1.4 第1课时 正方形及其性质 课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过生活中正方形实例导入，引导学生观察并联系矩形、菱形，以“议一议”构建知识支架，帮助学生理解正方形与矩形、菱形的联系与区别。 其亮点在于通过合作探究让学生自主证明正方形性质，培养数学思维中的推理能力，典例精析结合具体问题如证明线段关系，强化数学语言表达，情境导入发展几何直观。新知小结系统梳理方法，助力学生掌握证明思路，也为教师提供清晰教学路径。

1.4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形及其性质 探索并证明正方形的性质，并了解与矩形、菱形之间的联系和区别.(重、难点) 学 习 目 标 观察下面图形中的正方形，是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 情 境 导 入 议一议 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 合 作 探 究 ☀归纳 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 你能证明这两个 定理吗？ 合 作 探 究 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 合 作 探 究 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 典 例 精 析 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. （2）延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 典 例 精 析 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 合 作 探 究 例2 如图，已知正方形ABCD.求∠ABD，∠DAC，∠DOC的大小. A D C B O 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DOC=90°,∠AOB=∠BOC=90°,AB=CB. 又OB=OB, ∴Rt△ABORt△CBO， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×90°=45°. 同理可得∠DAC=45°. 典 例 精 析 例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC，AC. 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 典 例 精 析 ☀归纳 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明. 新 知 小 结 B 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 随 堂 检 测 2．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 3.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第2题图 第3题图 45° 随 堂 检 测 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 4.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 随 堂 检 测 正方形的性质 四个角都是直角 四条边都相等 对角线相等且互相垂直平分 课 堂 总 结 $