第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语、不等式三大模块，通过高考真题与模拟题整合，以题载知，强化知识网络构建与核心素养（抽象能力、推理意识、模型意识）落地。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|4题（选择1-2、填空13、多选10）|集合运算、元素个数、含参子集关系|以集合概念为基础，延伸至运算与关系，构建逻辑推理起点| |常用逻辑用语|5题（选择3-4、7-8、填空12）|条件判断、命题真假、新定义集合命题|结合集合与不等式考查充要条件，强化逻辑表达与论证| |不等式|7题（选择5-6、9、11，填空14，解答15-19）|解不等式、恒成立、最值、应用（传令兵/利润问题）|以不等式解法为核心，关联函数、实际情境，体现模型意识与运算能力|

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则元素个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知向量，，则“”是“”（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 5．（2024·25高三上·山东·开学考试）已知关于不等式解集为，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则最小值为（     ） A． B． C． D．4 7．（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．【新定义】已知集合是由某些正整数组成集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．（2026·山东·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 10．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 11．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确是（   ） A．最大值为1 B．最小值为2 C．ab最大值为 D．最小值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则取值范围为______． 13．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 14．（2026·广东汕头·模拟预测）【新考法】已知，对任意实数x恒成立．若，则t取值范围是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（2025·安徽合肥·一模）已知函数定义域为，关于不等式解集为. (1)若时，求；(2)若是充分条件，求实数取值范围. 16．（15分）已知函数. (1)若不等式解集为，求取值范围； (2)解关于不等式. 17．（15分）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 18．（17分）【新考法】已知函数，其中． (1)若且， （ⅰ）求取值范围； （ⅱ）设函数图象与x轴两个交点间距离为l，求l取值范围； (2)若且不等式解集为，求最小值． 19．（17分）（2026·北京顺义·二模）【新情境】已知集合，集合是集合一个含个元素子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合完美子集： ①集合任意两个不同子集元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们元素之和相等； (1)若，判断是否为集合完美子集； (2)若集合为集合完美子集，证明：集合元素之和最小值为16； (3)若集合为集合完美子集，证明：. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C D C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AB BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．【详解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 2分 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 4分 又或， 所以或或； 6分 （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 7分 又且， 当时，，满足题意， 8分 当时，， 所以或，结合解得，， 10分 当时，， 所以，得. 12分 综上，实数的取值范围为. 13分 16．【详解】（1）因为的解集为， 若，得，符合题意； 2分 若时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 5分 （2）由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， 7分 当，即时，不等式的解集为或； 9分 当，即时，解集为R； 11分 当，即时，不等式的解集为或； 13分 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 15分 17．【详解】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为万元，年利润万元. 2分 当时，； 4分 当时，. 6分 所以年利润. 7分 （2）由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 10分 当时， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 13分 因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 15分 18．【详解】（1）（ⅰ）由且，得，， 2分 由及，得，则， 所以的取值范围为. 5分 （ⅱ）由（ⅰ）知，由，得方程的一个根为1， 则另一个实根， 7分 因此函数的图象与x轴的两个交点间距离， 所以l的取值范围为. 9分 （2）由且不等式的解集为，得，否则的解集为不为， 因此且，即且， 11分 则， 13分 令， 于是 ，当且仅当，即，时取等号， 15分 所以的最小值为. 17分 19．【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 1分 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 3分 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 4分 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； 6分 （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. 9分 （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 11分 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 13分 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 15分 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，，可得， 若，则，即，解得或， 无法推出一定是，故充分性不成立； 当时，，则，即成立，故必要性成立。 因此“”是“”的必要不充分条件. 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 5．（2024·25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 6．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 7．（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 8．【新定义】已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数， 所以，所以B正确； 对于C，当时，此时，所以C不正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 10．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【详解】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. 11．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 13．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 14．（2026·广东汕头·模拟预测）【新考法】已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 2分 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 4分 又或， 所以或或； 6分 （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 7分 又且， 当时，，满足题意， 8分 当时，， 所以或，结合解得，， 10分 当时，， 所以，得. 12分 综上，实数的取值范围为. 13分 16．（15分）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）因为的解集为， 若，得，符合题意； 2分 若时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 5分 （2）由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， 7分 当，即时，不等式的解集为或； 9分 当，即时，解集为R； 11分 当，即时，不等式的解集为或； 13分 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 15分 17．（15分）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【详解】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为万元，年利润万元. 2分 当时，； 4分 当时，. 6分 所以年利润. 7分 （2）由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 10分 当时， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 13分 因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 15分 18．（17分）【新考法】已知函数，其中． (1)若且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设函数的图象与x轴的两个交点间的距离为l，求l的取值范围； (2)若且不等式的解集为，求的最小值． 【详解】（1）（ⅰ）由且，得，， 2分 由及，得，则， 所以的取值范围为. 5分 （ⅱ）由（ⅰ）知，由，得方程的一个根为1， 则另一个实根， 7分 因此函数的图象与x轴的两个交点间距离， 所以l的取值范围为. 9分 （2）由且不等式的解集为，得，否则的解集为不为， 因此且，即且， 11分 则， 13分 令， 于是 ，当且仅当，即，时取等号， 15分 所以的最小值为. 17分 19．（17分）（2026·北京顺义·二模）【新情境】已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 1分 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 3分 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 4分 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； 6分 （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. 9分 （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 11分 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 13分 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 15分 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 17分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $