专题强化：动能定理在多过程问题中的应用（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理讲义聚焦动能定理在多过程问题中的应用，涵盖单向多过程、往复运动及斜面摩擦力做功等高考核心考点，按分阶段到全程应用的逻辑组织知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生构建系统解题框架，突破多过程问题难点。 资料创新采用“全程法”简化计算与等效代换思维，如通过典例推导等高斜面摩擦力做功相等结论，培养学生科学思维与模型建构能力。分层练习配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供支撑，助力学生提升高考应考能力。

专题强化：动能定理在多过程问题中的应用 目录 1 2 考点一动能定理在单向多过程运动中的应用 2 考点二动能定理在往复运动中的应用 6 考点三摩擦力做功的特点—斜面 10 13 基础巩固练 13 综合提升练 24 核心考点 1.动能定理在多过程问题中的应用： 分阶段应用：将复杂的运动过程拆解为若干个过程（如：斜面下滑→水平运动→弹簧压缩），在每一个子过程应用动能定理，求出关键状态的速度或功。 整体（全程）应用：对全过程直接应用动能定理，无需关注中间过程的细节，只需考虑全过程的总功和初末状态的动能。优势：快速求解总路程、末速度等，极大简化计算。 2.斜面上摩擦力做功的特点： 基本公式：滑动摩擦力做功Wf=-μmg·cosθ·s，其中s为物体在斜面上的路程。 特点一（斜面等高）：物体从相同高度的斜面顶端滑到斜面底端，不论斜面倾角如何（只要动摩擦因数相同），摩擦力所做的功相等，为Wf=-μmgl（l为斜面底边长度）。 特点二（往返运动）：物体在粗糙斜面上无初速释放并往返运动（如上滑后从原路返回），由于摩擦力方向始终与运动方向相反，整个往返过程中摩擦力做的总功为Wf=-μmg·cosθ·2s（s为单程的路程）。 3.往复运动中的摩擦力做功： 在往复运动问题中，摩擦力做功与物体经过的总路程成正比，即Wf=-μmg·cosθ·s总，这是一个解决往复运动问题的“捷径”。 4.等效代换法在斜面摩擦力做功中的应用： 计算物体沿斜面运动时摩擦力做功，有时可等效为物体在同一水平地面上移动相同水平距离时摩擦力的功。 考情透析 1.题型与难度：以计算题为主，常作为多物体、多过程复杂力学问题的核心考查环节，难度较高，是高考区分度的重要体现。 2.命题规律： 常与弹簧系统、传送带模型、圆周运动（特别是过山车模型）结合，考查学生能否将复杂运动合理分段并灵活运用动能定理。 斜面+水平面/曲面的多过程组合题是常见形式，其中斜面上摩擦力的计算是关键。 常以“物体在粗糙斜面与光滑水平面间往返运动”或“小物块在粗糙圆弧/斜面与水平面间运动”为背景命题，考查对摩擦力做功“路程依赖”的理解。 3.考查方向：侧重多过程问题的分段与整体求解策略、斜面摩擦力做功与路径的关系（特别是等高斜面做功相等）、往复运动中摩擦力做功与总路程的关系、利用动能定理求变力做功（如弹簧弹力、变方向的摩擦力）。 素养对接 1.过程与状态思维：强化“状态量（动能）”和“过程量（功）”的区分与联系，理解动能定理是连接过程与状态的桥梁。 2.整体与隔离思维：既能在复杂问题中“分段”，细致分析每个子过程的做功与速度变化；又能“全程”概览，忽略中间细节，直接从初末状态建立方程，培养宏观与微观相结合的分析能力。 3.模型建构：将斜面、水平面、圆弧、弹簧等抽象为物理模型，并建构“运动过程”的示意图，帮助理清各阶段的关系。 4.等效与转化：理解斜面摩擦力做功可以等效为水平面上摩擦力做功，培养等效替代的思维方法，简化问题分析。 学习目标 1.知识目标： 能根据题目描述准确划分多个运动过程（如：A→B匀加速、B→C平抛或圆周、C→D减速停止），并明确每个阶段的受力与运动特点。 能写出斜面摩擦力做功的表达式。 能说出“物体从等高不同倾角的斜面上滑下至底端时摩擦力做功相等”的结论及其条件。 能说出在往复运动中，摩擦力做的总功等于μmg·cosθ·s总（s总为总路程）。 2.能力目标： 过程划分能力：能将一个复杂的多过程问题划分为若干个独立的单过程，并画出清晰的“运动过程图”或“能量转化图”。 列式建模能力：能针对不同的子过程或全过程，正确列出动能定理方程。 等效代换能力：能利用“等高斜面摩擦力做功相等”的结论快速比较不同斜面上摩擦力做功的大小。 往复问题求解能力：能正确识别“往复运动”中的总路程，并利用Wf=-μmg·cosθ·s总结合动能定理（或其他功能关系）快速求解末状态（如最终停止的位置）。 备考建议 1.善用“全程法”简化多过程问题： 核心思想：如果题目只问最终状态（如最终速度、最终位置、总路程），且不同阶段间没有需要求解的中间速度，优先使用“全程法”列动能定理方程，可以省略中间复杂的加速度分析和运动学计算。 适用场景：“物体从A点静止出发，经过多个粗糙斜面/水平面，最终在某点停止”——求出发点A与停止点的水平距离或总路程。 2.死磕“斜面摩擦力做功”的两大特点： 等高斜面特点（比较类问题）：Wf=-μmgl（l为底边长度）。该结论在选择题中可直接使用，快速判断不同倾角斜面摩擦力做功的大小关系。 路程依赖性（计算类问题）：当物体在斜面上做往复运动时，摩擦力的功一定与物体在斜面上经过的总路程有关，不要把路程错误地等同于位移。 3.攻克“往复运动”中的能量关系： 核心方法：往复运动往往最终在某点（如粗糙水平面上）静止。设总路程为s总，则全过程摩擦力做功为-μmgs总。重力做功仅与初末位置的高度差有关，与其他因素无关。 4.规范“分阶段法”的解题步骤： 第一步：画运动过程示意图，标出已知量和关键状态（各段的起点、终点、最高/最低点等）。 第二步：确定研究对象和研究过程（如“物体从A到B的过程”），明确初末状态速度。 第三步：对该过程做受力分析，计算所有力做的总功W_合（包括重力、摩擦力、弹力、支持力等）。 第四步：列动能定理方程，求解未知量。 第五步（如适用）：调用上一阶段的末速度作为下一阶段的初速度，循环往复，直到求出目标量。 5.注意易错点与创新拓展： 易错点一：混淆“路程”与“位移”。摩擦力做功用的是物体实际经过的路程，尤其在往复运动中不能错用位移。 易错点二：忘记计算支持力的功（斜面或水平面上的支持力不做功，但圆弧轨道上的支持力不做功也是常见结论）。 易错点三：在斜面与水平面的衔接处，误以为物体速度会突变（实际速度的大小不变，方向变化）。 拓展训练：练习“物体在曲面（如1/4圆弧粗糙轨道）上下滑+水平面运动”的综合题，其中曲面上的摩擦力做功无法直接套用μmgcosθ·s，需结合功能关系或微元法求解。 考点一 动能定理在单向多过程运动中的应用 【必备知识回顾】 动能定理在单向多过程运动中的应用 思路1.分阶段应用动能定理 （1）若题目需要求解某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 （2）物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 思路2.全过程应用动能定理 （1）当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。 （2）全过程列式时要注意 ①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 ②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 【重难模型精讲】 【典例1】(2026·云南省·期中考试)如图，竖直平面内的光滑半圆形轨道下端与水平面相切，、分别为半圆形轨道的最低点和最高点。小滑块沿水平面向左滑动，经过点时的速度，经过点进入光滑半圆形轨道，且恰好通过最高点。已知半圆轨道半径，小滑块的质量为。小滑块可看作质点。重力加速度大小取。求： 滑块经过点时对圆轨道的压力大小 滑块从到过程克服摩擦力做的功。 【答案】解：小滑块恰好通过最高点，则可得， 从到过程小滑块由动能定理可得， 在点，由牛顿第二定律得， 解得， 根据牛顿第三定律，滑块经过点时对圆轨道的压力大小为 对滑块从到，由动能定理得， 解得。 【变式训练与拓展】 【变式1】（多选）(2026·江西省·单元测试)如图所示，半径为的半圆弧槽固定在水平面上，槽口向上，槽口直径水平，一个质量为的物块从点由静止释放刚好从槽口点无碰撞地进入槽中，并沿圆弧槽匀速率地滑行到点，不计物块的大小，点到点高度为，重力加速度大小为，则下列说法正确的是() A.物块从到过程克服摩擦力做的功为 B.物块从到过程重力的平均功率为 C.物块在点时对槽底的压力大小为 D.物块到点时重力的瞬时功率为 【答案】BC 【解析】A.从到，物块速率不变，根据动能定理得：，所以克服摩擦力做的功为：，故A错误； B.从到，根据机械能守恒得：，得物体从到的速率为：，从到的运动时间为：，所以物块从到过程重力的平均功率为：，故B正确； C.在点，根据牛顿第二定律和向心力公式得：，解得物块受到的支持力为：，根据牛顿第三定律知物块在点对槽底的压力大小为，故C正确。 D.物块在点时，重力方向与速度方向垂直，所以重力的瞬时功率为零，故D错误。 故选BC。 【变式2】(2026·天津市·期中考试)我国于年举办冬奥运会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示，质量的运动员从长直轨道的处由静止开始以加速度匀加速下滑，到达助滑道末端时速度，与的竖直高度差。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点处附近是一段以为圆心的圆弧，助滑道末端与滑道最低点的高度差，运动员在、间运动时阻力做功，取。 求运动员在段下滑时受到阻力的大小； 若运动员能承受的最大压力为其所受重力的倍，则点所在圆弧的半径至少应为多大。 【答案】运动员在段做初速度为的匀加速运动，设的长度为，斜面的倾角为，则有 由牛顿第二定律有，又，联立解得 设运动员到达点时的速度为，由到过程，由动能定理有 设运动员在点所受支持力为，由牛顿第二定律有，又，联立解得 【变式3】(2026·广东省·期中考试)如图所示，一段光滑圆弧轨道右端连接一长木板，一起固定在水平面上。有一个可视为质点的质量为的小物块，从光滑平台上的点以的初速度水平抛出，到达点时，恰好沿点的切线方向进入圆弧轨道，最后小物块滑上长木板。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，小物块与长木板间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径为，点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角为。不计空气阻力，，，求： 两点的高度差； 小物块到达圆弧轨道末端点时对轨道的压力大小； 要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度。 【答案】小物块从到过程做平抛运动，设小物块到达在点的速度大小为，如图所示， 小物块到达点的速度大小 竖直方向分速度为 小物块在竖直方向做自由落体运动，两点的高度差； 小物块由到的过程中，由动能定理： 代入数据解得： 小物块在点时，由牛顿第二定律得： 代入数据得： 由牛顿第三定律可知，小物块在点时对轨道的压力大小为 要使小物块不滑出长木板，设木板的最小长度为，由动能定理得： 考点二 动能定理在往复运动中的应用 【必备知识回顾】 动能定理在往复运动中的应用 1.往复运动：即物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的有关物理量多数是变化的，而往复的次数有的可能是有限的，而有的可能最终达到某一稳定情境下的无限往复运动。 2.解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。 【重难模型精讲】 【典例2】(2026·河北省唐山市·其他类型)如图所示，是一个固定盆式容器，侧壁与盆底平滑连接，距离，盆边缘的高度为。已知侧壁是光滑的，盆底与小物块间的动摩擦因数为。在处静止释放一质量为的小物块，小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则最终位置到的距离为() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设小物块在盆底通过的总路程为，根据动能定理可得 解得 由于 可知最终位置到的距离为。 故选C。 【变式训练与拓展】 【变式4】（多选）(2026·江西省·期中考试)如图所示，、为弹性竖直挡板，相距，、之间为水平导轨。质量的一小球可视为质点自板处开始，以的速度沿摩擦因数相同的水平导轨向板运动，它与、挡板碰撞后瞬间均以碰前瞬间的速率反弹回来，为使小球恰好停在两挡板的中间，则摩擦力的大小可能为() A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】物体停在的中点，可知物体的路程，由动能定理，得，，代入数据得，，当时，当时，当时，当时，故AB正确，CD错误。 故选AB。 【变式5】(2026·江苏省无锡市·其他类型)如图所示，水平轨道的左端与固定的光滑竖直圆轨道相切于点，右端与一倾角为的光滑斜面轨道在点平滑连接即物体经过点时速度的大小不变，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为的滑块从圆弧轨道的顶端点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至点，已知光滑圆轨道的半径，水平轨道长为，滑块与其间的动摩擦因数，光滑斜面轨道上长为，取。求： 滑块第一次到达点时对圆弧轨道的压力的大小； 整个过程中弹簧具有的最大弹性势能； 滑块最终停在距点多远的位置？ 【答案】解：光滑圆弧轨道，动能定理： 刚到达点 解得： 由牛顿第三定律可得，所求压力大小为 设滑块第一次到达点时，弹簧具有最大的弹性势能。 滑块从点到点，设该过程弹簧弹力对滑块做的功为，由动能定理可得：， 又， 解得：； 由于，所以滑块不能停在斜面上，最终滑块停在。设滑块在上滑行的总路程为 对整个过程，由动能定理可得：， 解得：， 结合，可知：， 滑块经过段次后，再由点向左滑行，滑块最终停在距点距离为：。 【变式6】(2026·云南省·单元测试)如图所示，竖直平面内有一倾角的轨道，与半径均为的光滑细圆管轨道和构成一游戏装置，为四分之一圆弧，、两处轨道平滑连接。该装置固定在水平地面上，保持水平，现将质量为的滑块从轨道上点由静止释放，已知间距离，滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为，求： 滑块从点抛出后的水平位移； 将滑块从轻轻放入轨道，经足够长时间之后，经过点时受到的支持力； 第问中，滑块在斜面上滑行的总路程。 【答案】滑块从点释放到点，根据动能定理可得， 解得滑块经过点的速度大小为， 滑块经过点后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，可得， ， 联立解得小球水平位移。 经过足够长时间后，滑块在处速度为， 从到过程：， 解得：， 在点有：， 解得：。 从到过程根据动能定理有：， 解得：。 【方法规律】 往复运动问题的解题策略： 在有些问题中，物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定。 此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式求解将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体运动的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可简化解题过程。 考点三 摩擦力做功的特点—斜面 【重难模型精讲】 【典例3】(2026·湖南省长沙市·其他类型)如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面点的高度为，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的点停下。已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，求木块在水平面上停止点的位置到点的距离，并讨论：与斜面倾角的大小是否有关？ 【答案】解：设斜面倾角为。 小木块在斜面上受到的滑动摩擦力：， 在水平面上受到的滑动摩擦力：， 对木块运动的整个过程， 滑动摩擦力做功：， 重力做功为， 根据动能定理得： 解得，可知与斜面倾角的大小无关。 答：木块在水平面上停止点的位置到点的距离为，与斜面倾角的大小无关。 【变式训练与拓展】 【变式7】(2026·河南省·模拟题)如图所示，在水平的面上有一小物块可视为质点，小物块以某速度从点最远能滑到倾角为的斜面上的点水平面和斜面在点通过一极短的圆弧连接。若减小斜面的倾角，变为斜面如图中虚线所示，小物块仍以原来的速度从点出发滑上斜面。已知小物块与水平面和小物块与斜面的动摩擦因数相同，为水平线，为竖直线。则() A.小物块恰好能运动到点 B.小物块最远能运动到点上方的某点 C.小物块只能运动到点 D.小物块最远能运动到、两点之间的某点 【答案】D 【解析】设小物块的初速度为，小物块与水平面和斜面的动摩擦因数均为，做竖直线交水平线于点如图乙所示：， 小物块沿斜面上滑到点的过程中，由动能定理，又，解得； 当减小斜面的倾角，小物块仍以原来的速度从点出发滑上斜面，假设小物块能运动到点，则由动能定理有：， 由于：，解得：，不符合实际情况，故小物块不能运动到点； 若假设小物块能运动到点，则由动能定理有：，由于：，，解得，故小物块运动到点后仍能向上运动， 综上所述，小物块最远能滑到、两点之间的某点，故ABC错误，D正确。 故选D。 【变式8】(2026·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·其他类型)如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，质量为的木块，在水平方向的恒力作用下，沿斜面向上做加速度大小为的匀加速直线运动。木块和斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为，木块沿斜面移动的距离为。下列说法正确的是() A.木块受到的摩擦力大小一定为 B.斜面对木块支持力大小一定为 C.摩擦力对木块做功一定为 D.木块动能一定增加了 【答案】D 【解析】建立如图所示的坐标系，将重力和拉力沿坐标系进行分解如图 则沿轴可得斜面对木块的支持力大小为， 斜面对木块的摩擦力大小为，故AB错误； C.由题可知，摩擦力对木块所做的功为，故C错误； D.由动能定理可得， 由牛顿第二定律可得， 联立可得，故D正确。 故选D。 【变式9】(2026·湖北省荆门市·其他类型)一物体以一定的初速度自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。以斜面底端为零势能面，此过程该物体的动能随高度的变化关系如图所示，图中、和均为已知，重力加速度为。下列说法正确的是() A.物体滑到最高点时重力势能为 B.物体上滑过程中克服重力做的功为 C.物体下滑过程中克服阻力做的功为 D.由题中已知量可以求出阻力大小为 【答案】A 【解析】解：、根据能量守恒定律，物体在运动过程中，动能和势能相互转化，同时克服阻力做功。设物体滑到最高点时重力势能为， 上滑过程有，下滑过程有：，因为上滑和下滑过程中，摩擦力大小不变，斜面长度不变，所以。联立可得，故A正确， B、物体上滑过程中克服重力做的功等于重力势能的增加量，由选项分析可知物体滑到最高点时重力势能为，所以物体上滑过程中克服重力做的功为，故B错误， C、整个过程克服阻力做的功，下滑过程中克服阻力做的功为，故C错误， D、由可知，下滑过程中克服阻力做的功为，下滑过程中，下滑的高度为，设斜面长度为，根据几何关系为斜面倾角，，，，故D错误。 故选：。 基础巩固练 1．（2020·江苏·二模）如图所示，传送带以恒定速度v0向右运动，A、B间距为L，质量为m的物块无初速度放于左端A处，同时用水平恒力F向右拉物块，物块与传送带间的动摩擦因数为μ，物块从A运动到B的过程中，动能Ek随位移x变化的关系图像不可能的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】开始时滑块受向右的拉力F和向右的摩擦力f而做加速运动，则动能EK=(F+f)x；若物块在到达最右端之前还未达到与传送带共速，此时图像为C；若F>f，则当物块与传送带共速后还会加速，此时动能增加为∆EK=(F-f)x，此时图像为D；若F≤f，则当物块与传送带共速后会随传送带一起匀速运动，动能不变，此时图像为B；物块与传送带共速后只能匀速或者加速，不可能做减速，则图像A不可能。 故选A。 2．（2026·山东临沂·期末）如图所示，固定在水平面上的曲面体部分是半径为的四分之一光滑圆弧，部分是粗糙的水平面。今把质量为的小物块从点由静止释放，与部分间的动摩擦因数为，最终小物块静止于之间的点，则间的距离随各物理量的变化情况是（） A．其它量不变，越大越大 B．其它量不变，越大越大 C．其它量不变，越大越大 D．其它量不变，越小越大 【答案】B 【解析】AB．对物块，由静止释放到最终静止，根据动能定理 解得，故A错误，B正确； CD．距离与物块质量无关，故CD错误。 故选B。 3．（2026高三上·江苏淮安·阶段检测）如图所示，直杆AB与水平面成角固定，在杆上套一质量为m的小滑块，杆底端B点处有一弹性挡板，滑块与挡板碰撞后原速率返回。现将滑块拉到与B相距L的A点由静止释放，与挡板第一次碰撞后上滑时间恰好是第一次下滑时间的一半，已知重力加速度为g，下列说法确定的是（） A．物块最终停在AB中点处 B．滑块运动总路程为3L C．滑块与杆之间的动摩擦因数 D．滑块下滑过程加速度的大小 【答案】B 【解析】A．现将滑块拉到与B相距L的A点由静止释放，滑块下滑，所以物块最终停在B点处，故A错误； CD．设AB长为L，最大速度为v，根据平均速度公式可知， 其中第一次碰撞后上滑时间恰好是下滑时间的一半，所以恰好能上升到AB的中点，对整个过程，运用动能定理得 解得 根据牛顿第二定律得下滑过程 解得，故CD错误； B．根据 滑块运动总路程为，故B正确。 故选B。 4．（2026·湖北武汉·三模）如图所示，倾角为的固定斜面底端有一垂直于斜面的弹性挡板，A点在斜面上距挡板5m处，B点在斜面上距A点1m处，质量为2kg的物块（可视为质点）从B点由静止释放。已知A点上方斜面光滑，A点下方斜面粗糙，且物块与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，物块与挡板碰撞时间极短，碰撞过程无机械能损失。下列说法正确的是（） A．物块第1次碰撞前瞬间的速度大小为6m/s B．物块第1次碰撞后，沿斜面上升恰好到达A点 C．物块第次碰前瞬间的速度大小是第n次碰前瞬间的速度大小的 D．物块从开始运动到最后静止过程中运动的总路程为10m 【答案】C 【解析】A．物块从B到挡板，总位移沿斜面向下，A下方粗糙段长，由动能定理 代入得 故A错误。 B．第一次碰撞后速度大小仍为，设向上最大运动距离为，由动能定理： 代入得 故远未到达A点，故B错误。 C．设第次碰前速度为，碰撞后上升到最高点距离挡板，到最高点过程： 从最高点下滑到挡板，第次碰前速度为，又由 两式相比得 故C正确。 D．物块最终静止在挡板处，全过程摩擦力仅在A下方粗糙段做功，由动能定理初始重力势能全部用来克服粗糙段摩擦力做功 得粗糙段总路程 加上B到A的光滑段，总路程为，故D错误。 故选C。 5．（2026·河南焦作·二模）如图所示，跳台滑雪赛道由动摩擦因数均为的助滑道和平台组成，运动员通过和连接点C处时无能量损失。比赛中质量为m的运动员从A点由静止下滑，运动到D点后水平飞出，落在水平面上的某点。已知A、B间高度为，B、D间长度为L，与水平面间的夹角为，D点与水平面间的高度为，D点到落地点的水平距离为x，重力加速度为g，忽略空气阻力。则（　　） A．保持不变，减小角，水平距离x会增大 B．保持不变，减小角，水平距离x会减小 C．仅减小动摩擦因数，水平距离x会增大 D．仅减小动摩擦因数，水平距离x会减小 【答案】C 【解析】运动员从A到D过程，克服摩擦力做功为 设运动员在D点抛出时的速度大小为，根据动能定理可得 运动员在空中做平抛运动，则有， 联立可得 可知保持不变，减小角，水平距离x不变；仅减小动摩擦因数，水平距离x会增大。 故选C。 6．（2026高三·全国·专题练习）一个小物块从底端冲上足够长的斜面后，又返回斜面底端。已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为。若小物块冲上斜面的动能为2E，则物块（　　） A．返回斜面底端时的动能为E B．返回斜面底端时的动能为 C．返回斜面底端时的速度大小为2v D．返回斜面底端时的速度大小为v 【答案】A 【解析】AB．设以初动能为E冲上斜面的初速度为，则以初动能为2E冲上斜面时，初速度为，由于两次向上运动的加速度相同，根据， 可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以第二次上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，第二次整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E；根据能量守恒可知第二次返回到底端时的动能为，故A正确，B错误； CD．第一次小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为，则有 若小物块冲上斜面的初动能变为2E，设它返回斜面底端的速度大小为，由于克服摩擦阻力做功为E，则有 联立可得，故CD错误。 故选A。 7．（多选）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物块从静止释放到相对静止这一过程，下列说法正确的是（　　） A．电动机做的功为mv2 B．摩擦力对物体做的功为mv2 C．传送带克服摩擦力做的功为mv2 D．小物块与传送带因摩擦产生的热量为Q=mv2 【答案】AC 【解析】设经t时间物体与传送带相对静止，物体做匀加速直线运动，传动带做匀速运动，则物体位移 传送带运动距离 二者相对位移 物体所受合力为滑动摩擦力，由动能定理 即，传送带克服摩擦力做功为 小物块与传送带因摩擦产生的热量为 电动机做功等于物体增加的动能与传送带与物体之间摩擦产生的热能之和，则 故AC正确，BD错误。 8．（多选）（2026·广东肇庆·期末）如图所示，卸货人员利用斜面和水平面辅助卸货。卸货人员将一质量的货物从点由静止释放，货物先匀加速下滑到点后再减速，滑到点前速度已减为零。已知斜面长为4m，倾角，长为1m，货物到达点时的速度大小为2m/s，且经过点时的速度大小不变，重力加速度取10m/s2，则（　　） A．从点到点，重力对货物做功为2000J B．从点到点，货物克服摩擦力做功为900J C．货物到达点时重力的瞬时功率为100W D．货物与间的动摩擦因数 【答案】BD 【解析】A．从点到点，重力对货物做功，A错误； B．从点到点，由动能定理得 可得货物克服摩擦力做功，B正确； C．货物到达点时重力的瞬时功率，C错误； D．货物在水平面上滑动时，由动能定理得 s小于1m，解得货物与间的动摩擦因数，D正确。 故选BD。 9．（多选）（2026·山东淄博·二模）如图，ABC是竖直面内的光滑固定轨道，A点在水平面上，轨道AB段竖直，长度为R，BC段是半径为R的圆弧，与AB相切于B点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平向右的外力作用，从A点以竖直向上沿轨道内侧开始运动。小球可视为质点，重力加速度大小为g。则（　　） A．在C点小球对轨道的压力大小为3mg B．在C点小球对轨道的压力大小为4mg C．小球落地时的速度大小为 D．小球落地时的速度大小为 【答案】AC 【解析】AB．水平外力，，A到C总竖直高度为，水平位移向左大小为，则外力做功 重力做功 从A到C，由动能定理得 解得 在C点，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可知，小球对轨道压力为，A正确，B错误； CD．取向右为正，小球从C点飞出后，速度方向水平向左，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体，竖直方向有 解得运动时间 落地时 水平方向，由牛顿第二定律有 解得 落地时的水平速度 故合速度大小，C正确，D错误。 故选AC。 10．（2026高三上·安徽蚌埠·期末）如图所示，为长度的水平光滑轨道，为固定在竖直面内半径的光滑四分之一圆弧轨道，两轨道在点平滑连接，质量的物块（可视为质点）静止在点。现用一水平向右大小为的力作用在物块上，运动到点时撤去。不计空气阻力，重力加速度。求： (1)力对物块做的功； (2)物块到达点时的速度大小； (3)物块从点脱离轨道后上升的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由功的定义可得，力做的功 解得 （2）物块由点运动到点，由动能定理得 解得 （3）物块从点脱离轨道后做竖直上抛运动，则 解得 11．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，段的圆心为O点，圆心角为，半径与水平轨道垂直，水平轨道段粗糙且长，一运动员从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道，经轨道后冲上轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为，B、E两点与水平面的竖直高度分别为h和H，且，，。 (1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间； (2)求轨道段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力； (3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如果能，请求出回到B点时的速度大小；如果不能，则最后停在何处？ 【答案】(1)； (2)；，方向竖直向下 (3)不能，停在距离D点左侧处 【解析】（1）由题意根据几何关系可知 代入初速度解得 在B点竖直方向的速度 从A点到B点竖直方向自由落体，则有 解得 （2）由B点到E点，由动能定理可得 代入数据可得 由B点到C点，由动能定理可得 在C点由牛顿第二定律知 由几何知识可得 联立解得 根据牛顿第三定律可得滑板对轨道的压力，方向竖直向下 （3）运动员能到达左侧的最大高度为，从B点到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有 解得 所以第一次返回时，运动员不能回到B点，设运动员从B点运动到停止，在段的总路程为s，由动能定理可得 代入数据解得 因为，所以运动员最后停在距离D点左侧处 12．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，ab为水平光滑直轨道，bc和cd为两段半径为R=2m，圆心角为θ=37°的光滑圆弧轨道，各轨道位于同一竖直平面内且平滑连接。质量为m=3kg的物块（可视为质点）静置于a点，ab间距离为L=1m。现对物块施加水平向右的恒力F=6N，到达b点立即撤除恒力，物块继续沿圆弧轨道上滑，已知重力加速度，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)物块到达圆弧b点时对轨道的压力； (2)若恒力大小可以调节，要使物块能够沿轨道bcd运动到d点，则恒力F的取值范围。 【答案】(1)36N，方向竖直向下 (2) 【解析】（1）物块从a运动到b点，根据动能定理 在b对物块进行受力分析， 解得 根据牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力的大小为36N，方向竖直向下。 （2）若物块撤除拉力后到达c点时对轨道压力为0，物块运动到d点速度最大，对应的拉力最大，c点 代入数据解得 对物块从a到c列动能定理方程 解得 若物块恰好到达d点，对应的拉力最小，物块从b到d列动能定理方程有 解得 综上所述，物块沿轨道bcd运动到d点，则恒力F取值范围 综合提升练 1．（多选）（2024·广东·高考真题）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别从、高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止 B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度 C．乙的运动时间与无关 D．甲最终停止位置与O处相距 【答案】ABD 【解析】A．两滑块在光滑斜坡上加速度相同，同时由静止开始下滑，则相对速度为0，故A正确； B．两滑块滑到水平面后均做匀减速运动，由于两滑块质量相同，且发生弹性碰撞，可知碰后两滑块交换速度，即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度，故B正确； C．设斜面倾角为θ，乙下滑过程有 在水平面运动一段时间t2后与甲相碰，碰后以甲碰前速度做匀减速运动t3，乙运动的时间为 由于t1与有关，则总时间与有关，故C错误； D．乙下滑过程有 由于甲和乙发生弹性碰撞，交换速度，则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同；则如果不发生碰撞，乙在水平面运动到停止有 联立可得 即发生碰撞后甲最终停止位置与O处相距，故D正确。 故选ABD。 2．（2019·浙江·高考真题）某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的物理模型．竖直平面内有一倾角θ=37°的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过．转轮半径R=0.4m、转轴间距L=2m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H=2.2m．现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右．已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5．（sin37°=0.6） （1）若h=2.4m，求小物块到达B端时速度的大小； （2）若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件 （3）改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）物块由静止释放到B的过程中： 解得vB=4m/s （2）左侧离开，D点速度为零时高为h1 解得h<h1=3.0m （3）右侧抛出，D点的速度为v，则 其中，x=vt 可得 为使能在D点水平抛出则： 解得h≥3.6m 3．（2021·福建·高考真题）如图（a），一倾角的固定斜面的段粗糙，段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图（b）所示。已知段长度为，滑块质量为，滑块与斜面段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，。求： （1）当拉力为时，滑块的加速度大小； （2）滑块第一次到达B点时的动能； （3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设小滑块的质量为m，斜面倾角为，滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块受斜面的支持力大小为N，滑动摩擦力大小为f，拉力为10N时滑块的加速度大小为。由牛顿第二定律和滑动摩擦力公式有 ① ② ③ 联立①②③式并代入题给数据得 ④ （2）设滑块在段运动的过程中拉力所做的功为W，由功的定义有 ⑤ 式中、和、分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小。依题意，，，，。设滑块第一次到达B点时的动能为，由动能定理有 ⑥ 联立②③⑤⑥式并代入题给数据得 ⑦ （3）由机械能守恒定律可知，滑块第二次到达B点时，动能仍为。设滑块离B点的最大距离为，由动能定理有 ⑧ 联立②③⑦⑧式并代入题给数据得 ⑨ 4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度，滑块与轨道FG间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（） （1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小； （2）设释放点距B点的长度为，滑块第一次经F点时的速度v与之间的关系式； （3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度的值。 【答案】（1）7N；（2）（）；（3），， 【解析】（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理 经过C点时 解得 （2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时 解得 而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能定理 可解得 则要保证小球能到F点，，带入可得 （3）首先研究滑块能否脱离圆弧轨道BCD，滑块在圆弧轨道BCD上运动时，在 点运动速度最小，若在此位置不脱离，在其它位置就不会脱离轨道，在点 解得 滑块在通过细管的最高点时速度大于0，设过最高点时的速度为0，滑块由点运动到最高点的过程 解得 由于，故滑块在到达细管最高点之前不会脱离圆弧轨道BCD。 设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则 解得n=1,3,5,…… 又因为， 当时，，当时，，当时，，满足要求。 即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度的值可能为，，。 5．（2023·江苏·高考真题）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）求滑雪者运动到P点的时间t； （2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v； （3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）滑雪者从A到P根据动能定理有 根据动量定理有 联立解得 （2）由于滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，故从P点到B点合力做功为0，所以当从A点下滑时，到达B点有 （3）当滑雪者刚好落在C点时，平台BC的长度最大；滑雪者从B点飞出做斜抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 联立可得 6．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【答案】（1）；（2）0；（3） 【解析】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有 解得 （2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有 小物块从C到D的过程中，根据动能定理有 则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有 联立解得 ，HBD=0 （3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 S=π∙2R 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化：动能定理在多过程问题中的应用 目录 1 1 考点一动能定理在单向多过程运动中的应用 4 考点二动能定理在往复运动中的应用 6 考点三摩擦力做功的特点—斜面 8 9 基础巩固练 9 综合提升练 13 核心考点 1.动能定理在多过程问题中的应用： 分阶段应用：将复杂的运动过程拆解为若干个过程（如：斜面下滑→水平运动→弹簧压缩），在每一个子过程应用动能定理，求出关键状态的速度或功。 整体（全程）应用：对全过程直接应用动能定理，无需关注中间过程的细节，只需考虑全过程的总功和初末状态的动能。优势：快速求解总路程、末速度等，极大简化计算。 2.斜面上摩擦力做功的特点： 基本公式：滑动摩擦力做功Wf=-μmg·cosθ·s，其中s为物体在斜面上的路程。 特点一（斜面等高）：物体从相同高度的斜面顶端滑到斜面底端，不论斜面倾角如何（只要动摩擦因数相同），摩擦力所做的功相等，为Wf=-μmgl（l为斜面底边长度）。 特点二（往返运动）：物体在粗糙斜面上无初速释放并往返运动（如上滑后从原路返回），由于摩擦力方向始终与运动方向相反，整个往返过程中摩擦力做的总功为Wf=-μmg·cosθ·2s（s为单程的路程）。 3.往复运动中的摩擦力做功： 在往复运动问题中，摩擦力做功与物体经过的总路程成正比，即Wf=-μmg·cosθ·s总，这是一个解决往复运动问题的“捷径”。 4.等效代换法在斜面摩擦力做功中的应用： 计算物体沿斜面运动时摩擦力做功，有时可等效为物体在同一水平地面上移动相同水平距离时摩擦力的功。 考情透析 1.题型与难度：以计算题为主，常作为多物体、多过程复杂力学问题的核心考查环节，难度较高，是高考区分度的重要体现。 2.命题规律： 常与弹簧系统、传送带模型、圆周运动（特别是过山车模型）结合，考查学生能否将复杂运动合理分段并灵活运用动能定理。 斜面+水平面/曲面的多过程组合题是常见形式，其中斜面上摩擦力的计算是关键。 常以“物体在粗糙斜面与光滑水平面间往返运动”或“小物块在粗糙圆弧/斜面与水平面间运动”为背景命题，考查对摩擦力做功“路程依赖”的理解。 3.考查方向：侧重多过程问题的分段与整体求解策略、斜面摩擦力做功与路径的关系（特别是等高斜面做功相等）、往复运动中摩擦力做功与总路程的关系、利用动能定理求变力做功（如弹簧弹力、变方向的摩擦力）。 素养对接 1.过程与状态思维：强化“状态量（动能）”和“过程量（功）”的区分与联系，理解动能定理是连接过程与状态的桥梁。 2.整体与隔离思维：既能在复杂问题中“分段”，细致分析每个子过程的做功与速度变化；又能“全程”概览，忽略中间细节，直接从初末状态建立方程，培养宏观与微观相结合的分析能力。 3.模型建构：将斜面、水平面、圆弧、弹簧等抽象为物理模型，并建构“运动过程”的示意图，帮助理清各阶段的关系。 4.等效与转化：理解斜面摩擦力做功可以等效为水平面上摩擦力做功，培养等效替代的思维方法，简化问题分析。 学习目标 1.知识目标： 能根据题目描述准确划分多个运动过程（如：A→B匀加速、B→C平抛或圆周、C→D减速停止），并明确每个阶段的受力与运动特点。 能写出斜面摩擦力做功的表达式。 能说出“物体从等高不同倾角的斜面上滑下至底端时摩擦力做功相等”的结论及其条件。 能说出在往复运动中，摩擦力做的总功等于μmg·cosθ·s总（s总为总路程）。 2.能力目标： 过程划分能力：能将一个复杂的多过程问题划分为若干个独立的单过程，并画出清晰的“运动过程图”或“能量转化图”。 列式建模能力：能针对不同的子过程或全过程，正确列出动能定理方程。 等效代换能力：能利用“等高斜面摩擦力做功相等”的结论快速比较不同斜面上摩擦力做功的大小。 往复问题求解能力：能正确识别“往复运动”中的总路程，并利用Wf=-μmg·cosθ·s总结合动能定理（或其他功能关系）快速求解末状态（如最终停止的位置）。 备考建议 1.善用“全程法”简化多过程问题： 核心思想：如果题目只问最终状态（如最终速度、最终位置、总路程），且不同阶段间没有需要求解的中间速度，优先使用“全程法”列动能定理方程，可以省略中间复杂的加速度分析和运动学计算。 适用场景：“物体从A点静止出发，经过多个粗糙斜面/水平面，最终在某点停止”——求出发点A与停止点的水平距离或总路程。 2.死磕“斜面摩擦力做功”的两大特点： 等高斜面特点（比较类问题）：Wf=-μmgl（l为底边长度）。该结论在选择题中可直接使用，快速判断不同倾角斜面摩擦力做功的大小关系。 路程依赖性（计算类问题）：当物体在斜面上做往复运动时，摩擦力的功一定与物体在斜面上经过的总路程有关，不要把路程错误地等同于位移。 3.攻克“往复运动”中的能量关系： 核心方法：往复运动往往最终在某点（如粗糙水平面上）静止。设总路程为s总，则全过程摩擦力做功为-μmgs总。重力做功仅与初末位置的高度差有关，与其他因素无关。 4.规范“分阶段法”的解题步骤： 第一步：画运动过程示意图，标出已知量和关键状态（各段的起点、终点、最高/最低点等）。 第二步：确定研究对象和研究过程（如“物体从A到B的过程”），明确初末状态速度。 第三步：对该过程做受力分析，计算所有力做的总功W_合（包括重力、摩擦力、弹力、支持力等）。 第四步：列动能定理方程，求解未知量。 第五步（如适用）：调用上一阶段的末速度作为下一阶段的初速度，循环往复，直到求出目标量。 5.注意易错点与创新拓展： 易错点一：混淆“路程”与“位移”。摩擦力做功用的是物体实际经过的路程，尤其在往复运动中不能错用位移。 易错点二：忘记计算支持力的功（斜面或水平面上的支持力不做功，但圆弧轨道上的支持力不做功也是常见结论）。 易错点三：在斜面与水平面的衔接处，误以为物体速度会突变（实际速度的大小不变，方向变化）。 拓展训练：练习“物体在曲面（如1/4圆弧粗糙轨道）上下滑+水平面运动”的综合题，其中曲面上的摩擦力做功无法直接套用μmgcosθ·s，需结合功能关系或微元法求解。 考点一 动能定理在单向多过程运动中的应用 【必备知识回顾】 动能定理在单向多过程运动中的应用 思路1.分阶段应用动能定理 （1）若题目需要求解某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 （2）物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 思路2.全过程应用动能定理 （1）当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。 （2）全过程列式时要注意 ①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 ②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 【重难模型精讲】 【典例1】(2026·云南省·期中考试)如图，竖直平面内的光滑半圆形轨道下端与水平面相切，、分别为半圆形轨道的最低点和最高点。小滑块沿水平面向左滑动，经过点时的速度，经过点进入光滑半圆形轨道，且恰好通过最高点。已知半圆轨道半径，小滑块的质量为。小滑块可看作质点。重力加速度大小取。求： 滑块经过点时对圆轨道的压力大小 滑块从到过程克服摩擦力做的功。 【变式训练与拓展】 【变式1】（多选）(2026·江西省·单元测试)如图所示，半径为的半圆弧槽固定在水平面上，槽口向上，槽口直径水平，一个质量为的物块从点由静止释放刚好从槽口点无碰撞地进入槽中，并沿圆弧槽匀速率地滑行到点，不计物块的大小，点到点高度为，重力加速度大小为，则下列说法正确的是() A.物块从到过程克服摩擦力做的功为 B.物块从到过程重力的平均功率为 C.物块在点时对槽底的压力大小为 D.物块到点时重力的瞬时功率为 【变式2】(2026·天津市·期中考试)我国于年举办冬奥运会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示，质量的运动员从长直轨道的处由静止开始以加速度匀加速下滑，到达助滑道末端时速度，与的竖直高度差。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点处附近是一段以为圆心的圆弧，助滑道末端与滑道最低点的高度差，运动员在、间运动时阻力做功，取。 求运动员在段下滑时受到阻力的大小； 若运动员能承受的最大压力为其所受重力的倍，则点所在圆弧的半径至少应为多大。 【变式3】(2026·广东省·期中考试)如图所示，一段光滑圆弧轨道右端连接一长木板，一起固定在水平面上。有一个可视为质点的质量为的小物块，从光滑平台上的点以的初速度水平抛出，到达点时，恰好沿点的切线方向进入圆弧轨道，最后小物块滑上长木板。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，小物块与长木板间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径为，点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角为。不计空气阻力，，，求： 两点的高度差； 小物块到达圆弧轨道末端点时对轨道的压力大小； 要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度。 考点二 动能定理在往复运动中的应用 【必备知识回顾】 动能定理在往复运动中的应用 1.往复运动：即物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的有关物理量多数是变化的，而往复的次数有的可能是有限的，而有的可能最终达到某一稳定情境下的无限往复运动。 2.解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。 【重难模型精讲】 【典例2】(2026·河北省唐山市·其他类型)如图所示，是一个固定盆式容器，侧壁与盆底平滑连接，距离，盆边缘的高度为。已知侧壁是光滑的，盆底与小物块间的动摩擦因数为。在处静止释放一质量为的小物块，小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则最终位置到的距离为() A. B. C. D. 【变式训练与拓展】 【变式4】（多选）(2026·江西省·期中考试)如图所示，、为弹性竖直挡板，相距，、之间为水平导轨。质量的一小球可视为质点自板处开始，以的速度沿摩擦因数相同的水平导轨向板运动，它与、挡板碰撞后瞬间均以碰前瞬间的速率反弹回来，为使小球恰好停在两挡板的中间，则摩擦力的大小可能为() A. B. C. D. 【变式5】(2026·江苏省无锡市·其他类型)如图所示，水平轨道的左端与固定的光滑竖直圆轨道相切于点，右端与一倾角为的光滑斜面轨道在点平滑连接即物体经过点时速度的大小不变，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为的滑块从圆弧轨道的顶端点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至点，已知光滑圆轨道的半径，水平轨道长为，滑块与其间的动摩擦因数，光滑斜面轨道上长为，取。求： 滑块第一次到达点时对圆弧轨道的压力的大小； 整个过程中弹簧具有的最大弹性势能； 滑块最终停在距点多远的位置？ 【变式6】(2026·云南省·单元测试)如图所示，竖直平面内有一倾角的轨道，与半径均为的光滑细圆管轨道和构成一游戏装置，为四分之一圆弧，、两处轨道平滑连接。该装置固定在水平地面上，保持水平，现将质量为的滑块从轨道上点由静止释放，已知间距离，滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为，求： 滑块从点抛出后的水平位移； 将滑块从轻轻放入轨道，经足够长时间之后，经过点时受到的支持力； 第问中，滑块在斜面上滑行的总路程。 【方法规律】 往复运动问题的解题策略： 在有些问题中，物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定。 此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式求解将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体运动的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可简化解题过程。 考点三 摩擦力做功的特点—斜面 【重难模型精讲】 【典例3】(2026·湖南省长沙市·其他类型)如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面点的高度为，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的点停下。已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，求木块在水平面上停止点的位置到点的距离，并讨论：与斜面倾角的大小是否有关？ 【变式训练与拓展】 【变式7】(2026·河南省·模拟题)如图所示，在水平的面上有一小物块可视为质点，小物块以某速度从点最远能滑到倾角为的斜面上的点水平面和斜面在点通过一极短的圆弧连接。若减小斜面的倾角，变为斜面如图中虚线所示，小物块仍以原来的速度从点出发滑上斜面。已知小物块与水平面和小物块与斜面的动摩擦因数相同，为水平线，为竖直线。则() A.小物块恰好能运动到点 B.小物块最远能运动到点上方的某点 C.小物块只能运动到点 D.小物块最远能运动到、两点之间的某点 【变式8】(2026·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·其他类型)如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，质量为的木块，在水平方向的恒力作用下，沿斜面向上做加速度大小为的匀加速直线运动。木块和斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为，木块沿斜面移动的距离为。下列说法正确的是() A.木块受到的摩擦力大小一定为 B.斜面对木块支持力大小一定为 C.摩擦力对木块做功一定为 D.木块动能一定增加了 【变式9】(2026·湖北省荆门市·其他类型)一物体以一定的初速度自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。以斜面底端为零势能面，此过程该物体的动能随高度的变化关系如图所示，图中、和均为已知，重力加速度为。下列说法正确的是() A.物体滑到最高点时重力势能为 B.物体上滑过程中克服重力做的功为 C.物体下滑过程中克服阻力做的功为 D.由题中已知量可以求出阻力大小为 基础巩固练 1．（2020·江苏·二模）如图所示，传送带以恒定速度v0向右运动，A、B间距为L，质量为m的物块无初速度放于左端A处，同时用水平恒力F向右拉物块，物块与传送带间的动摩擦因数为μ，物块从A运动到B的过程中，动能Ek随位移x变化的关系图像不可能的是（） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·期末）如图所示，固定在水平面上的曲面体部分是半径为的四分之一光滑圆弧，部分是粗糙的水平面。今把质量为的小物块从点由静止释放，与部分间的动摩擦因数为，最终小物块静止于之间的点，则间的距离随各物理量的变化情况是（） A．其它量不变，越大越大 B．其它量不变，越大越大 C．其它量不变，越大越大 D．其它量不变，越小越大 3．（2026高三上·江苏淮安·阶段检测）如图所示，直杆AB与水平面成角固定，在杆上套一质量为m的小滑块，杆底端B点处有一弹性挡板，滑块与挡板碰撞后原速率返回。现将滑块拉到与B相距L的A点由静止释放，与挡板第一次碰撞后上滑时间恰好是第一次下滑时间的一半，已知重力加速度为g，下列说法确定的是（） A．物块最终停在AB中点处 B．滑块运动总路程为3L C．滑块与杆之间的动摩擦因数 D．滑块下滑过程加速度的大小 4．（2026·湖北武汉·三模）如图所示，倾角为的固定斜面底端有一垂直于斜面的弹性挡板，A点在斜面上距挡板5m处，B点在斜面上距A点1m处，质量为2kg的物块（可视为质点）从B点由静止释放。已知A点上方斜面光滑，A点下方斜面粗糙，且物块与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，物块与挡板碰撞时间极短，碰撞过程无机械能损失。下列说法正确的是（） A．物块第1次碰撞前瞬间的速度大小为6m/s B．物块第1次碰撞后，沿斜面上升恰好到达A点 C．物块第次碰前瞬间的速度大小是第n次碰前瞬间的速度大小的 D．物块从开始运动到最后静止过程中运动的总路程为10m 5．（2026·河南焦作·二模）如图所示，跳台滑雪赛道由动摩擦因数均为的助滑道和平台组成，运动员通过和连接点C处时无能量损失。比赛中质量为m的运动员从A点由静止下滑，运动到D点后水平飞出，落在水平面上的某点。已知A、B间高度为，B、D间长度为L，与水平面间的夹角为，D点与水平面间的高度为，D点到落地点的水平距离为x，重力加速度为g，忽略空气阻力。则（　　） A．保持不变，减小角，水平距离x会增大 B．保持不变，减小角，水平距离x会减小 C．仅减小动摩擦因数，水平距离x会增大 D．仅减小动摩擦因数，水平距离x会减小 6．（2026高三·全国·专题练习）一个小物块从底端冲上足够长的斜面后，又返回斜面底端。已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为。若小物块冲上斜面的动能为2E，则物块（　　） A．返回斜面底端时的动能为E B．返回斜面底端时的动能为 C．返回斜面底端时的速度大小为2v D．返回斜面底端时的速度大小为v 7．（多选）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物块从静止释放到相对静止这一过程，下列说法正确的是（　　） A．电动机做的功为mv2 B．摩擦力对物体做的功为mv2 C．传送带克服摩擦力做的功为mv2 D．小物块与传送带因摩擦产生的热量为Q=mv2 8．（多选）（2026·广东肇庆·期末）如图所示，卸货人员利用斜面和水平面辅助卸货。卸货人员将一质量的货物从点由静止释放，货物先匀加速下滑到点后再减速，滑到点前速度已减为零。已知斜面长为4m，倾角，长为1m，货物到达点时的速度大小为2m/s，且经过点时的速度大小不变，重力加速度取10m/s2，则（　　） A．从点到点，重力对货物做功为2000J B．从点到点，货物克服摩擦力做功为900J C．货物到达点时重力的瞬时功率为100W D．货物与间的动摩擦因数 9．（多选）（2026·山东淄博·二模）如图，ABC是竖直面内的光滑固定轨道，A点在水平面上，轨道AB段竖直，长度为R，BC段是半径为R的圆弧，与AB相切于B点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平向右的外力作用，从A点以竖直向上沿轨道内侧开始运动。小球可视为质点，重力加速度大小为g。则（　　） A．在C点小球对轨道的压力大小为3mg B．在C点小球对轨道的压力大小为4mg C．小球落地时的速度大小为 D．小球落地时的速度大小为 10．（2026高三上·安徽蚌埠·期末）如图所示，为长度的水平光滑轨道，为固定在竖直面内半径的光滑四分之一圆弧轨道，两轨道在点平滑连接，质量的物块（可视为质点）静止在点。现用一水平向右大小为的力作用在物块上，运动到点时撤去。不计空气阻力，重力加速度。求： (1)力对物块做的功； (2)物块到达点时的速度大小； (3)物块从点脱离轨道后上升的最大距离。 11．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，段的圆心为O点，圆心角为，半径与水平轨道垂直，水平轨道段粗糙且长，一运动员从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道，经轨道后冲上轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为，B、E两点与水平面的竖直高度分别为h和H，且，，。 (1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间； (2)求轨道段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力； (3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如果能，请求出回到B点时的速度大小；如果不能，则最后停在何处？ 12．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，ab为水平光滑直轨道，bc和cd为两段半径为R=2m，圆心角为θ=37°的光滑圆弧轨道，各轨道位于同一竖直平面内且平滑连接。质量为m=3kg的物块（可视为质点）静置于a点，ab间距离为L=1m。现对物块施加水平向右的恒力F=6N，到达b点立即撤除恒力，物块继续沿圆弧轨道上滑，已知重力加速度，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)物块到达圆弧b点时对轨道的压力； (2)若恒力大小可以调节，要使物块能够沿轨道bcd运动到d点，则恒力F的取值范围。 综合提升练 1．（多选）（2024·广东·高考真题）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别从、高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止 B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度 C．乙的运动时间与无关 D．甲最终停止位置与O处相距 2．（2019·浙江·高考真题）某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的物理模型．竖直平面内有一倾角θ=37°的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过．转轮半径R=0.4m、转轴间距L=2m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H=2.2m．现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右．已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5．（sin37°=0.6） （1）若h=2.4m，求小物块到达B端时速度的大小； （2）若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件 （3）改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件． 3．（2021·福建·高考真题）如图（a），一倾角的固定斜面的段粗糙，段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图（b）所示。已知段长度为，滑块质量为，滑块与斜面段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，。求： （1）当拉力为时，滑块的加速度大小； （2）滑块第一次到达B点时的动能； （3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。 4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度，滑块与轨道FG间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（） （1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小； （2）设释放点距B点的长度为，滑块第一次经F点时的速度v与之间的关系式； （3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度的值。 5．（2023·江苏·高考真题）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）求滑雪者运动到P点的时间t； （2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v； （3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。 6．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $