必须掌握“双棒模型”中动量守恒的分析方法（这是计算题的常见题型）： 标准情境：两根导体棒在光滑水平导轨上，无其他外力作用。 正确思路： 系统水平方向不受外力，动量守恒。 两棒受安培力等大反向（对每一根棒可用动量定理，但系统总动量不变）。 3.重点总结并背诵“电磁感应中三类动量问题的核心结论”： 1.单棒（无外力）：用动量定理求q和位移x。 2.单棒（受恒外力）：最终做匀速运动（a=0），用平衡方程先求vm；再结合动量定理求过程中某段的时间或位移。 3.双棒（无外力）：系统动量守恒，最终共速；能量守恒求热量。 4.学会将“动量定理”与“v-t图”或“I-t图”结合分析： F-t图的面积（冲量）对应动量变化。 I-t图的面积对应电荷量q。 若图像是直线，可直接用几何方法求面积；若图像是曲线，往往需要用平均电流或微元法思想积累。 5.强化易错点专项训练： 易错点一：动量守恒定律的适用条件判断错误。只有在系统水平方向（或某方向）不受外力时才成立。如果导轨不光滑（有摩擦力），或存在外力，动量不守恒，只能对单个物体用动量定理。 易错点二：运用动量定理时，忽略安培力的方向。安培力方向总是阻碍相对运动（“来拒去留”）。列式时必须明确F_安的方向，在动量定理中要带正负号。 易错点三：电荷量q与位移x的关系式记错。正确的是q=ΔΦ/R总=BLx/R总（单杆切割情况）。注意：此处的x是导体棒相对于初始位置的位移，不是相对于导轨的任意距离。 易错点四：含电容器模型中的动量观点用错。当导体棒与电容器相连时，安培力大小与电容C、加速度a有关，直接使用q=BLx/R已不适用（因为“R”路径可能被电容旁路）。此时需用动量定理+电流定义式+电容定义式联立推导出a是常数的结论。 易错点五：在双棒系统中，误以为两棒安培力大小相等（仅在等距导轨中成立）。如果是不等距导轨，两棒受到的安培力F₁=B·I·L₁，F₂=B·I·L₂，由于L₁≠L₂，合力不一定为零，系统总动量可能不守恒。遇到双棒模型，务必先看导轨间距是否相等！ 考点一 动量定理在电磁感应中的应用 【必备知识回顾】 在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解单杆所受其他恒力(非安培力)作用的时间、单杆的速度、单杆的位移和通过单杆的横截面的电荷量。 情境示例1 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷量q －BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝ 求位移x －Δt＝0－mv0，x＝Δt＝ 应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度 情境示例2 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v 求运动时间 －BLΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝Δt， －Δt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，x＝Δt 应用技巧 用动量定理求时间需有其他恒力参与。若已知运动时间，也可求q、x、v中的一个物理量 【重难模型精讲】 【典例1】(2026·江苏省·月考试卷)如图所示，两根足够长的光滑导轨、，平行固定在水平面上，导轨相距，左端用的电阻连接，一根导体棒质量与两根轨道垂直并且接触良好，静止放在导轨上，导轨和的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，现用水平恒力沿导轨向右拉导体棒，导体棒由静止开始运动，当导体棒开始做匀速运动后，电阻消耗的功率为求： 匀速运动时，电流的流向及速度； 从静止开始到恰好匀速运动的过程中，电阻产生的焦耳热，该过程位移的大小； 从静止开始运动到恰好匀速运动，所用的时间。 【答案】根据右手定则可知通过导体杆的电流由流向； 根据电功率的计算公式可得：， 而 解得； 根据题意可得，从静止开始到恰好匀速运动的过程中，电阻产生的焦耳热， 根据动能定理可得： 匀速运动时，其中 联立解得，； 对导体棒根据动量定理可得： 其中 解得。 答：匀速运动时，电流的流向由流向；速度为； 从静止开始到恰好匀速运动的过程中，电阻产生的焦耳热，该过程位移的大小为； 从静止开始运动到恰好匀速运动，所用的时间为。 【变式训练与拓展】 【变式1】(2026·山东省潍坊市·入学测验)如图所示，绝缘水平面内两光滑导轨平行固定放置，导轨间距为，在导轨上垂直导轨放置一质量为、长度略大于、电阻不计的导体棒，导轨左侧通过导线连接电动势为、内阻为的电源，整个装置处于竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。闭合开关，导体棒开始运动，最终匀速运动，导轨电阻可忽略。 求从开始到恰匀速运动过程通过导体棒某一横截面的电荷量； 求从开始到恰匀速运动过程回路产生的焦耳热； 若导体棒恰达到匀速状态时的位移，求从开始到恰匀速运动所用的时间。 【答案】导体棒匀速时，通过导体棒的电流为，导体棒切割磁场产生的感应电动势等于电源的电动势。 设导体棒匀速运动时的速度为，由法拉第电磁感应定律有 设某一时刻通过导体棒的电流为，可认为之后极短时间内通过导体棒的电流不变，则时间内导体棒所受安培力 由动量定理有 时间内通过导体棒的电荷量 累加有 可得 导体棒增加的动能、系统产生的焦耳热之和等于电源释放的能量，结合中的假设和功率知识可得，时间内电源释放的能量 累加可得，从开始到恰匀速运动过程电源释放的总能量 则该过程回路产生的总焦耳热 设某一时刻导体棒的速度为，并在之后时间内近似不变，回路中的电动势 回路中的电流 之后时间内通过导体棒的电荷量 又 累加可得 结合题给信息可得 【变式2】(2026·山东省烟台市·其他类型)如图所示，匝数、截面积、电阻的线圈内有方向垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场，其变化率。线圈通过开关连接两根相互平行、间距的竖直导轨，下端连接阻值的电阻。一根阻值也为、质量的导体棒搁置在等高的挡条上。在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的不随时间变化的匀强磁场。接通开关后，棒对挡条的压力恰好为零。假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻。 求磁感应强度的大小，并指出磁场方向； 断开开关后撤去挡条，棒开始下滑，经后下降了，求此过程棒上产生的热量。 【答案】解： 线圈产生的感应电动势为： 流过导体棒的电流为： 接通开关后，导体棒对挡条的压力恰好为零，则有： 联立解得 由楞次定律知，棒中电流从到，导体棒所受的安培力竖直向上，由左手定则判断知，磁场方向垂直纸面向外。 由动量定理得： 通过导体棒的电量为： 得： 棒产生的热量为： 解得： 【变式3】(2026·山东省青岛市·期末考试)如图所示，间距、倾角的光滑金属导轨上端接有的定值电阻，矩形区域存在方向竖直向下、磁感应强度的匀强磁场。质量、阻值的导体棒从距磁场上边界为处由静止释放，到达磁场下边界前已经匀速。已知和间距离，重力加速度大小，导轨电阻不计。求： 导体棒匀速运动时的速度大小； 导体棒穿过有界磁场的时间。 【答案】设导体棒在磁场中匀速时速度大小为，此时感应电动势，闭合回路中电流，导体棒受到的安培力，受力分析如图所示： 沿斜面方向受力平衡，有，代入数据可得； 导体棒进入磁场前做匀加速直线运动，设进入磁场时速度大小为，有 由牛顿第二定律可知，代入数据可得 设导体棒穿过有界磁场所用时间为，以沿斜面向下为正方向，由动量定理可知 又， 代入数据可得。 【解析】先分析导体棒匀速运动时的感应电动势，感应电流，再分析安培力，根据平衡条件分析； 考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用 【必备知识回顾】 1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。 2．双棒模型（不计摩擦力） 模型示意图 及条件 水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，给棒2一个初速度v0 电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电动势 电流及速 度变化 棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，随着两棒相对速度的减小，回路中的电流减小，，安培力减小，加速度减小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 最终状态 a＝0，I＝0，v1＝v2 系统规律 动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v 能量守恒Q＝ 两棒产生焦耳热之比＝ 【重难模型精讲】 【典例2】(2026·湖北省孝感市·其他类型)如图所示，间距为且足够长的平行金属导轨与，由倾斜与水平两部分平滑连接组成。倾角的倾斜光滑导轨间有垂直导轨平面斜向上的匀强磁场，水平粗糙导轨间有竖直向上的匀强磁场，两个匀强磁场的磁感应强度均为。质量均为的金属棒、分别垂直放在倾斜和水平导轨上，、棒与水平粗糙导轨间的动摩擦因数均为，现将棒从倾斜导轨某位置由静止开始释放，并同时锁定棒，使其保持静止。已知棒穿过之前已做匀速直线运动，且当棒刚穿过时，立即解除棒锁定并同时给棒施加水平向右的恒定拉力，棒运动后两棒速度相等。已知、棒接入电路的电阻均为，不计导轨的电阻，两棒始终与导轨保持接触良好，在运动过程中两棒不会发生碰撞，取，，求： 金属棒到达斜面底端时的速度的大小； 为了保证两棒不会发生碰撞，初始时金属棒到的最小距离； 、两棒最终运动的速度，大小。 【答案】研究棒下滑过程，得，，得； 研究、棒组成的系统，因所受的摩擦力与拉力等大反向，可知系统动量守恒 研究棒在水平面上的运动，得，，，得； 研究、棒运动全过程，由动量守恒得 研究棒最终在水平面做匀速直线运动，得 解得：，。 答：金属棒到达斜面底端时的速度的大小为； 为了保证两棒不会发生碰撞，初始时金属棒到的最小距离为； 、两棒最终运动的速度为，为。 【变式训练与拓展】 【变式4】(2026·四川省·模拟题)如图所示，两足够长平行金属直导轨、的间距，固定在同一水平面内，直导轨在左端、点分别与两条半径的竖直圆弧固定导轨相切。连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。长、质量、电阻的金属棒跨放在两圆弧导轨的最高点。质量、电阻的均匀金属丝制成一个金属长方形，其长为，宽为，水平放置在两直导轨上，金属长方形的中心到两直导轨的距离相等，且与导轨平行。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属长方形的可能形变，金属棒、金属长方形均与导轨始终接触良好，取重力加速度。现将金属棒由静止释放，运动过程中金属棒始终不与金属长方形接触，求： 金属棒刚越过时产生的感应电动势大小； 金属长方形刚开始运动时的加速度大小； 开始到稳定过程中金属长方形产生的焦耳热。 【答案】金属棒由静止释放到刚越过过程中，由动能定理有 解得 金属棒刚越过时产生的感应电动势大小为 解得 根据题意可知，金属长方形在导轨间两段金属丝并联接入电路中，轨道外侧的金属丝被短路，由几何关系可得每段接入电路的金属丝阻值 整个回路的总电阻 金属棒刚越过时，通过金属棒的感应电流 对金属长方形，由牛顿第二定律有 解得 根据题意，结合上述分析可知，金属长方形和金属棒所受的安培力等大反向，由动量守恒定律有 由能量守恒可知回路中产生的总焦耳热 由串并联知识得金属长方形产生的焦耳热 解得。 【变式5】(2026·云南省·月考试卷)如图所示，平行光滑金属导轨间距为，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒、垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每根金属棒质量为，接入电路的电阻均为。开始时棒锁定在轨道上，对棒施加水平向右的恒力，经时间，棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。求： 匀强磁场的磁感应强度 撤去力前，棒前进的位移 从开始施加到解除对棒锁定后足够长的时间内，回路产生的焦耳热。 【答案】解：设磁感应强度为，对棒速度达到最大时，受力平衡，由受力分析有， 根据法拉第电磁感应定律知产生感应电动势， 根据闭合电路欧姆定律有，联立解得； 撤去力前，设导体棒前进的距离为，对棒达到最大速度的过程， 由动量定理得，又 其中解得； 棒解除锁定后，两棒相互作用过程动量守恒，设最后共同运动速度为， 由动量守恒得， 对全过程由功能关系得，解得． 【变式6】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，、是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为的匀强磁场。在时刻，两均匀金属棒、分别从磁场边界、进入磁场，速度大小均为时刻，流经棒的电流为，此时棒仍位于磁场区域内。已知金属棒、的质量分别为和，电阻分别为和。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，、棒没有相碰，求： 时刻棒加速度大小 时间内，棒产生的焦耳热。 【答案】解：根据右手定则，金属棒、进入磁场时产生的感应电流均为逆时针方向，则回路的电动势为、各自产生的电动势之和，即 感应电流 对由牛顿第二定律得： 解得：； 时间内，对、组成的系统，由动量守恒定律及能量守恒定律得： 解得回路中产生的总热量 棒产生的焦耳热 基础巩固练 1.(2025·江苏省泰州市·单元测试)如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为，两条足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距为，左端接有电阻。一质量为、电阻为的金属棒放置在导轨上。金属棒在水平向右的拉力作用下，以速度沿导轨做匀速直线运动。求： 金属棒中产生的感应电动势； 拉力的大小； 从撤去拉力到金属棒停止运动的过程中，安培力对金属棒的冲量大小。 【答案】解：根据法拉第电磁感应定律得，棒产生的感应电动势； 金属棒受到的安培力 根据牛顿第二定律有 感应电流 所以拉力； 撤去拉力后，金属棒做减速运动并最终静止，设向右为正方向，根据动量定理有： 解得安培力对金属棒的冲量大小为。 2.(2025·安徽省阜阳市·其他类型)如图所示，间距为的光滑平行导轨固定在水平面上，导轨左端连接一个阻值为的定值电阻，垂直于导轨的虚线、是竖直向下的匀强磁场的边界，磁场宽度也为，质量为的金属棒垂直导轨放置，金属棒接入电路的电阻也为，给金属棒施加一个水平向右大小为的拉力，使金属棒从静止开始运动，当金属棒运动到时撤去拉力，此时金属棒的速度为，当金属棒运动到时速度恰好为零，不计导轨电阻，金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，求： 金属棒初始位置到的距离； 磁场的磁感应强度大小； 保持金属棒的初始位置不变，将拉力变为，当金属棒运动到时撤去拉力，则金属棒最终的速度多大． 【答案】设金属棒初始位置到的距离为，由动能定理有， 解得。 设匀强磁场的磁感应强度大小为，金属棒在磁场中运动过程有， 而， 解得。 将拉力变为后，设金属棒刚要进磁场时的速度为，根据动能定理有， 则有， 设金属棒通过磁场时的速度大小为，根据动量定理有， 即， 金属棒两次通过磁场相同，则有， 解得。 3.(2025·河北省沧州市·合格性考试)如图所示，放置在水平面上的粗糙平行长直轨道处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，轨道宽为；质量为、长也为、电阻为的导体棒垂直静置于导轨上。当开关与接通时，电源提供恒定电流，导体棒自静止开始向右运动，运动时间时，迅速把开关接通，与定值电阻接通，导体棒再运动为常数，已知时间停止运动。导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度为，导轨足够长且电阻忽略不计。求： 开关接通瞬间导体棒的速度大小； 假设开关刚接通时，导体棒的速度大小为已知，求接通后导体棒能继续运动的距离。 【答案】开关接通，导体棒受到的安培力 导体棒在该过程中做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得 由运动学公式得 解得开关接通瞬间导体棒的速度大小为 开关接通到棒停止运动，设某时刻速度为，根据动量定理可得 整理得 解得接通后导体棒能继续运动的距离为 4.(2025·湖南省·模拟题)如图所示，足够长的水平平行导轨间距，导轨左端用导线连接阻值的定值电阻，质量为、阻值、长也为的导体棒垂直导轨放置，整个空间存在与水平方向成的匀强磁场磁场方向与导体棒垂直，磁感应强度大小。现在导体棒上施加一水平向右的恒力，经的时间导体棒刚好匀速运动，匀速时的速度大小，导体棒与导轨间的动摩擦因数，整个过程导体棒始终保持与导轨良好接触且不发生转动，不计导轨与导线的电阻，，重力加速度取。求： 导体棒的质量 导体棒的速度大小为时，导体棒的加速度大小． 的时间内系统产生的总热量． 【答案】将磁场沿水平方向和竖直方向分解，则水平方向的分量，竖直方向的分量 导体棒匀速时，导体棒中产生的感应电动势， 由闭合电路欧姆定律得， 导体棒所受安培力的竖直和水平分力大小， 对导体棒受力分析如图所示： ， 导体棒匀速时，由力的平衡条件在水平方向上有，竖直方向有， 又，解得； 导体棒的速度大小时，导体棒中产生的感应电动势Ⅴ 由闭合电路欧姆定律得 导体棒所受的安培力竖直和水平分力大小， 对导体棒由牛顿第二定律得，竖直方向有，又 解得； 的时间内，对导体棒由动量定理得 流过定值电阻的电荷量为， 解得， 该过程由法拉第电磁感应定律得，又由欧姆定律得，又 ，整理得 解得 该过程产生的总热量。 5.(2024·江苏省南通市·月考试卷)如图所示，固定在水平面上两根相距的光滑金属导轨，处于竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场中，导轨电阻不计且足够长。金属棒、的质量均为、电阻均为，金属棒静置在导轨上且与导轨接触良好。现给金属棒一个平行导轨向右的瞬时冲量，最终两金属棒运动状态稳定且未发生碰撞，运动过程中金属棒始终与导轨垂直，忽略感应电流对磁场的影响，求整个过程中： 金属棒产生的焦耳热； 通过金属棒的电荷量； 金属棒、之间的距离减少多少。 【答案】由动量定理得 解得 整个过程动量守恒，有 解得 根据能量守恒定律有 金属棒产生的焦耳热。 对金属棒，由动量定理得 而 解得。 根据、、、整理得：，代入数值解得。 6.(2025·辽宁省·模拟题)如图所示，两光滑平行金属导轨间距，左侧部分弯曲成四分之一圆弧，中间部分固定在高的水平绝缘桌面上，右侧部分弯曲成半径、圆心角的圆弧，左、右两段圆弧导轨的最低点均恰好与桌面左、右边缘平齐。质量、接入电路的电阻的导体棒垂直于导轨静置于桌面左边缘导轨上。水平桌面所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。将质量接入电路的电阻的导体棒从左侧圆弧导轨的最高点静止释放，随后导体棒与导体棒发生弹性碰撞，最终、先后从右侧圆弧导轨飞出并落至水平地面上的同一位置图中未画出，落点到桌面右边缘的水平距离。已知重力加速度，，，桌面足够长，导轨电阻和空气阻力忽略不计，右侧圆弧导轨绝缘。求： 导体棒运动到右侧圆弧导轨最低点时的速度大小； 左侧圆弧导轨的半径； 导体棒运动至右侧圆弧导轨最低点时，、两导体棒的间距。 【答案】由于最终、先后从右侧圆弧导轨飞出，均做斜抛运动并落至水平地面上的同一位置，表明两导体棒在磁场中运动的末速度相等，设导体棒从右侧圆弧导轨飞出时的速度大小为，导体棒在右侧圆弧导轨最低点时的速度大小为 则导体棒飞出后，在竖直方向有 在水平方向有 解得， 对导体棒在右侧圆弧导轨运动的过程，根据动能定理有 解得。 设导体棒运动至左侧圆弧导轨最低点时的速度大小为 两导体棒在水平桌面运动过程中总动量守恒，规定水平向右的方向为正方向， 则有 对导体棒在左侧圆弧导轨运动过程，根据动能定理有 解得，。 设导体棒、碰撞结束瞬间的速度大小分别为、 根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得， 两导体棒碰撞后，在磁场中运动的过程中，对导体棒，根据动量定理有 因为 解得 7.(2025·北京市市辖区·模拟题)如图所示，、为两根水平放置相距平行且光滑的金属导轨，两点间接阻值的定值电阻，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。时刻给导体棒施加水平向右的恒力，导体棒从静止开始运动，时导体棒的速度。已知匀强磁场的磁感应强度，方向竖直向上，导体棒的质量，不计导轨、导体棒的电阻，重力加速度取。则在导体棒向右运动的过程中，求： 时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小； 时导体棒的加速度大小，并在图中定性画出导体棒运动过程的速度随时间变化的图像； 至时间内导体棒通过的位移大小。 【答案】根据题意可知，时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小 根据题意可知，时，感应电流为 导体棒所受安培力为 由牛顿第二定律有 解得 由于导体棒做加速运动，速度越来越大，越来越大，则减小，当时，，导体棒速度最大，且开始做匀速直线运动，则导体棒运动过程的速度随时间变化的图像为 根据题意，至时间内导体棒产生感应电动势的平均值为 由动量定理有 又有 联立解得 8.(2025·云南省·联考题)如图所示，在足够长的光滑平行导轨上有两根由同种材料做成的导体棒、，，两棒长度均为，相距为，垂直导轨放置，棒的电阻为，刚开始棒静止，棒以初速度水平向右运动，空间存在垂直纸面向里、大小为的匀强磁场，求： 棒加速度的最大值 棒产生的焦耳热 两棒间的最小距离。 【答案】刚开始运动时，棒的加速度最大，有， ， 由电阻定律可得棒的电阻为， ， ， 解得。 由动量守恒定律得， ， ， 解得。 对棒，由动量定理得， ， ， 解得。 9.(2025·天津市·期中考试)如图所示，匝数、横截面积、电阻的线圈处于竖直向上的变化磁场中，磁感应强度随时间变化规律。倾角，间距、长度的光滑平行导轨处在磁感应强度为的匀强磁场中倾斜放置，方向垂直导轨平面，开关闭合时，一质量、电阻的导体棒恰好能静止在倾斜导轨的上端处，定值电阻，导轨电阻忽略不计，空气阻力忽略不计，取。则： 求线圈中的感应电动势大小； 求磁感应强度的大小和方向； 断开后导体棒开始沿导轨下滑，到达底端前速度已达到最大值，求导体棒滑到导轨底端所需的时间，及下滑过程中导体棒上产生的焦耳热。 【答案】解：线圈中的感应电动势大小为； 导体棒和定值电阻并联后的总电阻为， 则通过导体棒的电流为， 导体棒平衡时满足：，解得：， 因导体棒中感应电流从到，金属棒受到的安培力沿导轨向上，则根据左手定则可知，方向垂直斜面向下； 导体棒到达最大速度时满足：， 解得最大速度为：， 取沿导轨向下为正方向，由动量定理得， 其中，解得：， 下滑过程中导体棒上产生的焦耳热为， 解得：。 10.如图甲所示，在水平面上固定有长、宽的光滑金属“”形导轨，在导轨右侧范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。在时刻，质量、电阻的导体棒以的初速度从导轨的左端开始向右运动，导轨的电阻忽略不计，取重力加速度大小。求： 导体棒刚进入磁场时的加速度大小和方向； 导体棒在磁场内运动的距离； 导体棒在运动过程中产生的焦耳热。 【答案】解：由题意知，导体棒自开始运动到刚进入磁场经过的时间为： 由图像可知，导体棒进入磁场后磁感应强度不再变化，根据牛顿第二定律： 刚进磁场时导体棒的加速度大小： 根据闭合电路欧姆定律： 电动势为： 联立解得： 根据左手定则可知安培力向左，则加速度方向向左； 当导体棒在磁场中运动时，对棒由动量定理可知 联立可解得，导体棒在磁场中运动时，通过棒的电荷量 又： 可解得，导体棒在磁场中运动的距离 导体棒未进入磁场的过程中，回路中的感应电动势 故该过程中导体棒产生的焦耳热 导体棒进入磁场后，动能全部转化成焦耳热，由功能关系可知 故回路产生的总焦耳热 联立代入数据解得： 答：导体棒刚进入磁场时的加速度大小为，方向向左； 导体棒在磁场内运动的距离为； 导体棒在运动过程中产生的焦耳热为。 综合提升练 1．（多选）（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【答案】AC 【解析】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A正确； B．任意时刻，设电流为I，则PQ受安培力 方向向左；MN受安培力 方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，PQ速率为v时，则 解得 回路的感应电流 MN所受安培力大小为 选项B错误； C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得 可得则最终MN位置向左移动 PQ位置向右移动 因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F弹，安培力平均值F安，则整个过程根据动能定理 可得 选项C正确； D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN向左位置移动，PQ位置向右移动，则 选项D错误。 故选AC。 2．（多选）（2025·重庆·高考真题）如图1所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d的正方形金属框efgh做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F=kv＋b（k>0，b>0），且gh两端的电压随时间均匀增加；当gh在无磁场区域运动时，F=0。gh段速度大小v与运动路程s的关系如图2所示，图中为gh每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。则（） A．gh在任一磁场区域的运动时间为 B．金属框的总电阻为 C．小车质量为 D．小车的最大速率为 【答案】BC 【解析】由题知gh段在磁场区域运动时，gh两端的电压随时间均匀增加，则说明gh在磁场中运动时做匀变速直线运动，设正方形金属框efgh运动的速度为v，有，，， 联立有 B．由于gh段在磁场区域运动时,正方形金属框efgh做匀变速直线运动，则有， 解得，故B正确； CD．gh在无磁场区域运动时，F=0，正方形金属框efgh水平方向只受到安培力，有，， 根据动量定理有 累加叠加可得 gh段在磁场区域运动时，正方形金属框efgh做匀变速直线运动有 结合ma=b 解得，，故C正确，D错误； A．由gh段在磁场区域运动时，正方形金属框efgh做匀变速直线运动，则有vmax=v0＋at 解得gh在任一磁场区域的运动时间，故A错误。 故选BC。 3．（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1=0.6，摩擦因数，足够长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨倾角满足sinθ2=0.8，摩擦因数。现将质量为m甲=6kg的导体杆甲从斜面上高h=4m处由静止释放，质量为m乙=2kg的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l=2m，两杆电阻均为R=1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，取g=10m/s2，求： （1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？ （2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d满足的条件？ （3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y随时间t的变化如图（b）所示（t1、t2、t3、t4、b均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0~t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d的取值范围。 【答案】（1）a乙0=2m/s2，方向水平向右；（2）d≥24m；（3） 【解析】（1）甲从静止运动至水平导轨时，根据动能定理有 甲刚进入磁场时，平动切割磁感线有 E0=Blv0 则根据欧姆定律可知此时回路的感应电流为 根据楞次定律可知，回路中的感应电流沿逆时针方向（俯视），结合左手定则可知，乙所受安培力方向水平向右，由牛顿第二定律有 BI0l=m2a乙0 带入数据有 a乙0=2m/s2，方向水平向右 （2）甲和乙在磁场中运动的过程中，系统不受外力作用，则系统动量守恒，若两者共速时恰不相碰，则有 m1v0=(m1＋m2)v共 对乙根据动量定理有 其中 联立解得 dmin=Δx=24m 则d满足 d≥24m （3）根据（2）问可知，从甲刚进入磁场至甲、乙第一次在水平导轨运动稳定，相对位移为Δx=24m，且稳定时的速度v共=6m/s乙第一次在右侧斜轨上向上运动的过程中，根据牛顿第二定律有 m2gsinθ2＋μ2m2gcosθ2=m2a乙上 根据匀变速直线运动位移与速度的关系有 2a乙上x上=v共2 乙第一次在右侧斜轨上向下运动的过程中，根据牛顿第二定律有 m2gsinθ2－μ2m2gcosθ2=m2a乙下 再根据匀变速直线运动位移与速度的关系有 2a乙下x下=v12 且 x上=x下 联立解得乙第一次滑下右侧轨道最低点的速度 v1=5m/s 由于两棒发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，则甲乙整体第一次在右侧倾斜轨道上向上运动有 （m1＋m2）gsinθ2＋μ2（m1＋m2）gcosθ2=(m1＋m2)a共上 同理有 2a共上x共上=v2 且由图（b）可知 x上=4.84x共上 解得甲、乙碰撞后的速度 乙第一次滑下右侧轨道最低点后与甲相互作用的过程中，甲、乙组成的系统合外力为零，根据动量守恒有 m1v2－m2v1=(m1＋m2)v 解得乙第一次滑下右侧轨道最低点时甲的速度为 若乙第一次滑下右侧轨道最低点时与甲发生碰撞，则对应d的最小值，乙第一次在右侧斜轨上运动的过程，对甲根据动量定理有 其中 解得 根据位移关系有 dmin′－Δx=Δx1 解得 若乙返回水平导轨后，当两者共速时恰好碰撞，则对应d的最大值，对乙从返回水平导轨到与甲碰撞前瞬间的过程，根据动量定理有 其中 解得 根据位移关系有 dmax－Δx－Δx1=Δx2 解得 则d的取值范围为 4．（2025·甘肃·高考真题）在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 (1)求初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向； (2)系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为和，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； (3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 【答案】(1)，沿机械臂1向上 (2)，， (3)，方向向右； 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律可知，初始时刻机械臂1的感应电动势大小为 由右手定则可知感应电流方向沿机械臂1向上。 （2）在达到稳定前，两机械臂电流分别为和，两机械臂安培力的大小分别为， 设电容器所带电荷量为Q，则 （3）达到稳定时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有电流结合动量定理 ， 其中，， 联立解得， 结合（2）问分析，在任意时刻有 即 对该式两边取全过程时间的累计有 其中，， 即= 两棒间初始距离的最小值为=。 5．（2025·海南·高考真题）间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平滑相接，导轨上端有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为。两相同导体棒、cd与水平导轨的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒的质量均为，接入电路的电阻均为。cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞。忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。 (1)锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，求通过棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当棒下滑距离为时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中产生的焦耳热； (2)此后棒在下滑过程中电流达到稳定，求此时棒与cd棒速度大小之差； (3)棒中电流稳定之后继续下滑，从棒运动到水平导轨开始计时，时刻cd棒速度为0，加速度不为0；此后某时刻cd棒的加速度为0，速度不为0，求从t1时刻到某时刻，棒与棒的路程之差。 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，导轨倾斜部分光滑，则棒只受重力、导轨给的支持力、安培力；根据平衡条件可得 又 解得通过棒的电流为 断开开关，同时解除cd棒的锁定，设当棒下滑距离为时速度为，cd棒开始运动，此时回路中的电流为，此时对cd棒有 棒切割磁场，产生电动势， 回路电流 对cd棒有 cd棒从解除锁定到开始运动过程中，导体棒、cd电阻相同，通过的电流相同，则cd棒产生的焦耳热与ab棒产生的焦耳热相等，整个过程根据能量守恒可得 联立解得cd棒产生的焦耳热为 （2）cd棒从解除锁定到开始运动过程中，cd棒受到的安培力向左，则cd棒向左运动，则cd棒切割磁场，端为高电势，故回路总电动势 电路中电流 对棒 对cd棒 有 当电流达到稳定时，两棒的速度差恒定，此时两棒的加速度相等，联立解得此时、cd棒的速度大小之差为 （3）分析可知从开始到时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设时刻ab棒的速度为，cd棒速度为0，可知 解得 设某时刻cd棒的加速度为0时，ab棒速度为，cd棒速度为，此时cd棒的加速度为零，可得① 其中 分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得② 从时刻到cd棒的加速度为0时，对两棒分别根据动量定理有， 通过导体棒的电荷量 则可得， 两式相加得③ 同时有④ 联立①②③④可得从开始到cd棒加速度为0时刻，、cd的路程之差为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化：动量观点在电磁感应中的应用 目录 1 4 考点一 动量定理在电磁感应中的应用 4 考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用 7 9 基础巩固练 9 综合提升练 13 核心考点 1.动量定理在电磁感应中的应用： 核心公式：-BIL·Δt=mΔv，其中I·Δt=q代表通过导体横截面的电荷量。因此，常变形为-BLq=mΔv。 典型应用模型（单棒模型）： 单棒+电阻：导体棒在仅受安培力（或含恒定外力）作用下减速或加速，用动量定理结合q（或位移x）求解速度、时间、位移、电荷量。 单棒+电容器：电容器充电过程，导体棒做匀加速直线运动（加速度恒定）。此时可通过动量定理（或牛顿定律）推导出恒定加速度a和最终速度v的关系。 2.动量守恒定律在电磁感应中的应用： 适用条件：系统在水平方向（或某方向）不受外力，或所受合外力为零。 典型应用模型（双棒模型）： 无外力双棒系统：两根导体棒在光滑导轨上切割磁感线，整个系统水平方向不受外力，动量守恒。例：两棒相向运动，或一棒运动另一棒静止，最终两棒以相同速度（共速）运动，系统动能损失转化为焦耳热。 不等间距导轨：两根棒在不等间距导轨上运动时，安培力大小可能不等，但系统所受合外力不一定为零，需具体分析。 3.动量观点与能量观点的结合： 核心公式链：动量定理（求Δt、q、Δx）→动量守恒（求共速v）→能量守恒（求焦耳热Q）。 求解策略：在分析复杂的电磁感应多过程问题时，往往需要同时运用动力学（牛顿定律）、动量观点、能量观点，形成“三驾马车”的综合解题体系。 考情透析 1.题型与难度：高考的压轴热点与难点，通常出现在计算题的最后两问或选择题的压轴。难度较高，是区分尖子生的关键。 2.命题规律： 高频考查： 利用动量定理求单棒模型中的电荷量q、位移x或时间t。 无外力双棒模型中，利用动量守恒定律求共速或求系统总焦耳热。 电磁感应与动量定理、能量守恒定律的综合计算（常出现在复杂多过程问题中）。 常规考法： 给定光滑导轨上的单棒以一定初速度运动（或受瞬时冲量），求运动的距离、产生的热量或通过的电量。 给定双棒系统（一棒静止，另一棒以某速度滑来），求最终共速和系统总内能。 创新考法： 含容+双棒：双棒与电容器系统相互作用，动量守恒与电容充放电结合。 带外力双棒：在恒力作用下，双棒系统最终以恒定速度差运动，需用动量定理分析两根棒的动量变化量。 与图像结合：给出I-t图、v-t图等，图像面积或斜率的物理意义（如F-t图面积是冲量）与动量观点紧密相关。 3.考查方向：侧重动量定理与电荷量q、位移x之间联系的灵活运用、判断电磁感应系统中动量守恒的条件、构建“受力分析→动量分析→能量分析”的综合解题流程、突破传统运动学无法解决的变力作用时间与位移问题。 素养对接 1.守恒思想与整体观：在系统不受外力时，准确判断动量守恒。不仅将动量守恒定律用于一维碰撞，更迁移到电磁感应中的双棒系统。培养从宏观整体把握物理过程，利用守恒律简化求解的科学思维。 2.动量定理的“桥梁”作用：动量定理F·Δt=Δp是连接冲量（力对时间的积累）与动量变化的桥梁。在电磁感应中，安培力是变力，无法直接用牛顿定律求时间，但通过动量定理可将F·Δt奇妙的与电荷量q、位移x联系起来（F·Δt=BIL·Δt=BLq，q=BL·Δx/(R+r)）。培养不同物理量之间等效转化的思维。 3.模型建构与迁移能力：能识别单棒、双棒、含容等不同模型，并能将碰撞问题中的动量守恒模型迁移到双棒电磁感应系统中，建立“类碰撞”模型。培养把握物理本质，实现模型正向迁移的素养。 4.多角度综合分析：意识到解决复杂物理问题需要多把工具（力、能、动量），并能根据题设条件（求时间、位移，首选动量定理；求共速，首选动量守恒；求热量，首选能量守恒）灵活切换、择优选用。 学习目标 1.知识目标： 能写出带有电荷量q和位移x的动量定理表达式。 能叙述出单棒模型中，仅受安培力时动量定理的适用情景。 能说出一根棒受外力、另一根棒无外力的双棒系统中，动量守恒的适用条件（系统合外力为零）。 能写出动量守恒定律和能量守恒定律联合求解双棒系统问题的基本步骤。 2.能力目标： 推演与代换能力：能从-BIL·Δt=mΔv推导出BLq=mΔv和(B²L²·d)/(R+r)=mΔv（d为位移）。能熟练进行I·Δt与q的互代。 模型识别能力：能快速识别出题目是单棒还是双棒模型，是否有外力，是否满足动量守恒。 综合列式能力：能根据物理过程，正确列出动量定理（或动量守恒）方程和能量守恒方程，并进行联立求解。 临界分析能力：在双棒模型中，认识到“共速”往往是系统的临界或最终状态，并作为解题的切入点。 备考建议 1.熟练掌握“单棒+电阻”模型的动量定理应用，这是解决含时间、位移问题的利器： 模板： 若题目涉及时间t或位移x，优先考虑动量定理。 步骤： ①列动量定理：对导体棒列-BIL·Δt=mΔv。 ②寻找代换：I·Δt=q（通过电路的电荷量），q=ΔΦ/R_总=BLx/R总（当B、L恒定，x为导体棒对地位移）。 ③代入求解：最终得到-(B²L²·x)/(R+r)=m(v₂-v₁)或-BLq=m(v₂-v₁)，可直接解出位移x、电荷量q或末速度v₂。 优点：避开了复杂的物体运动过程分析，直接由初末动量关系和中间过程的电荷量、位移建立方程。 2.必须掌握“双棒模型”中动量守恒的分析方法（这是计算题的常见题型）： 标准情境：两根导体棒在光滑水平导轨上，无其他外力作用。 正确思路： 系统水平方向不受外力，动量守恒。 两棒受安培力等大反向（对每一根棒可用动量定理，但系统总动量不变）。 3.重点总结并背诵“电磁感应中三类动量问题的核心结论”： 1.单棒（无外力）：用动量定理求q和位移x。 2.单棒（受恒外力）：最终做匀速运动（a=0），用平衡方程先求vm；再结合动量定理求过程中某段的时间或位移。 3.双棒（无外力）：系统动量守恒，最终共速；能量守恒求热量。 4.学会将“动量定理”与“v-t图”或“I-t图”结合分析： F-t图的面积（冲量）对应动量变化。 I-t图的面积对应电荷量q。 若图像是直线，可直接用几何方法求面积；若图像是曲线，往往需要用平均电流或微元法思想积累。 5.强化易错点专项训练： 易错点一：动量守恒定律的适用条件判断错误。只有在系统水平方向（或某方向）不受外力时才成立。如果导轨不光滑（有摩擦力），或存在外力，动量不守恒，只能对单个物体用动量定理。 易错点二：运用动量定理时，忽略安培力的方向。安培力方向总是阻碍相对运动（“来拒去留”）。列式时必须明确F_安的方向，在动量定理中要带正负号。 易错点三：电荷量q与位移x的关系式记错。正确的是q=ΔΦ/R总=BLx/R总（单杆切割情况）。注意：此处的x是导体棒相对于初始位置的位移，不是相对于导轨的任意距离。 易错点四：含电容器模型中的动量观点用错。当导体棒与电容器相连时，安培力大小与电容C、加速度a有关，直接使用q=BLx/R已不适用（因为“R”路径可能被电容旁路）。此时需用动量定理+电流定义式+电容定义式联立推导出a是常数的结论。 易错点五：在双棒系统中，误以为两棒安培力大小相等（仅在等距导轨中成立）。如果是不等距导轨，两棒受到的安培力F₁=B·I·L₁，F₂=B·I·L₂，由于L₁≠L₂，合力不一定为零，系统总动量可能不守恒。遇到双棒模型，务必先看导轨间距是否相等！ 考点一 动量定理在电磁感应中的应用 【必备知识回顾】 在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解单杆所受其他恒力(非安培力)作用的时间、单杆的速度、单杆的位移和通过单杆的横截面的电荷量。 情境示例1 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷量q －BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝ 求位移x －Δt＝0－mv0，x＝Δt＝ 应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度 情境示例2 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v 求运动时间 －BLΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝Δt， －Δt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，x＝Δt 应用技巧 用动量定理求时间需有其他恒力参与。若已知运动时间，也可求q、x、v中的一个物理量 【重难模型精讲】 【典例1】(2026·江苏省·月考试卷)如图所示，两根足够长的光滑导轨、，平行固定在水平面上，导轨相距，左端用的电阻连接，一根导体棒质量与两根轨道垂直并且接触良好，静止放在导轨上，导轨和的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，现用水平恒力沿导轨向右拉导体棒，导体棒由静止开始运动，当导体棒开始做匀速运动后，电阻消耗的功率为求： 匀速运动时，电流的流向及速度； 从静止开始到恰好匀速运动的过程中，电阻产生的焦耳热，该过程位移的大小； 从静止开始运动到恰好匀速运动，所用的时间。 【变式训练与拓展】 【变式1】(2026·山东省潍坊市·入学测验)如图所示，绝缘水平面内两光滑导轨平行固定放置，导轨间距为，在导轨上垂直导轨放置一质量为、长度略大于、电阻不计的导体棒，导轨左侧通过导线连接电动势为、内阻为的电源，整个装置处于竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。闭合开关，导体棒开始运动，最终匀速运动，导轨电阻可忽略。 求从开始到恰匀速运动过程通过导体棒某一横截面的电荷量； 求从开始到恰匀速运动过程回路产生的焦耳热； 若导体棒恰达到匀速状态时的位移，求从开始到恰匀速运动所用的时间。 【变式2】(2026·山东省烟台市·其他类型)如图所示，匝数、截面积、电阻的线圈内有方向垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场，其变化率。线圈通过开关连接两根相互平行、间距的竖直导轨，下端连接阻值的电阻。一根阻值也为、质量的导体棒搁置在等高的挡条上。在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的不随时间变化的匀强磁场。接通开关后，棒对挡条的压力恰好为零。假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻。 求磁感应强度的大小，并指出磁场方向； 断开开关后撤去挡条，棒开始下滑，经后下降了，求此过程棒上产生的热量。 【变式3】(2026·山东省青岛市·期末考试)如图所示，间距、倾角的光滑金属导轨上端接有的定值电阻，矩形区域存在方向竖直向下、磁感应强度的匀强磁场。质量、阻值的导体棒从距磁场上边界为处由静止释放，到达磁场下边界前已经匀速。已知和间距离，重力加速度大小，导轨电阻不计。求： 导体棒匀速运动时的速度大小； 导体棒穿过有界磁场的时间。 考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用 【必备知识回顾】 1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。 2．双棒模型（不计摩擦力） 模型示意图 及条件 水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，给棒2一个初速度v0 电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电动势 电流及速 度变化 棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，随着两棒相对速度的减小，回路中的电流减小，，安培力减小，加速度减小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 最终状态 a＝0，I＝0，v1＝v2 系统规律 动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v 能量守恒Q＝ 两棒产生焦耳热之比＝ 【重难模型精讲】 【典例2】(2026·湖北省孝感市·其他类型)如图所示，间距为且足够长的平行金属导轨与，由倾斜与水平两部分平滑连接组成。倾角的倾斜光滑导轨间有垂直导轨平面斜向上的匀强磁场，水平粗糙导轨间有竖直向上的匀强磁场，两个匀强磁场的磁感应强度均为。质量均为的金属棒、分别垂直放在倾斜和水平导轨上，、棒与水平粗糙导轨间的动摩擦因数均为，现将棒从倾斜导轨某位置由静止开始释放，并同时锁定棒，使其保持静止。已知棒穿过之前已做匀速直线运动，且当棒刚穿过时，立即解除棒锁定并同时给棒施加水平向右的恒定拉力，棒运动后两棒速度相等。已知、棒接入电路的电阻均为，不计导轨的电阻，两棒始终与导轨保持接触良好，在运动过程中两棒不会发生碰撞，取，，求： 金属棒到达斜面底端时的速度的大小； 为了保证两棒不会发生碰撞，初始时金属棒到的最小距离； 、两棒最终运动的速度，大小。 【变式训练与拓展】 【变式4】(2026·四川省·模拟题)如图所示，两足够长平行金属直导轨、的间距，固定在同一水平面内，直导轨在左端、点分别与两条半径的竖直圆弧固定导轨相切。连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。长、质量、电阻的金属棒跨放在两圆弧导轨的最高点。质量、电阻的均匀金属丝制成一个金属长方形，其长为，宽为，水平放置在两直导轨上，金属长方形的中心到两直导轨的距离相等，且与导轨平行。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属长方形的可能形变，金属棒、金属长方形均与导轨始终接触良好，取重力加速度。现将金属棒由静止释放，运动过程中金属棒始终不与金属长方形接触，求： 金属棒刚越过时产生的感应电动势大小； 金属长方形刚开始运动时的加速度大小； 开始到稳定过程中金属长方形产生的焦耳热。 【变式5】(2026·云南省·月考试卷)如图所示，平行光滑金属导轨间距为，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒、垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每根金属棒质量为，接入电路的电阻均为。开始时棒锁定在轨道上，对棒施加水平向右的恒力，经时间，棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。求： 匀强磁场的磁感应强度 撤去力前，棒前进的位移 从开始施加到解除对棒锁定后足够长的时间内，回路产生的焦耳热。 【变式6】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，、是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为的匀强磁场。在时刻，两均匀金属棒、分别从磁场边界、进入磁场，速度大小均为时刻，流经棒的电流为，此时棒仍位于磁场区域内。已知金属棒、的质量分别为和，电阻分别为和。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，、棒没有相碰，求： 时刻棒加速度大小 时间内，棒产生的焦耳热。 基础巩固练 1.(2025·江苏省泰州市·单元测试)如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为，两条足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距为，左端接有电阻。一质量为、电阻为的金属棒放置在导轨上。金属棒在水平向右的拉力作用下，以速度沿导轨做匀速直线运动。求： 金属棒中产生的感应电动势； 拉力的大小； 从撤去拉力到金属棒停止运动的过程中，安培力对金属棒的冲量大小。 2.(2025·安徽省阜阳市·其他类型)如图所示，间距为的光滑平行导轨固定在水平面上，导轨左端连接一个阻值为的定值电阻，垂直于导轨的虚线、是竖直向下的匀强磁场的边界，磁场宽度也为，质量为的金属棒垂直导轨放置，金属棒接入电路的电阻也为，给金属棒施加一个水平向右大小为的拉力，使金属棒从静止开始运动，当金属棒运动到时撤去拉力，此时金属棒的速度为，当金属棒运动到时速度恰好为零，不计导轨电阻，金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，求： 金属棒初始位置到的距离； 磁场的磁感应强度大小； 保持金属棒的初始位置不变，将拉力变为，当金属棒运动到时撤去拉力，则金属棒最终的速度多大． 3.(2025·河北省沧州市·合格性考试)如图所示，放置在水平面上的粗糙平行长直轨道处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，轨道宽为；质量为、长也为、电阻为的导体棒垂直静置于导轨上。当开关与接通时，电源提供恒定电流，导体棒自静止开始向右运动，运动时间时，迅速把开关接通，与定值电阻接通，导体棒再运动为常数，已知时间停止运动。导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度为，导轨足够长且电阻忽略不计。求： 开关接通瞬间导体棒的速度大小； 假设开关刚接通时，导体棒的速度大小为已知，求接通后导体棒能继续运动的距离。 4.(2025·湖南省·模拟题)如图所示，足够长的水平平行导轨间距，导轨左端用导线连接阻值的定值电阻，质量为、阻值、长也为的导体棒垂直导轨放置，整个空间存在与水平方向成的匀强磁场磁场方向与导体棒垂直，磁感应强度大小。现在导体棒上施加一水平向右的恒力，经的时间导体棒刚好匀速运动，匀速时的速度大小，导体棒与导轨间的动摩擦因数，整个过程导体棒始终保持与导轨良好接触且不发生转动，不计导轨与导线的电阻，，重力加速度取。求： 导体棒的质量 导体棒的速度大小为时，导体棒的加速度大小． 的时间内系统产生的总热量． 5.(2024·江苏省南通市·月考试卷)如图所示，固定在水平面上两根相距的光滑金属导轨，处于竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场中，导轨电阻不计且足够长。金属棒、的质量均为、电阻均为，金属棒静置在导轨上且与导轨接触良好。现给金属棒一个平行导轨向右的瞬时冲量，最终两金属棒运动状态稳定且未发生碰撞，运动过程中金属棒始终与导轨垂直，忽略感应电流对磁场的影响，求整个过程中： 金属棒产生的焦耳热； 通过金属棒的电荷量； 金属棒、之间的距离减少多少。 6.(2025·辽宁省·模拟题)如图所示，两光滑平行金属导轨间距，左侧部分弯曲成四分之一圆弧，中间部分固定在高的水平绝缘桌面上，右侧部分弯曲成半径、圆心角的圆弧，左、右两段圆弧导轨的最低点均恰好与桌面左、右边缘平齐。质量、接入电路的电阻的导体棒垂直于导轨静置于桌面左边缘导轨上。水平桌面所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。将质量接入电路的电阻的导体棒从左侧圆弧导轨的最高点静止释放，随后导体棒与导体棒发生弹性碰撞，最终、先后从右侧圆弧导轨飞出并落至水平地面上的同一位置图中未画出，落点到桌面右边缘的水平距离。已知重力加速度，，，桌面足够长，导轨电阻和空气阻力忽略不计，右侧圆弧导轨绝缘。求： 导体棒运动到右侧圆弧导轨最低点时的速度大小； 左侧圆弧导轨的半径； 导体棒运动至右侧圆弧导轨最低点时，、两导体棒的间距。 7.(2025·北京市市辖区·模拟题)如图所示，、为两根水平放置相距平行且光滑的金属导轨，两点间接阻值的定值电阻，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。时刻给导体棒施加水平向右的恒力，导体棒从静止开始运动，时导体棒的速度。已知匀强磁场的磁感应强度，方向竖直向上，导体棒的质量，不计导轨、导体棒的电阻，重力加速度取。则在导体棒向右运动的过程中，求： 时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小； 时导体棒的加速度大小，并在图中定性画出导体棒运动过程的速度随时间变化的图像； 至时间内导体棒通过的位移大小。 8.(2025·云南省·联考题)如图所示，在足够长的光滑平行导轨上有两根由同种材料做成的导体棒、，，两棒长度均为，相距为，垂直导轨放置，棒的电阻为，刚开始棒静止，棒以初速度水平向右运动，空间存在垂直纸面向里、大小为的匀强磁场，求： 棒加速度的最大值 棒产生的焦耳热 两棒间的最小距离。 9.(2025·天津市·期中考试)如图所示，匝数、横截面积、电阻的线圈处于竖直向上的变化磁场中，磁感应强度随时间变化规律。倾角，间距、长度的光滑平行导轨处在磁感应强度为的匀强磁场中倾斜放置，方向垂直导轨平面，开关闭合时，一质量、电阻的导体棒恰好能静止在倾斜导轨的上端处，定值电阻，导轨电阻忽略不计，空气阻力忽略不计，取。则： 求线圈中的感应电动势大小； 求磁感应强度的大小和方向； 断开后导体棒开始沿导轨下滑，到达底端前速度已达到最大值，求导体棒滑到导轨底端所需的时间，及下滑过程中导体棒上产生的焦耳热。 10.如图甲所示，在水平面上固定有长、宽的光滑金属“”形导轨，在导轨右侧范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。在时刻，质量、电阻的导体棒以的初速度从导轨的左端开始向右运动，导轨的电阻忽略不计，取重力加速度大小。求： 导体棒刚进入磁场时的加速度大小和方向； 导体棒在磁场内运动的距离； 导体棒在运动过程中产生的焦耳热。 综合提升练 1．（多选）（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 2．（多选）（2025·重庆·高考真题）如图1所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d的正方形金属框efgh做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F=kv＋b（k>0，b>0），且gh两端的电压随时间均匀增加；当gh在无磁场区域运动时，F=0。gh段速度大小v与运动路程s的关系如图2所示，图中为gh每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。则（） A．gh在任一磁场区域的运动时间为 B．金属框的总电阻为 C．小车质量为 D．小车的最大速率为 3．（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1=0.6，摩擦因数，足够长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨倾角满足sinθ2=0.8，摩擦因数。现将质量为m甲=6kg的导体杆甲从斜面上高h=4m处由静止释放，质量为m乙=2kg的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l=2m，两杆电阻均为R=1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，取g=10m/s2，求： （1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？ （2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d满足的条件？ （3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y随时间t的变化如图（b）所示（t1、t2、t3、t4、b均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0~t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d的取值范围。 4．（2025·甘肃·高考真题）在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 (1)求初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向； (2)系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为和，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； (3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 5．（2025·海南·高考真题）间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平滑相接，导轨上端有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为。两相同导体棒、cd与水平导轨的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒的质量均为，接入电路的电阻均为。cd棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞。忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。 (1)锁定水平导轨上的cd棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，求通过棒的电流；断开开关，同时解除cd棒的锁定，当棒下滑距离为时，cd棒开始运动，求cd棒从解除锁定到开始运动过程中产生的焦耳热； (2)此后棒在下滑过程中电流达到稳定，求此时棒与cd棒速度大小之差； (3)棒中电流稳定之后继续下滑，从棒运动到水平导轨开始计时，时刻cd棒速度为0，加速度不为0；此后某时刻cd棒的加速度为0，速度不为0，求从t1时刻到某时刻，棒与棒的路程之差。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $